2013届高考理科数学总复习(第1轮)全国版课件：3.3等比数列(第2课时)

立足教育开创未来·高中总复习（第一轮）·理科数学·全国版1第三章数列第讲(第二课时)立足教育开创未来·高中总复习（第一轮）·理科数学·全国版2题型3：等比数列性质的应用1.等比数列{an}的公比为，前n项和为Sn，n∈N*.若S2，S4-S2，S6-S4成等比数列，则其公比为()A.B.C.D.13213613132 3立足教育开创未来·高中总复习（第一轮）·理科数学·全国版3设{an}的公比为q，首项为a1.由S2=a1+a1q，S4-S2=q2(a1+a1q)，S6-S4=q4(a1+a1q)，及S2，S4-S2，S6-S4成等比数列，可得其公比为故选A.q2213，立足教育开创未来·高中总复习（第一轮）·理科数学·全国版4【点评】:等比数列有着许多同构性质，如①{an}是等比数列，则{a2n}也是等比数列，{akn+b}也是等比数列；②Sn是等比数列{an}的前n项的和，若Sm≠0，则数列Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…成等比数列.立足教育开创未来·高中总复习（第一轮）·理科数学·全国版5设正项等比数列{an}的首项前n项和为Sn，且210S30-(210+1)S20+S10=0，求数列{an}的通项公式.a112，立足教育开创未来·高中总复习（第一轮）·理科数学·全国版6由已知得210(S30-S20)=S20-S10，即210·q10(S20-S10)=S20-S10.因为an＞0，所以S20-S10≠0，所以210·q10=1，所以从而.q12()(*).nnan1N2立足教育开创未来·高中总复习（第一轮）·理科数学·全国版7题型4：等比数列与等差数列交汇2.设数列{an}，{bn}满足a1＝b1＝6，a2＝b2＝4，a3＝b3＝3，且数列{an＋1－an}(n∈N*)是等差数列，{bn－2}是等比数列，求{an}和{bn}的通项公式．立足教育开创未来·高中总复习（第一轮）·理科数学·全国版8分析：利用{an＋1－an}是等差数列，可用累加法求通项an，求通项bn只要求出数列{bn－2}的通项即可．解：由已知a2－a1＝－2，a3－a2＝－1，d＝－1－(－2)＝1，所以an＋1－an＝(a2－a1)＋(n－1)d＝－2＋(n－1)×1＝n－3.立足教育开创未来·高中总复习（第一轮）·理科数学·全国版9即an－an－1＝n－4(n≥2)，故an－an－1＝n－4，an－1－an－2＝(n－1)－4，…a3－a2＝3－4，a2－a1＝2－4，以上各式左右分别相加得an－a1＝[2＋3＋…＋(n－1)＋n]－4(n－1)＝nn＋12－1－4n＋4.所以an＝12(n2－7n＋18)(n≥2)．立足教育开创未来·高中总复习（第一轮）·理科数学·全国版10当n＝1时，a1＝6也适合上式，所以an＝12(n2－7n＋18)．又b1－2＝4，b2－2＝2，所以q＝12，所以bn－2＝4·(12)n－1，所以bn＝2＋82n(n∈N*)．立足教育开创未来·高中总复习（第一轮）·理科数学·全国版11【点评】：视“an＋1－an”、“bn－2”为整体先求之，而后求{an}、{bn}是整体思维，在数列中的体现应引起重视．立足教育开创未来·高中总复习（第一轮）·理科数学·全国版12已知等差数列{an}，a2=9，a5=21.(1)求数列{an}的通项公式；(1)设数列{an}的公差为d.依题意得方程组a1+d=9a1+4d=21，解得a1=5，d=4.所以数列{an}的通项公式为an=4n+1.立足教育开创未来·高中总复习（第一轮）·理科数学·全国版13(2)令bn=2an，求数列{bn}的前n项和Sn.由an=4n+1，得bn=24n+1，所以数列{bn}是首项为b1=25，公比q=24的等比数列，于是得数列{bn}的前n项和·()?().nnnS544221322412115立足教育开创未来·高中总复习（第一轮）·理科数学·全国版14题型5：等比数列中的探究性问题3.已知数列{an}中，Sn是其前n项和，并且Sn+1=4an+2(n=1,2,…),a1=1.(1)设数列bn=an+1-2an(n=1,2,…)，求证：数列{bn}是等比数列；(1)证明：由Sn+1=4an+2，Sn+2=4an+1+2，立足教育开创未来·高中总复习（第一轮）·理科数学·全国版15两式相减，得Sn+2-Sn+1=4(an+1-an)，即an+2=4an+1-4an.(根据bn的构造，如何把该式表示成bn+1与bn的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练.)所以an+2-2an+1=2(an+1-2an).立足教育开创未来·高中总复习（第一轮）·理科数学·全国版16又bn=an+1-2an，所以bn+1=2bn.①由S2=4a1+2，a1=1，得a1+a2=4a1+2，解得a2=5，则b1=a2-2a1=3.②由①和②知，数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列，故bn=3·2n-1.立足教育开创未来·高中总复习（第一轮）·理科数学·全国版17(2)设数列(n=1,2,…)，求证：数列{cn}是等差数列；证明：因为(n∈N*),所以又故数列{cn}是首项为公差为的等差数列，所以nnnac2nnnac2·.2nnnnnnnnnnnnaaaaccbn11111112222323214ac11122，12，34.4ncn314立足教育开创未来·高中总复习（第一轮）·理科数学·全国版18(3)求数列{an}的通项公式及前n项和.因为又所以所以an=(3n-1)·2n-2.当n≥2时，Sn=4an-1+2=2n-1(3n-4)+2；当n=1时，S1=a1=1也适合上式.综上可知，所求的前n项和为Sn=2n-1(3n-4)+2.,nnnac2,ncn3144,nnan31244立足教育开创未来·高中总复习（第一轮）·理科数学·全国版19【点评】:1.本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差、等比数列，求数列的通项公式与前n项和.解决本题的关键在于由条件Sn+1=4an+2得出递推公式.2.解综合题要总览全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用.立足教育开创未来·高中总复习（第一轮）·理科数学·全国版20已知数列{an}满足：a1=1，a2=2，且数列{anan+1}是公比为q的等比数列.设bn=a2n-1+a2n,数列{bn}的前n项和为Sn,试推断是否存在常数k，使对任意n∈N*，都有Sn=2bn+k成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.立足教育开创未来·高中总复习（第一轮）·理科数学·全国版21由已知即所以数列a1，a3，a5，…，a2n-1，…和a2，a4，a6，…，a2n，…都是公比为q的等比数列.当q≠1时，Sn=(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n)··nnnnaaqaa121，nnaqa2，()()().nnnqqqqqqq121311111立足教育开创未来·高中总复习（第一轮）·理科数学·全国版22又bn=a1qn-1+a2qn-1=3qn-1，所以因为Sn=2bn+k，所以得q=2，所以当q=1时，a2n-1=1，a2n=2，从而bn=3，Sn=3n，不满足题设条件，故k=-3为所求.().nnnqbqSbqqq3133111qq21，.kq333112立足教育开创未来·高中总复习（第一轮）·理科数学·全国版231.在等比数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等比数列.2.一个等比数列的奇数项，仍组成一个等比数列，它的公比是原数列公比的二次幂.立足教育开创未来·高中总复习（第一轮）·理科数学·全国版243.若{an}，{bn}为等比数列，则{λan}(λ≠0)，{|an|}，{manbn}(m≠0)仍为等比数列.4.解题时，应注意等比数列性质的应用，以减少运算量而提高解题速度.{}{}nnaa21，，