新课标2017春高中数学第1章解三角形1.1正弦定理和余弦定理第1课时正弦定理课件新人教A版必修5

数学必修5·人教A版新课标导学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理第1课时正弦定理1课前自主学习2课堂典例讲练3课时作业课前自主学习“无限风光在险峰”，在充满象征色彩的诗意里，对险峰的慨叹跃然纸上，成为千古之佳句．对于难以到达的险峰应如何测出其海拔高度呢？能通过在水平飞行的飞机上测量飞机下方的险峰海拔高度吗？在本节中，我们将学习正弦定理，借助已学的三角形的边角关系解决类似于上述问题的实际问题．1．回顾学过的三角形知识填空(1)任意三角形的内角和为________；三条边满足：两边之和________第三边，两边之差________第三边，并且大边对________，小边对________．2．直角三角形的三边长a，b，c(斜边)满足勾股定理，即____________.180°大于小于大角小角a2＋b2＝c22．自主探究在Rt△ABC中，B＝60°，斜边c＝2.(1)求△ABC的其他边和角．(2)试计算asinA，bsinB，csinC的值，你发现了什么？(3)对于任意的直角三角形是否也有类似的结论？(4)在钝角△ABC中，B＝C＝30°，b＝3，试求其他边和角，上述结论还成立吗？(5)上述结论对锐角三角形成立吗？3．由上面的探究可得出正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即____________________.请你思考，怎样证明正弦定理？正弦定理的向量法证明：当△ABC是锐角三角形时，如图(1)所示，过点A作单位向量i垂直于AB，因为AC→＝AB→＋BC→，所以i·AC→＝i·AB→＋i·BC→，asinA＝bsinB＝csinC所以b·cos(90°－A)＝c·cos90°＋a·cos(90°－B)，即bsinA＝asinB，得asinA＝bsinB.同理可得asinA＝csinC，所以asinA＝bsinB＝csinC.当△ABC是钝角三角形时，如图(2)所示，也可类似证明．4．对正弦定理的理解应注意：(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．(3)揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系．(4)主要功能：正弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的转化．5．由正弦定理导出的结论(1)a︰b︰c＝_______________________．(2)由等比性质和圆的性质可知，asinA＝bsinB＝csinC＝__________________＝2R.其中，R为△ABC外接圆的半径．(3)AB⇔ab⇔sinAsinB．你会证明上述结论吗？sinA︰sinB︰sinCa＋b＋csinA＋sinB＋sinC6．解三角形(1)一般地，把三角形三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做__________．(2)用正弦定理可以解决怎样的解三角形问题？①______________________________________．②______________________________________________(从而进一步求出其他的边和角)．解三角形已知任意两角与一边，求其他两边和一角已知任意两边与其中一边的对角，求另一边的对角(3)两角和一边分别对应相等的两个三角形全等吗？两边和其中一边的对角分别对应相等的两个三角形全等吗？下图中，AC＝AD；△ABC与△ABD的边角有何关系？你发现了什么？(4)已知两边及其中一边对角，怎样判断三角形解的个数？①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数．②在△ABC中，已知a、b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形的个数，解的个数见下表：A为钝角A为直角A为锐角ab________________________a＝b________________________ab________________absinA________a＝bsinA________absinA________一解一解一解无解无解一解无解无解两解一解无解已知a、b、A，△ABC解的情况如下图示．(ⅰ)A为钝角或直角时解的情况如下：(ⅱ)A为锐角时，解的情况如下：1．有关正弦定理的叙述：①正弦定理只适用于锐角三角形；②正弦定理不适用于钝角三角形；③在某一确定的三角形中，各边与它的对角的正弦的比是定值；④在△ABC中，sinA︰sinB︰sinC＝a︰b︰c.其中正确的个数是导学号54742000()A．1B．2C．3D．4B[解析]正弦定理适用于任意三角形，故①②均不正确；由正弦定理可知，三角形一旦确定，则各边与其所对角的正弦的比就确定了，故③正确；由比例性质和正弦定理可推知④正确．故选B．2．在△ABC中，B＝30°，C＝45°，c＝1，求边b的长及△ABC外接圆的半径R.导学号54742001[解析]已知B＝30°，C＝45°，c＝1.由正弦定理，得bsinB＝csinC＝2R，所以b＝csinBsinC＝1×sin30°sin45°＝22，2R＝csinC＝1sin45°＝2，得R＝22.所以，b＝22，△ABC外接圆的半径R＝22.3．不解三角形，判断下列三角形解的个数.导学号54742105(1)a＝5，b＝4，A＝120°；(2)a＝7，b＝14，A＝150°；(3)a＝9，b＝10，A＝60°.[解析](1)sinB＝bsin120°a＝45×3232，∴△ABC有一解．(2)sinB＝bsin150°a＝1，∴△ABC无解．(3)sinB＝bsin60°a＝109×32＝539，而325391，∴当B为锐角时，满足sinB＝539的B的取值范围为60°B90°.∴对应的钝角B有90°B120°，也满足A＋B180°，所以△ABC有两解．课堂典例讲练命题方向1⇨已知两角和一边解三角形在△ABC中，已知A＝60°，B＝45°，c＝2，解三角形.导学号54742002[分析]已知两角，由三角形内角和定理可求出第三个角，已知一边可由正弦定理求其它两边．[解析]在△ABC中，C＝180°－(A＋B)＝180°－(60°＋45°)＝75°.sin75°＝sin(45°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos45°sin30°＝22×32＋22×12＝23＋14.根据正弦定理，得a＝csinAsinC＝2sin60°sin75°＝2×3223＋14＝6(3－1)＝32－6，b＝csinBsinC＝2sin45°sin75°＝2×2223＋14＝2(3－1)．『规律总结』已知任意两角和一边，解三角形的步骤：①求角：根据三角形内角和定理求出第三个角；②求边：根据正弦定理，求另外的两边．已知内角不是特殊角时，往往先求出其正弦值，再根据以上步骤求解．〔跟踪练习1〕导学号54742003(2015·安徽文，12)在△ABC中，AB＝6，∠A＝75°，∠B＝45°，则AC＝______.2[解析]由正弦定理可知：ABsin[180°－75°＋45°]＝ACsin45°⇒6sin60°＝ACsin45°⇒AC＝2.命题方向2⇨已知两边和其中一边的对角解三角形已知在△ABC中，a＝23，b＝6，A＝30°，解这个三角形.导学号54742004[分析]在△ABC中，已知两边和其中一边的对角，可运用正弦定理求解，但要注意解的个数的判定．[解析]∵A为锐角，bsinA＝6sin30°＝3ab，∴本题有两解，∵sinB＝bsinAa＝32，∴B＝60°或120°，当B＝60°时，C＝90°，c＝asinCsinA＝23sin90°sin30°＝43；当B＝120°时，C＝30°，c＝asinCsinA＝23sin30°sin30°＝23；综上，B＝60°，C＝90°，c＝43或B＝120°，C＝30°，c＝23.『规律总结』已知三角形两边及一边对角解三角形时利用正弦定理求解，但要注意判定解的情况．基本步骤是：(1)求正弦：根据正弦定理求另外一边所对角的正弦值．判断解的情况．(2)求角：先根据正弦值求角，再根据内角和定理求第三角．(3)求边：根据正弦定理求第三条边的长度．〔跟踪练习2〕导学号54742005已知△ABC中，a＝4，b＝43，∠A＝30°，则∠B等于()A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°[解析]由正弦定理，得asinA＝bsinB，∴sinB＝bsinAa＝43×sin30°4＝32，又∵ba，∴BA，∴B＝60°或120°.D命题方向3⇨三角形形状的判断在△ABC中，已知a2sinBcosB＝b2sinAcosA，试判断△ABC的形状.导学号54742006[分析]由正弦定理，得a＝2RsinA，b＝2RsinB，代入已知等式，利用三角恒等变换，得出角之间的关系，进而判断△ABC的形状．[解析]∵a2sinBcosB＝b2sinAcosA，a＝2RsinA，b＝2RsinB，∴4R2sin2AsinBcosB＝4R2sin2BsinAcosA.又∵sinAsinB≠0，∴sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B，∴2A＝2B，或2A＋2B＝π，即A＝B，或A＋B＝π2.故△ABC是等腰三角形或直角三角形．[点评](1)判断出一个三角形是等腰三角形后，还要进一步讨论它是否可能是等边三角形或等腰直角三角形，不要匆忙下结论；(2)在△ABC中，若sin2A＝sin2B，不一定只有A＝B，因为sin2A＝sin2B⇒2A＝2B，或2A＝π－2B⇒A＝B或A＋B＝π2.『规律总结』利用正弦定理判断三角形形状的方法：(1)化边为角．将题目中的所有条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状．(2)化角为边．根据题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再利用代数恒等变换得到边的关系(如a＝b，a2＋b2＝c2)，进而确定三角形的形状．〔跟踪练习3〕导学号54742007在△ABC中，acos(π2－A)＝bcos(π2－B)，判断△ABC的形状．[解析]解法一：∵acos(π2－A)＝bcos(π2－B)，∴asinA＝bsinB．由正弦定理，得a×a2R＝b×b2R，∴a2＝b2，∴a＝b，故△ABC是等腰三角形．解法二：∵acos(π2－A)＝bcos(π2－B)，∴asinA＝bsinB．由正弦定理，得2Rsin2A＝2Rsin2B，即sinA＝sinB，∴A＝B(A＋B＝π不合题意，舍去)，故△ABC是等腰三角形．命题方向4⇨运用正弦定理求三角形的面积已知在△ABC中，c＝22，ab，C＝π4，tanA·tanB＝6，试求三角形的面积.导学号54742008[分析]本题可先求tanA，tanB的值，由此求出sinA及sinB，再利用正弦定理求出a，b及三角形的面积．[解析]因为C＝π4，所以A＋B＝3π4.又因为tanA·tanB＝6所以tanA＋tanB＝tan(A＋B)·(1－tanA·tanB)＝－tanC·(1－6)＝－tanπ4×(－5)＝5.所以tanA0,tanB0，即A，B皆为锐角，且ab，则tanAtanB，所以tanA＝3，tanB＝2.所以sinA＝31010，sinB＝255.由正弦定理，得a＝csinAsinC＝22×3101022＝6105，b＝csinBsinC＝22×25522＝855.所以S△ABC＝12absinC＝12×6105×855×22＝245.『规律总结』常用的三角形的面积公式有：(1)S△ABC＝12×底×高；(2)S△ABC＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA；要熟练掌握．〔跟踪练习4〕导学号54742009在△ABC中，B＝30°，AB＝23，AC＝2，求△ABC的面积．[解析]由正弦定理，得s