新课标2017春高中数学第1章解三角形1.1正弦定理和余弦定理第2课时余弦定理课件新人教A版必修5

数学必修5·人教A版新课标导学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理第2课时余弦定理1课前自主学习2课堂典例讲练3课时作业课前自主学习中国海监船肩负着我国海域的维权、执法使命．某时某中国海监船位于中国南海的A处，与我国海岛B相距snmile.据观测得知有一外国探油船位于我国海域C处进行非法资源勘探，这艘中国海监船奉命以vnmile/小时的速度前去驱逐．假如能测得∠BAC＝α，BC＝mnmile，你能根据上述数据计算出它赶到C处的时间吗？1．依据所学知识判断正误(1)正确的在括号内填T，错误的在括号内填F①已知两个三角形两边及其夹角对应相等，则两个三角形全等．()②已知两个三角形三边分别对应相等，则两个三角形全等．()③已知两个三角形有两角及一边分别对应相等，则两个三角形全等．()④已知两边和其中一边的对角解三角形，可能有一解、两解或无解．()(2)在△ABC中，正弦定理的表达式是________________.TTTTasinA＝bsinB＝csinC2．自主探究在△ABC中，若AB＝4，AC＝6，A＝60°.(1)这个三角形能确定吗？(2)你能利用正弦定理求出BC吗？(3)能否利用平面向量求边BC？如何求得？(4)(2)和(3)哪种方法简便？利用(3)的方法，能否推导出用b，c，A表示a?提示：(1)能(2)由正弦定理得BCsin60°＝6sinB＝4sinC，又sinC＝sin(120°－B)，∴BC＝6sin60°sinB，或BC＝4sin60°sin120°－B据此可以先求出角B(或sinB)，再求BC．(3)∵BC→＝BA→＋AC→∴|BC→|2＝|BA→|2＋|AC→|2＋2BA→·AC→＝|BA→|2＋|AC→|2－2|BA→||AC→|cosA＝4＋9－2×2×3cos60°＝7.∴|BC→|＝7.(4)能．3．由上面的探究我们可以得到余弦定理在三角形中，任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a2＝________________，b2＝_________________，c2＝___________________．你能否建立坐标系，结合解直角三角形的知识用解析法证明余弦定理？b2＋c2－2bccosAc2＋a2－2accosBa2＋b2－2abcosC提示：如图，以点A为原点，以△ABC的边AB所在直线为x轴，以过点A与AB垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(0,0)，C(bcosA，bsinA)，B(c,0)．由两点间的距离公式得BC2＝(bcosA－c)2＋(bsinA－0)2，即a2＝b2cos2A－2bccosA＋c2＋b2sin2A，a2＝b2＋c2－2bccosA．同理可证b2＝a2＋c2－2accosB；c2＝a2＋b2－2abcosC．4．余弦定理的变形根据余弦定理，可以得到以下推论：cosA＝______________，cosB＝______________，cosC＝______________.b2＋c2－a22bca2＋c2－b22aca2＋b2－c22ab5．余弦定理与勾股定理有何关系？在△ABC中，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，若角C＝90°，则cosC＝0，于是c2＝a2＋b2－2a·b·0＝a2＋b2，这说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．设c是△ABC中最大的边(或C是△ABC中最大的角)，则a2＋b2c2⇔△ABC是________三角形，且角C为________；a2＋b2＝c2⇔△ABC是________三角形，且角C为________；a2＋b2c2⇔△ABC是________三角形，且角C为________．钝角钝角直角直角锐角锐角1．在△ABC中，sinA︰sinB︰sinC＝3︰5︰7，则△ABC是导学号54742032()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定[解析]由正弦定理，得a︰b︰c＝sinA︰sinB︰sinC＝3︰5︰7.设a＝3k，b＝5k，c＝7k(k0)，由于cba，故角C是△ABC中最大的角，因为cosC＝b2＋a2－c22ab＝5k2＋3k2－7k22×5k×3k＝－120，所以C90°，即△ABC为钝角三角形．C2．在△ABC中，AB＝4，BC＝3，B＝60°，则AC等于________.导学号54742033[解析]由条件已知三角形的两边及其夹角，故可以直接利用余弦定理求得边AC，即AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝16＋9－2×4×3×12＝13.∴AC＝13.133．边长为5、7、8的三角形中，最大角与最小角的和是________.导学号54742034[解析]设中间角为θ，由于875，故θ的对边长为7，由余弦定理，得cosθ＝52＋82－722×5×8＝12.所以θ＝60°，故另外两角和为180°－60°＝120°.120°课堂典例讲练命题方向1⇨已知两边及一角解三角形在△ABC中，已知a＝3，b＝2，B＝45°，解三角形.导学号54742035[分析]已知两边及其中一边的对角，先由余弦定理列方程求c，然后求A，C．[解析]由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB，则2＝3＋c2－23×22×c，即c2－6c＋1＝0，解得c＝6＋22，或c＝6－22.当c＝6＋22时，由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝2＋6＋222－32×2×6＋22＝12.∵0°A180°，∴A＝60°，∴C＝180°－(A＋B)＝180°－(60°＋45°)＝75°.当c＝6－22时，由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝2＋6－222－32×2×6－22＝－12.∵0°A180°，∴A＝120°，∴C＝180°－(A＋B)＝180°－(120°＋45°)＝15°.故c＝6＋22时，A＝60°，C＝75°；c＝6－22时，A＝120°，C＝15°.『规律总结』已知两边及一角解三角形的方法：(1)当已知两边及它们的夹角时，用余弦定理求解出第三边，再用正弦定理和三角形内角和定理求解另外两角，只有一解；(2)当已知两边及其一边的对角时，可用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边；也可用正弦定理求解，但都要注意解的情况的讨论．利用余弦定理求解相对简便．〔跟踪练习1〕导学号54742036(1)(2016·全国卷Ⅰ文，4)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知a＝5，c＝2，cosA＝23，则b＝()A．2B．3C．2D．3[解析]由余弦定理，得4＋b2－2×2bcosA＝5.整理得3b2－8b－3＝0，解得b＝3或b＝－13(舍去)，故选D．D(2)已知△ABC中，a＝1，b＝1，C＝120°，则边c＝________.[解析]由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋1－2×1×1×(－12)＝3，∴c＝3.3命题方向2⇨已知三边解三角形在△ABC中，已知a＝26，b＝6＋23，c＝43，求角A，B，C．导学号54742037[解析]在△ABC中，由余弦定理得，cosC＝a2＋b2－c22ab＝262＋6＋232－4322×26×6＋23＝243＋12423＋1＝22.∴C＝45°，sinC＝22.由正弦定理得，sinA＝asinCc＝26×2243＝12.∵ac，∴AC，∴A＝30°.∴B＝180°－(A＋C)＝180°－(30°＋45°)＝105°.『规律总结』已知三边解三角形的方法(1)先利用余弦定理求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理或由求得的第一个角，利用正弦定理求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．(2)利用余弦定理求三角的余弦，进而求得三个角．〔跟踪练习2〕导学号54742038在△ABC中，a＝3，b＝4，c＝37，则最大角为________.[解析]∵3743，边c最大，则角C最大，又cosC＝a2＋b2－c22ab＝32＋42－372×3×4＝－12.∴最大角C＝120°.120°命题方向3⇨判断三角形的形状在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosBcosC，试判断△ABC的形状.导学号54742039[分析]思路一，利用正弦定理将已知等式化为角的关系；思路二，利用余弦定理将已知等式化为边的关系．[解析]解法一：∵b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosBcosC，∴利用正弦定理可得sin2Bsin2C＋sin2Csin2B＝2sinB·sinC·cosB·cosC，∵sinBsinC≠0，∴sinB·sinC＝cosBcosC，∴cos(B＋C)＝0，∴cosA＝0，∵0Aπ，∴A＝π2，∴△ABC为直角三角形．解法二：已知等式可化为b2－b2cos2C＋c2－c2·cos2B＝2bccosBcosC，由余弦定理可得b2＋c2－b2·a2＋b2－c22ab2－c2·(a2＋c2－b22ac)2＝2bc·a2＋b2－c22ab·a2＋c2－b22ac∴b2＋c2＝a2，∴△ABC为直角三角形．解法三：已知等式变形为b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bccosB·cosC，∴b2＋c2＝b2cos2C＋c2cos2B＋2bccosB·cosC，∵b2cos2C＋c2cos2B＋2bccosBcosC＝(bcosC＋ccosB)2＝a2，∴b2＋c2＝a2，∴△ABC为直角三角形．『规律总结』已知三角形的边或角的关系式解三角形或判断三角形的形状，可先观察条件式的特点，再依据此特点选取变形方法，当等式两端各项都含有边时常用正弦定理变形，当等式两边含有角的正弦的同次幂时，常用正弦定理变形，当含有边的积式及边的平方和与差的形式时，常考虑用余弦定理变形，可以化边为角，通过三角变换求解，也可以化角为边，通过因式分解、配方等方法得出边的关系等等．〔跟踪练习3〕导学号54742040在△ABC中，已知a︰b︰c＝1︰3︰2，试判断三角形的形状．[解析]在△ABC中，设a＝x(x0)，则b＝3x，c＝2x.显然c最大，故角C最大．根据余弦定理，cosC＝a2＋b2－c22ab＝x2＋3x2－2x22·x·3x＝x2＋3x2－4x223x2＝0.∴C＝π2，即△ABC是直角三角形．命题方向4⇨正弦、余弦定理的综合应用在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC的长.导学号54742041[分析]欲求BC，在△BCD中，已知∠BCD，∠BDC可求，故须再知一条边；而已知∠BDA和AB、AD，故可在△ABD中，用正弦定理或余弦定理求得BD．这样在△BCD中，由正弦定理可求BC．[解析]在△ABD中，设BD＝x，由余弦定理：BA2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos∠BDA即142＝x2＋102－2·10x·cos60°，整理得：x2－10x－96＝0，解得x1＝16，x2＝－6(舍去)，由正弦定理，得BCsin∠CDB＝BDsin∠BCD，∴BC＝16sin135°·sin30°＝82.〔跟踪练习4〕(2016·全国卷Ⅰ理，17)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC(acosB＋bcosA)＝c，导学号54742042(1)求C；(2)若c＝7，△ABC的面积为332，求△ABC的周长．[分析](1)已知等式2cosC(acosB＋bcosA)＝C中有角有边，且等式两边边长的次数相同，结合括号内式子的特点联想到两角和的正弦公式，故化边为角，结合内角和定理及诱导公式求解；(2)已知边c，角C和三角形面积，利用面积公式可求得a，b关系，只要求出a＋b即可．[解析](1)由已知及正弦定理得，2cosC(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinC,2cosCsin(A＋B)＝sinC，故2sinCcosC＝sinC可得cos