2016届高考数学(文)二轮复习考点例题课件：专题二+第2讲+三角恒等变换与解三角形(人教版)

第2讲三角恒等变换与解三角形高考定位1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中同角三角函数的基本关系、诱导公式是解决计算问题的工具，三角恒等变换是利用三角恒等式(两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)进行变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心，试题多为选择题或填空题.2.利用正弦定理或余弦定理解三角形、判断三角形的形状或求值等，并经常和三角恒等变换结合进行综合考查.真题感悟1.(2015·重庆卷)若tanα＝13，tan(α＋β)＝12，则tanβ＝()A.17B.16C.57D.56解析tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝tan（α＋β）－tanα1＋tan（α＋β）tanα＝12－131＋12×13＝17.A2.(2015·北京卷)在△ABC中，a＝3，b＝6，A＝2π3，则B＝________.解析由正弦定理得sinB＝bsinAa＝6sin2π33＝22，因为A为钝角，所以B＝π4.答案π43.(2015·全国Ⅰ卷)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝2sinAsinC.(1)若a＝b，求cosB；(2)设B＝90°，且a＝2，求△ABC的面积.解(1)由题设及正弦定理可得b2＝2ac.又a＝b，可得b＝2c，a＝2c.由余弦定理可得cosB＝a2＋c2－b22ac＝14.(2)由(1)知b2＝2ac.因为B＝90°，由勾股定理得a2＋c2＝b2.故a2＋c2＝2ac，得c＝a＝2.所以△ABC的面积为12×2×2＝1.考点整合1.三角函数公式(1)同角关系：sin2α＋cos2α＝1，sinαcosα＝tanα.(2)诱导公式：在kπ2＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”.(3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式：sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ；tan(α±β)＝tanα±tanβ1∓tanαtanβ.(4)二倍角公式：sin2α＝2sinαcosα，cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.2.正、余弦定理、三角形面积公式(1)asinA＝bsinB＝csinC＝a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝2R(R为△ABC外接圆的半径).变形：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R；a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.(2)a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC；推论：cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab；变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，a2＋c2－b2＝2accosB，a2＋b2－c2＝2abcosC.(3)S△ABC＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA.【例1－1】(1)(2015·昆明模拟)sin(π－α)＝－53且α∈π，3π2，则sinπ2＋α2＝()A.－63B.－66C.66D.63(2)(2015·江苏卷)已知tanα＝－2，tan(α＋β)＝17，则tanβ的值为________.(3)(2015·四川卷)已知sinα＋2cosα＝0，则2sinαcosα－cos2α的值是________.热点一三角函数的求值[微题型1]求值解析(1)sin(π－α)＝sinα＝－53，又α∈π，3π2，∴cosα＝－1－sin2α＝－1－－532＝－23.由cosα＝2cos2α2－1，α2∈π2，3π4，得cosα2＝－cosα＋12＝－66.所以sinπ2＋α2＝cosα2＝－66.(2)tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝tan（α＋β）－tanα1＋tan（α＋β）tanα＝17＋21－27＝3.(3)sinα＋2cosα＝0，∴sinα＝－2cosα，∴tanα＝－2，又∵2sinαcosα－cos2α＝2sinα·cosα－cos2αsin2α＋cos2α＝2tanα－1tan2α＋1，∴原式＝2×（－2）－1（－2）2＋1＝－1.答案(1)B(2)3(3)－1探究提高在三角函数求值过程中，要注意“三看”，即：(1)看角，把角尽量向特殊角或可计算角转化；(2)看名称，把一个等式尽量化成同一名称或近似的名称，例如把所有的切都转化为相应的弦，或把所有的弦转化为相应的切；(3)看式子，看式子是否满足三角函数的公式，如果满足，直接使用，如果不满足，则需要转化角或转换名称，才可以使用.【例1－2】(2015·中山模拟)已知cos(2α－β)＝－1114，sin(α－2β)＝437，0＜β＜π4＜α＜π2，则α＋β＝________.解析因为cos(2α－β)＝－1114，且π4＜2α－β＜π，所以sin(2α－β)＝5314.因为sin(α－2β)＝437，且－π4＜α－2β＜π2.[微题型2]求角所以cos(α－2β)＝17，所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β)＝－1114×17＋5314×437＝12.又π4＜α＋β＜3π4，所以α＋β＝π3.答案π3探究提高解答这类问题的方法一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可，特别要注意对三角函数值符号的判断.【训练1】(2015·广东卷)已知tanα＝2.(1)求tanα＋π4的值；(2)求sin2αsin2α＋sinαcosα－cos2α－1的值.解(1)tanα＋π4＝tanα＋tanπ41－tanαtanπ4＝tanα＋11－tanα＝2＋11－2＝－3.(2)sin2αsin2α＋sinαcosα－cos2α－1＝2sinαcosαsin2α＋sinαcosα－（2cos2α－1）－1＝2sinαcosαsin2α＋sinαcosα－2cos2α＝2tanαtan2α＋tanα－2＝2×222＋2－2＝1.热点二正、余弦定理的应用[微题型1]判断三角形的形状【例2－1】(2015·焦作模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，则△ABC的形状是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形解析因为(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，所以(a2＋b2)(sinAcosB－cosAsinB)＝(a2－b2)(sinAcosB＋cosAsinB)，即a2cosAsinB＝b2sinAcosB.法一由正弦定理得sin2AcosAsinB＝sin2BsinAcosB，因为sinA·sinB≠0，所以sinAcosA＝sinBcosB，所以sin2A＝sin2B.在△ABC中，0＜2A＜2π，0＜2B＜2π，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝π2，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.故选D.法二由正弦定理、余弦定理得a2bb2＋c2－a22bc＝b2aa2＋c2－b22ac，即a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，所以a2－b2＝0或a2＋b2－c2＝0，即a＝b或a2＋b2＝c2.所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.故选D.答案D探究提高判断三角形的形状要对所给的边角关系进行转化，使之变为只含有边或角的式子然后判断.如本题既可化为角的关系A＝B或A＋B＝π2来判断，也可化为边的关系a＝b或a2＋b2＝c2来判断.同时在判断三角形的形状时一定要注意“解”是否唯一，并注意挖掘隐含条件.另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响.【例2－2】(2015·武昌模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知4sin2A－B2＋4sinAsinB＝2＋2.(1)求角C的大小；(2)已知b＝4，△ABC的面积为6，求边长c的值.[微题型2]解三角形解(1)由已知得2[1－cos(A－B)]＋4sinAsinB＝2＋2，化简得－2cosAcosB＋2sinAsinB＝2，故cos(A＋B)＝－22.所以A＋B＝3π4，从而C＝π4.(2)因为S△ABC＝12absinC，由S△ABC＝6，b＝4，C＝π4，得a＝32，由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得c＝10.探究提高解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.[微题型3]正、余弦定理与三角函数、平面向量结合命题【例2－3】(2015·成都二诊)已知m＝(2cosx＋23sinx，1)，n＝(cosx，－y)，且满足m·n＝0.(1)将y表示为x的函数f(x)，并求f(x)的最小正周期；(2)已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C对应的边长，f(x)(x∈R)的最大值是fA2，且a＝2，求b＋c的取值范围.解(1)由m·n＝0，得2cos2x＋23sinxcosx－y＝0，即y＝2cos2x＋23sinxcosx＝cos2x＋3sin2x＋1＝2sin2x＋π6＋1，所以f(x)＝2sin2x＋π6＋1，其最小正周期为π.(2)由题意得fA2＝3，所以A＋π6＝2kπ＋π2(k∈Z)，因为0＜A＜π，所以A＝π3.由正弦定理，得b＝433sinB，c＝433sinC，则b＋c＝433sinB＋433sinC＝433sinB＋433sin2π3－B＝4sinB＋π6，又因为B∈0，2π3，所以sinB＋π6∈12，1，所以b＋c∈(2，4]，所以b＋c的取值范围是(2，4].探究提高关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口.【训练2】(2015·山东卷)△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知cosB＝33，sin(A＋B)＝69，ac＝23，求sinA和c的值.解在△ABC中，由cosB＝33，得sinB＝63，因为A＋B＋C＝π，所以sinC＝sin(A＋B)＝69.因为sinC＜sinB，所以C＜B，可知C为锐角.所以cosC＝539.因此sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝63×539＋33×69＝223.由asinA＝csinC，可得a＝csinAsinC＝223c69＝23c，又ac＝23，所以c＝1.1.对于三角函数的求值，需关注：(1)寻求角与角关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，熟练准确地应用公式；(2)注意切化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用；(3)对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，对于很难入手的问题，可利用分析法.2.三角形中判断边、角关系的具体方法(1)通过正弦定理实施边角转换；(2)通过余弦定理实施边角转换；(3)通过三角变换找出角之间的关系；(4)通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性进行讨论；(5)若涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解条件多的三角形，再逐步求出其他三角形的边和角，其中往往用到三角形内角和定理，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程求解