2016届高考数学(文)一轮复习专题课件：第3章+第7讲+正弦定理、余弦定理

第7讲正弦定理、余弦定理第三章三角函数、解三角形1．正弦定理和余弦定理asinA＝bsinB＝csinCb2＋c2－2bccosAc2＋a2－2cacosBa2＋b2－2abcosC定理正弦定理余弦定理内容__________________＝2R(R为△ABC外接圆半径)a2＝__________________;b2＝__________________;c2＝__________________a2R定理正弦定理余弦定理变形形式a＝__________，b＝__________，c＝__________；sinA＝__________，sinB＝__________，sinC＝__________；a∶b∶c＝__________________;＝cosA＝___________;cosB＝___________;cosC＝___________2RsinA2RsinB2RsinCb2Rc2RsinA∶sinB∶sinCa＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝asinAb2＋c2－a22bcc2＋a2－b22caa2＋b2－c22ab2.三角形中常用的面积公式(1)S＝12ah(h表示边a上的高)；(2)S＝12bcsinA＝____________＝______________；(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．12acsinB12absinC[做一做]1．在△ABC中，a＝3，b＝5，sinA＝13，则sinB＝()A.15B．59C.53D．1B解析：在△ABC中，由正弦定理asinA＝bsinB，得sinB＝bsinAa＝5×133＝59.2．已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，若cosB＝45，a＝10，△ABC的面积为42，则c＝________．解析：依题意可得sinB＝35，又S△ABC＝12acsinB＝42，则c＝14.141．辨明两个易误点(1)在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解或无解，所以要注意分类讨论．(2)在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．2．三角形解的判断A为锐角A为钝角或直角图形关系式解的个数a＝bsinAbsinAaba≥bab一解两解一解一解[做一做]3．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形()A．无解B．有两解C．有一解D．解的个数不确定B解析：.∵asinA＝bsinB，∴sinB＝basinA＝2418sin45°，∴sinB＝223.又∵ab，∴B有两个．4．(2014·高考福建卷)在△ABC中，A＝60°，AC＝2，BC＝3，则AB等于________．解析：∵A＝60°，AC＝2，BC＝3，设AB＝x，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcosA，化简得x2－2x＋1＝0，∴x＝1，即AB＝1.1考点一利用正、余弦定理解三角形(高频考点)考点二利用正弦、余弦定理判定三角形的形状考点三与三角形面积有关的问题考点一利用正、余弦定理解三角形(高频考点)利用正、余弦定理解三角形是高考的热点，三种题型在高考中时有出现，其试题为中档题．高考对正、余弦定理的考查有以下三个命题角度：(1)由已知求边和角；(2)解三角形与三角函数性质结合；(3)解三角形与三角恒等变换结合．(1)(2014·高考北京卷)在△ABC中，a＝1，b＝2，cosC＝14，则c＝________；sinA＝________．2158[解析](1)在△ABC中，由余弦定理得cosC＝a2＋b2－c22ab，把a＝1，b＝2，cosC＝14代入可得c＝2.因为cosC＝14，所以sinC＝1－cos2C＝154.再由正弦定理得asinA＝csinC，解得sinA＝158.(2)(2014·高考江苏卷)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，A＝2B.①求a的值；②求sinA＋π4的值．解：①因为A＝2B，所以sinA＝sin2B＝2sinBcosB.由正、余弦定理得a＝2b·a2＋c2－b22ac.因为b＝3，c＝1，所以a2＝12，a＝23.②由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝9＋1－126＝－13.由于0Aπ，所以sinA＝1－cos2A＝1－19＝223.故sinA＋π4＝sinAcosπ4＋cosAsinπ4＝223×22＋－13×22＝4－26.[规律方法]在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．1.(1)(2015·四川成都模拟)若△ABC的内角A，B，C满足6sinA＝4sinB＝3sinC，则cosB＝()A.154B．34C.31516D.1116(2)如图所示，△ABC中，已知点D在边BC上，AD⊥AC，sin∠BAC＝223，AB＝32，AD＝3，则BD的长为________．D3解析：(1)6sinA＝4sinB＝3sinC，即sinA2＝sinB3＝sinC4，由正弦定理得a2＝b3＝c4，可设a＝2k，b＝3k，c＝4k，由余弦定理得cosB＝a2＋c2－b22ac＝1116.(2)∵sin∠BAC＝sin∠BAD＋π2＝cos∠BAD＝223，∴根据余弦定理可得cos∠BAD＝AB2＋AD2－BD22AB·AD＝（32）2＋32－BD22×32×3＝223，∴BD＝3.解：①因为3a－2bsinA＝0，所以3sinA－2sinBsinA＝0.因为sinA≠0，所以sinB＝32.又B为锐角，则B＝π3.(3)在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足3a－2bsinA＝0.①求角B的大小；②若a＋c＝5，且ac，b＝7，求AB→·AC→的值．②由①可知，B＝π3，因为b＝7，根据余弦定理得7＝a2＋c2－2accosπ3，整理得(a＋c)2－3ac＝7.由已知a＋c＝5，则ac＝6.又ac，可得a＝3，c＝2.于是cosA＝b2＋c2－a22bc＝7＋4－947＝714，所以AB→·AC→＝|AB→|·|AC→|cosA＝cbcosA＝2×7×714＝1.考点二利用正弦、余弦定理判定三角形的形状在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求角A的大小；(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．[解](1)由题意知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.①由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，故cosA＝－12，A＝120°.(2)由①得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC.又sinB＋sinC＝1，故sinB＝sinC＝12.因为0°B90°，0°C90°，故B＝C.所以△ABC是等腰钝角三角形．本例的条件变为2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC．且sinB＋sinC＝3，试判断△ABC的形状．解：∵2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC，得2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c，即bc＝b2＋c2－a2，∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝12，∴A＝60°.∵A＋B＋C＝180°，∴B＋C＝180°－60°＝120°.由sinB＋sinC＝3，得sinB＋sin(120°－B)＝3，∴sinB＋sin120°cosB－cos120°sinB＝3.∴32sinB＋32cosB＝3，即sin(B＋30°)＝1.又∵0°B120°，30°B＋30°150°，∴B＋30°＝90°，即B＝60°.∴A＝B＝C＝60°，∴△ABC为正三角形．[规律方法]判断三角形的形状，主要有如下两种途径：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角三角函数间的关系，通过三角函数恒等变换，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论，在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．2.(1)在△ABC中，sin2A2＝c－b2c(a，b，c分别为角A,B,C的对边),则△ABC的形状为______________.(2)在△ABC中，若b＝asinC，c＝acosB，则△ABC的形状为______________________．解析：(1)∵sin2A2＝c－b2c，∴1－cosA2＝c－b2c，∴cosA＝bc.由余弦定理bc＝b2＋c2－a22bc，∴a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形．直角三角形等腰直角三角形(2)由b＝asinC可知ba＝sinC＝sinBsinA，由c＝acosB可知c＝a·a2＋c2－b22ac，整理得b2＋c2＝a2，即三角形一定是直角三角形，A＝90°，∴sinC＝sinB，∴B＝C，即b＝c.故△ABC为等腰直角三角形．考点三与三角形面积有关的问题△ABC的三角A，B，C的对边分别为a，b，c满足(2b－c)cosA＝acosC.(1)求A的值；(2)若a＝2，求△ABC面积的最大值．[解](1)由余弦定理得：2bcosA＝c·b2＋c2－a22bc＋a·a2＋b2－c22ab＝b，∴cosA＝12，由0Aπ，得A＝π3.(2)∵a＝2，由余弦定理得：4＝b2＋c2－2bccosπ3＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc.∴bc≤4，当且仅当b＝c时取等号，∴S△ABC＝12bcsinA＝12bc·32≤34·4＝3.即当b＝c＝a＝2时，△ABC面积的最大值为3.[规律方法]与三角形面积有关问题的解题策略：(1)求三角形的面积．对于面积公式S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式．(2)已知三角形的面积解三角形．与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化．(3)求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题，一般转化为一个角的一个三角函数，利用三角函数的有界性求解，或利用余弦定理转化为边的关系，再应用基本不等式求解．3.(2015·洛阳市统考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos2C＋22cosC＋2＝0.(1)求角C的大小；(2)若b＝2a，△ABC的面积为22sinAsinB，求sinA及c的值．解：(1)∵cos2C＋22cosC＋2＝0，∴2cos2C＋22cosC＋1＝0，即(2cosC＋1)2＝0，∴cosC＝－22.又C∈(0，π)，∴C＝3π4.(2)∵c2＝a2＋b2－2abcosC＝3a2＋2a2＝5a2，∴c＝5a，即sinC＝5sinA，∴sinA＝15sinC＝1010.∵S△ABC＝12absinC，且S△ABC＝22sinAsinB，∴12absinC＝22sinAsinB，∴absinAsinBsinC＝2，由正弦定理得：csinC2sinC＝2，解得c＝1.交汇创新——解三角形与数列的交汇(2014·高考陕西卷)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.(1)若a，b，c成等差数列,证明:sinA＋sinC＝2sin(A＋C)；(2)若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值．[解](1)证明：∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b.由正弦定理得sinA＋sinC＝2sinB.∵sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，∴sinA＋sinC＝2sin(A＋C)．(2)∵a，b，c成等比数列，∴b2