高中新课程数学(新课标人教A版)必修四《3.2简单的三角恒等变换》课件

课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练3．2简单的三角恒等变换课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练【课标要求】1．巩固三角恒等变换的基本技能．2．掌握三角恒等变换在三角函数图象与性质中的应用．【核心扫描】1．灵活运用三角公式，特别是倍角公式进行三角恒等变换．(重点)2．利用三角恒等变换解决实际问题．(难点)课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练自学导引1．半角公式课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练想一想：你能用其他方法以sinα、cosα表示tanα2吗？反之以tanα2能否表示sinα、cosα？提示tanα2＝sinα2cosα2＝sinα2·2cosα2cosα2·2cosα2＝sinα1＋cosα，tanα2＝sinα2cosα2＝sinα2·2sinα2cosα2·2sinα2＝1－cosαsinα，课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练sinα＝2sinα2cosα2＝2sinα2cosα2sin2α2＋cos2α2＝2tanα21＋tan2α2.cosα＝cos2α2－sin2α2，＝cos2α2－sin2α2cos2α2＋sin2α2＝1－tan2α21＋tan2α2.课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练2．辅助角公式asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)，(cosφ＝aa2＋b2，sinφ＝ba2＋b2)，其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由点(a，b)决定．课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练名师点睛三角恒等变换需要注意的思想方法在具体实施三角恒等变换时，除了要注意运用一般的数学思想方法(如换元思想、方程思想、化归思想等)来分析解决问题，还要注意下列基本的三角恒等变换思想方法的灵活运用．(1)常值代换用某些三角函数值或三角函数式来代替三角函数式中的某些常数，使之代换后能运用相关公式使化简得以顺利进行．我们把这种代换称之为常值代换．如前面所讲到的“1”的代换就是一种特殊的常值代换．课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练(2)切化弦当待化简式中既含有正弦、余弦又含有正切时，利用同角的基本三角函数关系式tanα＝sinαcosα将正切化为正弦、余弦，这就是“切化弦”的思想方法，切化弦的好处在于减少了三角函数名称．(3)降幂与升幂由C2α变形后得到公式：sin2α＝12(1－cos2α)，cos2α＝12(1＋cos2α)．运用它就是降幂．反过来，直接运用倍角公式或变形公式1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α，运用它就是升幂．课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练(4)角的变换角的变换沟通了已知角与未知角之间的联系，使公式顺利运用、解题过程被简化．常见的角的变换有：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝12[(α＋β)＋(α－β)]，α＝12[(α＋β)－(β－α)]，α＋β＝(2α＋β)－α等．课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练题型一三角函数式的求值问题【例1】已知sinα＝－817且πα32π，求sinα2，cosα2，tanα2的值．[思路探索]利用平方关系求出角α的余弦值，再利用半角公式求解．解∵sinα＝－817，πα32π，∴cosα＝－1517.又π2α234π，∴sinα2＝1－cosα2＝1＋15172＝41717，课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练cosα2＝－1＋cosα2＝－1－15172＝－1717，tanα2＝sinα2cosα2＝－4.规律方法(1)对于给值求值问题，其关键是找出已知式与所求式之间的角、运算及函数的差异，一般需适当变换已知式或变换所求式．(2)给值求值的重要途径是建立已知式与所求式之间的联系，应注意“配角”方法的应用．课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练【变式1】已知：cosα＝45，且32πα2π，求tanα2的值．解∵32πα2π，∴34πα2π，∴tanα2＝－1－cosα1＋cosα＝－1－451＋45＝－13.课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练题型二三角函数式的化简问题【例2】已知πα3π2，化简：1＋sinα1＋cosα－1－cosα＋1－sinα1＋cosα＋1－cosα.[思路探索]先用二倍角公式“升幂”，再根据α2的范围开方化简．课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练解原式＝sinα2＋cosα222cosα2－2sinα2＋sinα2－cosα222cosα2＋2sinα2，∵πα3π2，∴π2α23π4，∴cosα20，sinα20.∴原式＝sinα2＋cosα22－2sinα2＋cosα2＋sinα2－cosα222sinα2－cosα2＝－sinα2＋cosα22＋sinα2－cosα22＝－2cosα2.课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练规律方法(1)二倍角余弦公式的变形，可起到升、降幂的作用，在解题时有非常重要的应用，应熟练掌握．(2)熟记公式1±sinα＝sinα2±cosα22,1＋cosα＝2cos2α2，1－cosα＝2sin2α2，可为化简三角函数式创造条件．课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练【变式2】化简1＋sinα＋cosαsinα2－cosα22＋2cosα(180°α360°)．解原式＝2cos2α2＋2sinα2cosα2sinα2－cosα22·2cos2α2＝2cosα2cosα2＋sinα2sinα2－cosα22cosα2＝cosα2－cosαcosα2.课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练又∵180°α360°，∴90°α2180°，∴cosα20，∴原式＝cosα2·－cosα－cosα2＝cosα.课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练题型三三角函数式的证明问题【例3】求证：sin2α＋βsinα－2cos(α＋β)＝sinβsinα.[思路探索]式中涉及角α、β、α＋β，2α＋β，因此可以把2α＋β化为(α＋β)＋α，再进行证明．证明∵sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sinα＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα－2cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝sin[(α＋β)－α]＝sinβ，两边同除以sinα，得sin2α＋βsinα－2cos(α＋β)＝sinβsinα课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练规律方法证明三角恒等式的基本思路是根据等式两端特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右归一、变更论证等方法，使等式两端的“异”化为“同”，分式不好证时，可变形为整式来证．课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练【变式3】已知sinα＝4sin(α＋β)，α＋β≠kπ＋π2，k∈Z，求证：tan(α＋β)＝sinβcosβ－4.证明因为sinα＝4sin(α＋β)，所以sin[(α＋β)－β]＝4sin(α＋β)，所以sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝4sin(α＋β)．所以(cosβ－4)sin(α＋β)＝sinβcos(α＋β)，且因α＋β≠kπ＋π2，k∈Z，所以sinα＋βcosα＋β＝sinβcosβ－4，即tan(α＋β)＝sinβcosβ－4.课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练题型四三角函数的实际应用【例4】(2012·宁波高一检测)点P在直径AB＝1的半圆上移动，过P作圆的切线PT且PT＝1，∠PAB＝α，问α为何值时，四边形ABTP面积最大？审题指导先画图――――→用α表示出四边形ABTP的面积―――――→利用三角公式求最值―――――→得出α值课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练[规范解答]如图所示，∵AB为直径，∴∠APB＝90°，AB＝1，(2分)PA＝cosα，PB＝sinα.又PT切圆于点P，∠TPB＝∠PAB＝α，(4分)∴S四边形ABTP＝S△PAB＋S△TPB＝12PA·PB＋12PT·PB·sinα＝12sinαcosα＋12sin2α＝14sin2α＋14(1－cos2α)＝14(sin2α－cos2α)＋14＝24sin(2α－π4)＋14.(8分)课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练∵0απ2，－π42α－π434π，∴当2α－π4＝π2，即α＝38π时，S四边形ABTP最大．(12分)【题后反思】解答此类问题，关键是合理引入辅助角θ，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解，在求解过程中要注意角的范围．课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练【变式4】在半圆形钢板上截取一块矩形材料，怎样截取能使这个矩形的面积最大？解如图，设∠AOB＝θ，且θ为锐角，半圆的半径为R，则面积最大的矩形ABCD必内接于半圆O，且两边长分别为|AB|＝Rsinθ，|DA|＝2|OA|＝2Rcosθ.这个矩形的面积为S矩形ABCD＝|AB|·|DA|＝Rsinθ·2Rcosθ＝R2sin2θ.所以当sin2θ＝1(θ为锐角)，即θ＝45°时，矩形ABCD的面积取得最大值R2.所以当这个矩形的两边长与半圆的半径的比是1∶2∶2时，所截矩形的面积最大．课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练方法技巧辅助角公式asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)＝a2＋b2·cos(x－φ)的应用(1)利用辅助角公式将含两项的三角函数式化成一个三角函数的形式：asinα＋bcosα＝a2＋b2sin(α＋φ)＝a2＋b2cos(α－φ)，这是研究三角函数性质的非常重要的思想方法，也是历年高考的热点内容．(2)辅助角公式asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋θ)其中tanθ＝ba的推导：课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练y＝asinx＋bcosx＝a2＋b2aa2＋b2sinx＋ba2＋b2cosx，∵－1≤aa2＋b2≤1，－1≤ba2＋b2≤1，且aa2＋b2＋ba2＋b2＝1，∴不妨设aa2＋b2＝cosθ，ba2＋b2＝sinθ，则有y＝asinx＋bcosx＝a2＋b2(sinxcosθ＋cosxsinθ)＝a2＋b2sin(x＋θ)．课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练【示例】已知函数y＝12cos2x＋32sinxcosx＋1.x∈R.(1)当自变量y取得最大值时，求自变量x的集合；(2)求函数的单调递增区间．[思路分析]先利用辅助角公式将函数表达式化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再研究f(x)的有关性质，注意使用整体代换的思想将ωx＋φ看成一个整体去讨论最值及单调性问题．课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练解(1)y＝12cos2x＋32sinxcosx＋1＝12×1＋cos2x2＋32×12sin2x＋1＝1232sin2x＋12cos2x＋54＝12sin2x＋π6＋54.当函数y取得最大值时，2x＋π6＝2kπ＋π2(k∈Z)即x＝kπ＋π6(k∈Z)．故y取得最大值时，自变量x的集合为{x|x＝π6＋kπ，k∈Z}．(2)由2kπ－π2≤2x＋π6≤2kπ＋π2(k∈Z)，得kπ－π3≤x≤kπ＋π6(k∈Z)，故函数的单调递增区间是kπ－π3，kπ＋π6(k∈Z)．课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练方法点评我们只研究过函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期性、奇偶性、单调性和最大值与最小值问题，因此，解答本题的关键是利用辅助角公式将题中的函数进行化简．因此，对辅助角公式asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)＝a2＋b2cos(x－φ)要熟练掌握，并能灵活运用．