2013届高考理科数学总复习(第1轮)广西专版课件：12.3函数的极限与连续性

第十二章极限与导数第讲考点搜索●函数极限的有关概念及其符号表示和相互关系●函数极限的四则运算法则●函数的连续性概念，连续函数的图象特征及最大值和最小值定理高高考猜想1.求函数的极限.2.已知函数的极限求相关参数的值.3.函数的连续性分析与讨论.1.当自变量x取正值并且无限增大时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋向于时，函数f(x)的极限是a，记作.2.当自变量x取负值并且绝对值无限增大时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋向于时，函数f(x)的极限是a，记作.正无穷大负无穷大lim?xfxalim?xfxa－3.如果且，那么就说当x趋向于时，函数f(x)的极限是a，记作.4.当自变量x无限趋近于常数x0(但不等于x0)时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x时，函数f(x)的极限是a，记作.无穷大趋近于x0limxfxalimxfxalimxfxa0limxxfxa5.如果当x从点x=x0左侧(即x＜x0)无限趋近于x0时，函数f(x)无限趋近于常数a，就说a是函数f(x)在点x0处的，记作.6.如果当x从点x=x0右侧(即x＞x0)无限趋近于x0时，函数f(x)无限趋近于常数a，就说a是函数f(x)在点x0处的，记作.7.的充要条件是.左极限右极限0limxxfxa0limxxfxa＋0limxxfxa00limlim?xxxxfxfxa8.如果那么=;=;=(b≠0).a±ba·b00limlimxxxxfxagxb，，0lim()()xxfxgx［］0lim()()xxfxgx［］0lim()xxfxgxab9.如果函数y=f(x)在点x=x0处及其附近有定义，且，就说函数f(x)在点x0处连续.如果函数f(x)在某个区间内都连续，就说函数f(x)在这个区间内连续.10.如果f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数，那么f(x)在闭区间［a，b］上有————————————.最大值和最小值每一点处00lim?xxfxfx1.已知函数f(x)是偶函数,且则下列结论一定正确的是()解：因为f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x).又所以又f(x)=f(-x),所以Blim, xfxaA.limB.limC.limD.lim||xxxxfxafxafxafxa　　　　limxfxalim.xfxalimlim.xxfxfxa2.等于()解:因为所以A2212lim45xxxxx121A.B.1C.D.254　　　221222,45155xxxxxxxxxx2211221limlim.4552xxxxxxxx3.若在点x=0处连续，则f(0)=.解:因为f(x)在点x=0处连续，所以31111xfxx3200lim.xffx300233011limlim11(1)113lim.211xxxxfxxxxx题型1求函数的极限1.求下列各极限：22024411lim()22lim()cos3lim4lim.||cossin22xxxxxxxaxbxxxxxx；；；解：(1)原式(2)原式2224211limlim.424xxxxxlimlim.2111xxabxabxaxbxabababxabxx(3)因为所以所以不存在.(4)原式00lim1,lim1xxxxxx而，00limlim,||||xxxxxx0lim||xxx2222cossin22limlim(cossin)2.22cossin22xxxxxxxx点评：若f(x)在x0处连续，则应有故求f(x)在连续点x0处的极限时，只需求f(x0)即可；若f(x)在x0处不连续，可通过变形，消去因式x-x0，转化成可直接求f(x0)的式子.求分式型函数的极限，一般是先通分、约分，然后再求.若分式中含有根式的，注意分母有理化、分子有理化在变形中的应用.00lim,xxfxfx求下列极限:(1)解：(1)原式231321lim;9xxxx3222lim.2121xxxxx23331341lim9(1321)33lim33(1321)31lim.163(1321)xxxxxxxxxxxxxxxx(2)原式322232222121lim21(21)21lim(21)111lim.11422xxxxxxxxxxxxxxxx题型2求函数极限式中的参数值2.已知求a、b的值.解：因为存在，所以x=-2是方程x2+ax+2=0的一个根，所以(-2)2-2a+2=0，解得a=3.所以222lim2xxaxbx，222lim2xxaxx2222limlim11.2xxxaxbxx点评：根据分式型极限求解过程的逆向思维，当遇到求型式子的极限时，一般是分子中含有分母为零值的那个因式，因此，按待定系数法或方程的思想进行求解.00则a+b=.解：所以有a=2，且4a+b=0，则b=-8，所以a+b=-6.221lim242xabxx，22222222limlim24424lim2(2)41limlim2222xxxxxaxbabxxxaxabxxaabxxx，-63.设函数f(x)=，g(x)=试确定函数F(x)=f(x)+g(x)的连续区间.解：由题设，F(x)=题型3函数的连续性x(x≥0)0(x＜0)x+1(x＜1)x(x≥1)，x+1(x＜0)2x+1(0≤x＜1)2x(x≥1).因为所以F(x)在x=0处连续.因为所以F(x)在点x=1处不连续，而F(x)在其余各点都连续.故F(x)的连续区间是(-∞，1)，(1，+∞).00lim1lim101,xxFxFxF，，11lim2lim3xxFxFx，，点评：函数的连续性，一是可以根据图象来观察；二是根据函数在某点x0处连续的充要条件：来转化，得到相应的等式.000limlim()xxxxfxfxfx已知函数(1)试求f(x)的定义域，并画出f(x)的图象；(2)求并指出是否存在.解：(1)当|x|＞2时，当|x|＜2时，2lim.2nnnnxxfxx22lim,lim()xxfxfx，2lim()xfx1122limlim1;22nnnnnnxxxxxx1122limlim1;22nnnnnnxxxxxx当x=2时，当x=-2时，不存在，f(x)不存在.所以f(x)=2lim02nnnnxxx2lim2nnnnxxx-1(x2或x-2)0(x=2)1(-2x2).所以f(x)的定义域是{x|x∈R且x≠-2}.图象如下图.(2)因为所以不存在.22lim1,lim1,xxfxfx2lim()xfx1.函数f(x)在点x=x0处有极限，不要求f(x)在x=x0时有意义，即x0可以不在函数f(x)的定义域内.即使f(x)在x=x0处有定义，也不一定等于f(x0).若存在，且则2.遇到求型，或型或∞-∞型函数极限时，则应对函数表达式进行恒等变形，变形手段主要有：因式分解，通分与分解，分子或分母有理化等.0lim()xxfx0lim()xxfxgx0lim0xxgx，0lim0.xxfx003.基本初等函数在其定义域内每一点都连续.如果函数f(x)在闭区间［a，b］内连续，且f(a)f(b)＜0，则必存在x0∈(a，b)，使得f(x0)=0.4.函数f(x)在点x0处连续，反映在函数的图象上是在点x=x0处是不间断的，这是“连续”的直观理解.5.如果函数f(x)在点x0处不连续，则称x0是f(x)的间断点.如果函数f(x)在x0间断，则可能有下列三种情况：(1)f(x)在点x0没有定义；(2)f(x)在点x0有定义，但是极限不存在；(3)f(x)在点x0处有定义，且极限存在，但是6.由连续函数的定义及函数极限的运算法则，我们可以得到连续函数的下列运算性质：0limxxfx0limxxfx00lim.xxfxfx如果函数f(x)、g(x)在某一点x=x0处连续，那么函数f(x)±g(x)，f(x)·g(x)，在点x=x0处都连续.7.由连续函数的定义，我们可以得到计算函数极限的一种方法：如果函数f(x)在其定义区间内是连续的，点x0是定义区间内的一点，那么求x→x0时函数f(x)的极限，只要求出f(x)在点x0处的函数值f(x0)就可以了，即(()0)fxgxgx00lim.xxfxfx