2013届高考理科数学总复习(第1轮)广西专版课件：6.3不等式的证明(第3课时)

第六章不等式第讲（第三课时）题型6用反证法证不等式1.已知a、b、c∈(0，1)，求证：(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a不能同时大于.证法1：假设三式同时大于，即有(1-a)b＞，(1-b)c＞，(1-c)a＞,三式同向相乘，得(1-a)a(1-b)b(1-c)c＞.1414141414164又(1-a)a≤()2=，同理，(1-b)b≤，(1-c)c≤，所以(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤，因此与假设矛盾，故结论正确.证法2：假设三式同时大于.因为0＜a＜1，所以1-a＞0，1-2aa14141414164点评：证明有关“至少”“最多”“唯一”或含有其他否定词的命题，可采用反证法.反证法的证题步骤是：反设——推理——导出矛盾(得出结论).所以同理，都大于.三式相加得＞，矛盾.故假设不成立，从而原命题成立.(1-)11(1-).242abab(1-)(1-)22bcca、123232求证：三条抛物线y＝cx2＋2ax＋b，y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a(a、b、c为非零实数)中至少有一条与x轴有交点．证明：假设三条抛物线与x轴均无交点，则方程cx2＋2ax＋b＝0的判别式Δ1＝4a2－4bc＜0.同理，Δ2＝4b2－4ac＜0，Δ3＝4c2－4ab＜0，则Δ1＋Δ2＋Δ3＝4a2＋4b2＋4c2－4ab－4bc－4ac＜0，所以2(a－b)2＋2(b－c)2＋2(c－a)2＜0，这与2(a－b)2＋2(b－c)2＋2(c－a)2≥0相矛盾，故假设不成立．所以三条抛物线中至少有一条与x轴有交点．题型7用换元证不等式2.已知a、b∈R，a2+b2≤4，求证：|3a2-8ab-3b2|≤20.证明：因为a、b∈R，a2+b2≤4，所以可设a=rcosθ,b=rsinθ,其中0≤r≤2，所以|3a2-8ab-3b2|=r2|3cos2θ-4sin2θ|=r2|5cos(2θ+arctan)|≤5r2≤20.所以原不等式成立.点评：换元法一般有代数式的整体换元、三角换元等换元方式.换元时要注意新变元的取值范围，以及换元后的式子的意义.常用的换元有：若x2+y2=a2，可设x=acosθ，y=asinθ；若可设x=acosθ，y=bsinθ；若x2+y2≤1，可设x=rcosθ，y=rsinθ(0≤r≤1).22221xyab，已知1≤x2+y2≤2，求证：≤x2-xy+y2≤3.证明:设x=rcosθ,y=rsinθ,且1≤r≤2,θ∈R,则由-1≤sin2θ≤1，得≤1-sin2θ≤.又1≤r2≤2，所以≤r2(1-sin2θ)≤3，即≤x2-xy+y2≤3.2222222222-cos-cossinsin1-sin2(1-sin2)22xxyyrrrrrr，1212321212123.求证：证明：令x∈R，则yx2+yx+y=x2-x+1.于是(y-1)x2+(y+1)x+y-1=0.①(1)若y=1，则x=0，符合题意；(2)若y≠1,则①式是关于x的一元二次方程.题型8判别式法证不等式221-13.31xxxx22-11xxyxx，由x∈R，知Δ=(y+1)2-4(y-1)2≥0，解得≤y≤3且y≠1.综合(1)(2)，得≤y≤3，即点评：与二次式有关的不等式证明，可通过构造二次方程，然后利用方程有实数解的充要条件得出式子的取值范围，就是所要证明的不等式.1313221-13.31xxxx求证：证明：令则yx2-(y+1)x+y+1=0，①(1)当y=0时，得x=1，符合题意；(2)当y≠0时，则①式是关于x的一元二次方程.由x∈R，得Δ=(y+1)2-4y(y+1)≥0，解得-1≤y≤,且y≠0.综合(1)(2),得-1≤y≤,所以2-11-1.-13xxx2-1-1xyxRxx，，13132-11-1.-13xxx已知函数f(x)=ln(x+1)-x，若x＞-1，证明:≤ln(x+1)≤x.证明：令f′(x)=0，得x=0.当x∈(-1，0)时，f′(x)＞0;当x∈(0，+∞)时，f′(x)＜0.题型不等式与函数的综合应用参考题参考题11-1x1-()-1.11xfxxx所以f(x)在区间(-1，0)上是增函数，在区间(0，+∞)上是减函数.所以当x＞-1时，f(x)≤f(0)=0，即ln(x+1)-x≤0，故ln(x+1)≤x.令则令g′(x)=0，得x=0.当x∈(-1，0)时，g′(x)＜0;当x∈(0，+∞)时，g′(x)＞0.1()ln(1)-(1-)1gxxx，2211()-.1(1)(1)xgxxxx所以g(x)在(-1，0)上是减函数，在(0，+∞)上是增函数，故当x＞-1时，g(x)≥g(0)=0，即故综上知，1ln(1)-(1-)01xx，11-ln(1).1xx11-ln(1).1xxx1.在已知中如果出现两数相加等于一个正常数，可联想到公式sin2α+cos2α=1，进行三角换元.2.含有字母的不等式证明，可以化为一边为零，而另一边为某个字母的二次三项式，考虑判别式.3.有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法.凡是有“至少”“唯一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法.