《数学应用基础(第3版)》第一章 集合与充要条件

第一章集合与充要条件《数学应用基础》周亦文赣州卫生学校目录第一节集合的概念第二节集合之间的关系第三节集合的运算第四节充要条件第一节集合的概念知识回顾案例导入探索新知考点链接归纳反思1•在小学和初中数学中，我们已经接触过一些“集合”，如：数的集合、点的集合等。知识回顾数的集合•自然数的集合；•有理数的集合；•一元一次不等式的解的集合等。点的集合•平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合；•到一条线段的两个端点的距离相等的点的集合；以𝒚=𝒌𝒙+𝒃𝒌≠𝟎的解𝒙，𝒚（有序实数对）为坐标的点的集合。案例引入•一位渔民非常喜欢数学，但他怎么也想不明白集合的含义，于是他请教一位数学家：“尊敬的先生，请您告诉我集合是什么？”集合是不好定义的概念，数学家很难回答他。•有一天，数学家来到渔民的船上，看到渔民撒下鱼网，轻轻一拉，许多鱼虾在网中跳动，数学家非常激动，高兴地告诉渔民：“这就是集合！”•请问：1.集合的含义是什么？2.用什么方法表示这个集合？探索新知集合的概念•集合：某些确定的对象组成的整体叫做集合（简称集）。•元素：组成集合的每一个对象叫做这个集合的一个元素。•集合，通常用大写英文字母A、B、C、……表示；•集合的元素，通常用小写英文字母𝒂、𝒃、𝒄、……表示。探索新知元素与集合的关系：元素与集合元素𝒂是集合A的元素，就说𝒂属于集合A，记作𝒂∈𝑨元素𝒂不是集合A的元素，就说𝒂不属于集合A，记作𝒂∉𝑨集合的概念探索新知集合中元素的特性：元素的特性确定性集合中的元素必须是确定的无序性集合中元素没有前后顺序互异性集合中的元素都是各不相同的集合的概念探索新知集合的分类：集合有限集无限集空集∅常用数集：•非负整数组成的集合，叫做自然数集，记作𝐍；•在自然数集内排除0的集合，叫做正整数集，记作𝐍+或𝐍∗；•整数组成的集合，叫做整数集，记作Z；•有理数组成的集合，叫做有理数集，记作Q；•实数组成的集合，叫做实数集，记作R。集合的概念巩固练习练一练例1判断下列各题中的对象能否组成集合，如果能组成集合，指出是有限集还是无限集：（1）小于4的自然数；（2）大于6的整数；（3）好看的电影；（4）方程𝒙𝟐−𝟗=𝟎的所有解；（5）不等式𝒙−𝟏𝟎的所有解；（6）初三数学的难题。集合的概念案例引入（1）我国的直辖市；（2）方程𝒙𝟐−𝟏=𝟎的解集；（3）所有正偶数的集合；（4）不等式𝒙−𝟐𝟎的解集；请问：如何把以上的集合表示出来？元素有限，可以一一列举元素有无穷个，但是它们的特征明显探索新知集合的表示方法1.列举法•把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法。2.描述法•将集合中元素具有的特征性质描述出来，写在大括号内，这种表示集合的方法叫做描述法。具体方法是:在大括号内画一条竖线,竖线左侧写上集合的代表元素𝒙，并标明元素的取值范围，竖线右侧写出元素具有的特征性质。案例引入{北京市，上海市，天津市，重庆市};{-1，1};𝑥𝑥=2𝑛，𝑛∈𝐍+;𝑥𝑥2。（1）我国的直辖市；（2）方程𝒙𝟐−𝟏=𝟎的解集；（3）所有正偶数的集合；（4）不等式𝒙−𝟐𝟎的解集；请问：如何把以上的集合表示出来？巩固练习例2用列举法表示下列集合：（1）𝒙𝒙是大于𝟑且小于𝟏𝟎的奇数；（2）𝒙𝒙−𝟑𝒙−𝟓=𝟎。•分析：这两个集合都是有限集，第（1）题的元素可以直接列举出来；第（2）题需要解方程才能得到集合的元素。•解：（1）{5，7，9}；（2）{3，5}。练一练集合的表示方法巩固练习例3用描述法表示下列集合：（1）小于𝟖的自然数组成的集合；（2）大于10的全体实数的集合；（3）所有的直角三角形的集合；•分析：第（1）题中元素的取值范围为自然数，需要标出；第（2）题中元素的取值范围为实数，可以不标出；第（3）题可以用描述性语言来叙述集合的特征性质，省略描述法中竖线及其左侧的代表元素。•解：（1）𝒙∈𝐍𝒙𝟖；（2）𝒙𝒙𝟏𝟎；（3）{直角三角形}；集合的表示方法巩固练习例3用描述法表示下列集合：（4）平面直角坐标系中，由第二象限所有点构成的集合；（5）平面直角坐标系中，直线𝑦=2𝑥+1上的所有点的集合。•分析：第（4）、（5）题中元素的取值范围为实数，可以不标出，其中第（4）题第二象限点的特征性质是其横坐标为负数，而纵坐标为正数；第（5）题集合中元素的特征性质是这些点的坐标都满足一次函数𝒚=𝟐𝒙+𝟏的解析式。•解：（4）𝒙，𝒚𝒙𝟎，𝒚𝟎；（5）𝒙，𝒚𝒚=𝟐𝒙+𝟏。集合的表示方法考点链接高职考试重点内容例如：平面直角坐标系第一象限内所有的点的集合可表示为（）。A．𝒙，𝒚𝒙𝟎，𝒚𝟎B．𝒙，𝒚𝒙𝟎，𝒚𝟎C．𝒙，𝒚𝒙𝟎，𝒚𝟎D．𝒙，𝒚𝒙𝟎，𝒚𝟎•分析：该题考察的是集合的表示方法中的描述法。•平面直角坐标系第一象限内有无数个点，这些点具有共同的特征性质，即：点的横坐标和纵坐标都是大于0的实数，因此，我们可以用描述法表示该点集为𝒙，𝒚𝒙𝟎，𝒚𝟎，故选项A正确。归纳总结集合的概念集合集合的概念集合与元素集合的种类集合的表示方法列举法描述法归纳反思本次课学习哪些内容？你会解决哪些新问题？体会到哪些学习方法？第二节集合之间的关系知识回顾案例导入探索新知考点链接归纳反思21.集合的概念是什么？什么是元素？元素与集合有怎样的关系？2.集合中的元素有哪些特性？3.常用的数集有哪些？4.集合常用的表示方法有几种？知识回顾•集合：确定对象组成的整体；元素：集合中的每一个个体；元素属于（∈）集合或不属于（∉）集合。•元素的特性：确定性、互异性、无序性。•常用数集：自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R。•集合的表示方法：列举法、描述法。案例引入观察下列集合：（1）𝑨=本校护理专业一年级新生,𝑩=本校护理专业在校学生；（2）𝑪=𝒂，𝒃，𝒄，𝑫=𝒂，𝒃，𝒄，𝒅，𝒆；（3）𝑬=𝒙𝒙=𝟓，𝑭=−𝟓，𝟓。请问：1.你能发现以上三组集合之间的关系吗?2.用什么方式表示你所发现的集合之间的关系？探索新知集合之间的关系子集•两个集合A和B，如果集合A的任一元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作𝑨⊆𝑩（A包含于B）或𝑩⊇𝑨（B包含A）BAA包含于B𝑨⊆𝑨；∅⊆𝑨案例引入观察下列集合：（1）𝑨=本校护理专业一年级新生,𝑩=本校护理专业在校学生；（2）𝑪=𝒂，𝒃，𝒄,𝑫=𝒂，𝒃，𝒄，𝒅，𝒆；（3）𝑬=𝒙𝒙=𝟓，𝑭=−𝟓,𝟓。𝑨⊆𝑩；𝑪⊆𝑫；𝑬⊆𝑭探索新知真子集•如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，记作𝑨𝑩（A真包含于B）或𝑩𝑨（B真包含A）∅𝑨（𝐴是非空集合）集合之间的关系巩固练习例1写出集合{a，b，c}的所有子集和真子集。•分析：集合𝒂，𝒃，𝒄的任意1个，2个，3个元素组成的集合及空集都是集合A的子集。•解：集合𝒂，𝒃，𝒄的子集有∅,𝒂，𝒃,𝒄，𝒂，𝒃,𝒂，𝒄,𝒃，𝒄,𝒂，𝒃，𝒄；真子集有∅，𝒂，𝒃,𝒄，𝒂，𝒃,𝒂，𝒄,𝒃，𝒄。练一练集合之间的关系探索新知集合相等•两个集合的元素完全相同，那么这两个集合相等。集合A等于集合B，记作𝑨=𝑩（A等于B）•如果𝑨⊆𝑩且𝑩⊆𝑨，则𝑨=𝑩；反之，如果𝑨=𝑩，则𝑨⊆𝑩，𝑩⊆𝑨。集合之间的关系案例引入观察下列集合：（1）𝐴=本校护理专业一年级新生,𝐵=本校护理专业在校学生；（2）𝐶=𝑎，𝑏，𝑐,𝐷=𝑎，𝑏，𝑐，𝑑，𝑒；（3）𝐸=𝑥𝑥=5，𝐹=−5，5。𝑨𝑩；𝑪𝑫；𝑬=𝑭巩固练习例2用适当符号（“∈”,“∉”,“”,“”,“=”）填空：（1）0____0；（2）0____∅；（3）N____Z；（4）b____𝑎，𝑏；（5）𝑥𝑥5____𝑥𝑥6；（6）𝑥𝑥3=0__0。•分析：“∈”和“∉”是用来表示元素和集合之间关系的符号；“”,“”和“=”是用来表示集合和集合之间关系的符号。练一练∈∈=集合之间的关系巩固练习例3说出下面两个集合之间的关系：（1）𝑨=𝟐，𝟑，𝟒，𝟓，𝟔，𝟕,𝑩=𝟑，𝟓，𝟕；（2）𝑪=𝒙𝒙𝟐=𝟏,𝑫=−𝟏，𝟏；（3）E={直角三角形},F={等腰直角三角形}；（4）G={奇数},H={有理数}。练一练（1）BA；（2）𝑪=𝑫；（3）𝑭𝑬；（4）GH。集合之间的关系考点链接高职考试重点内容例如：若集合𝑨=𝒙𝒙𝟎，集合𝑩=𝒙𝒙𝟏，则集合A与B的关系是A.𝑨=𝑩B.𝑩⊆𝑨C.𝑨⊆𝑩D.𝑩∈𝑨•分析：A与B的关系是集合与集合之间的关系，不能使用元素与集合之间关系符号“∈”，因此选项D错误；A与B是两个元素不同的集合，因此选项A错误；集合A是小于0的实数，集合B是小于1的实数，集合A的元素都是集合B的元素，由此可知集合A是集合B的子集，所以选项B错误，选项C正确。归纳总结关系元素与集合属于不属于集合与集合包含真包含相等集合之间的关系归纳反思本次课学习哪些内容？你会解决哪些新问题？体会到哪些学习方法？第三节集合的运算知识回顾案例导入探索新知考点链接归纳反思3复习回顾集合之间的关系关系元素与集合属于不属于集合与集合包含真包含相等案例引入•学校为庆祝国庆，举办篮球友谊赛和歌咏比赛。医学检验技术一班50名同学，有9位同学参加了篮球比赛，有20位同学参加了歌咏比赛，其中有3位同学两项比赛都参加了。•如果设A={参加篮球比赛的同学}；B={参加歌咏比赛的同学}；•那么，该班参加了这两项比赛的同学组成的集合是：•C={既参加篮球比赛又参加歌咏比赛的同学}。请问：1.集合C的元素是否属于集合A？是否又属于集合B？2.集合C与集合A、集合B有什么样的关系？3.你能用维恩图表示集合A、集合B与集合C的关系吗？探索新知集合的运算交集•一般地，对于两个集合A、B，由既属于A又属于B的所有公共元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B，A∩B={x│x∈A且x∈B}A与B的交集巩固练习例1已知A＝{1,2,3,4,5},B＝{3,4,5,6,7},求A∩B。•分析：集合A与B有三个共同的元素：3.4.5。•解：A∩B＝{3,4,5}。练一练集合的运算巩固练习例2已知A＝{等腰三角形}，B＝{直角三角形}，求A∩B。•分析：既属于集合A又属于集合B的三角形是等腰直角三角形。•解：A∩B＝{等腰直角三角形}。集合的运算巩固练习例3已知A＝{奇数}，B＝{偶数}，Z＝{整数}，求A∩Z，B∩Z，A∩B。•分析：集合A与集合B都是集合Z的真子集，并且集合A与集合B没有相同的元素。•解：A∩Z＝A，B∩Z＝B，A∩B＝∅练一练偶数奇数整数集合的运算巩固练习例4已知𝐴=𝑥𝑥2,𝐵=𝑥𝑥5，求A∩B并用数轴表示。•解：A∩B=𝑥2𝑥5。A与B的交集数轴图练一练集合的运算巩固练习例5已知𝐴=𝑥，𝑦𝑥+𝑦=3，𝐵=𝑥，𝑦𝑥−𝑦=−1，求A∩B。•分析：集合A可以看成是方程𝑥+𝑦=3的所有解组成的集合，集合B可以看成是方程𝑥−𝑦=−1的所有解组成的集合，A、B的交集是由这两个二元一次方程组成的方程组的解集。𝑥+𝑦=3𝑥−𝑦=−1•解：𝐴∩𝐵=𝑥，𝑦𝑥+𝑦=3∩𝑥，𝑦𝑥−𝑦=−1=1，2。练一练集合的运算探索新知由交集的定义可知，对于任意两个集合A、B，都有𝑨∩𝑩=𝑩∩𝑨；𝑨∩𝑨=𝑨；𝑨∩∅=∅∩𝑨=∅；如果𝑨⊆𝑩，则𝑨∩𝑩=𝑨。集合的运算案例引入•学校为庆祝国庆，举办篮球友谊赛和歌咏比赛。医学检验技术一班50名同学，有9位同学参