2016届高考数学一轮复习同步课件：第3章+第7节+正弦定理和余弦定理资料

第七节正弦定理和余弦定理基础盘查一正弦定理与余弦定理(一)循纲忆知掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．(二)小题查验1．判断正误(1)在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB()(2)在△ABC中，若a2＞b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形()(3)在△ABC中，已知两边和其夹角时，△ABC不唯一()(4)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素()√√××2．(人教A版教材练习改编)在△ABC中，已知A＝60°，B＝45°，c＝20，则a＝_____________.10(32－6)3．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB的值为____．63基础盘查二三角形中常用的面积公式(一)循纲忆知会利用三角形的面积公式解决几何计算问题S＝12absinC.(二)小题查验1．判断正误(1)公式S＝12absinC适合求任意三角形的面积()(2)三角形中已知三边无法求其面积()(3)在三角形中已知两边和一角就能求三角形的面积()2．已知△ABC中，a＝2，b＝3，cosC＝35，则此三角形的面积S的值为____．√×√125考点一利用正弦、余弦定理解三角形(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]1．正弦定理asinA＝bsinB＝csinC＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(2)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.2．余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC．变形：cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab.[典题例析](2014·辽宁高考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ac．已知BA·BC＝2，cosB＝13，b＝3，求：(1)a和c的值；(2)cos(B－C)的值．解：(1)由BA·BC＝2得c·acosB＝2，又cosB＝13，所以ac＝6.由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accosB.又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×2＝13.解ac＝6，a2＋c2＝13，得a＝2，c＝3或a＝3，c＝2.因为ac，所以a＝3，c＝2.(2)在△ABC中，sinB＝1－cos2B＝2113＝223，由正弦定理，得sinC＝cbsinB＝23×223＝429.因a＝bc，所以C是锐角，因此cosC＝1－sin2C＝24219＝79.于是cos(B－C)＝cosBcosC＋sinBsinC＝13×79＋223×429＝2327.[类题通法]正、余弦定理的应用原则(2)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．(1)正弦定理是一个连比等式，在运用此定理时，只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的，在解题时要学会灵活运用．[演练冲关]在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足3a－2bsinA＝0.(1)求角B的大小；(2)若a＋c＝5，且ac，b＝7，求AB·AC的值．解：(1)因为3a－2bsinA＝0，所以3sinA－2sinBsinA＝0.因为sinA≠0，所以sinB＝32.又B为锐角，则B＝π3.(2)由(1)知B＝π3，因为b＝7，根据余弦定理得7＝a2＋c2－2accosπ3，整理，得(a＋c)2－3ac＝7.由已知a＋c＝5，则ac＝6.又ac，可得a＝3，c＝2.于是cosA＝b2＋c2－a22bc＝7＋4－947＝714，所以AB·AC＝|AB|·|AC|cosA＝cbcosA＝2×7×714＝1.考点二利用正弦、余弦定理判定三角形的形状(题点多变型考点——全面发掘)[必备知识]三角形中常见的结论(2)在三角形中大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(1)A＋B＋C＝π.(4)三角形内的诱导公式：(5)在△ABC中，tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC.(6)在△ABC中，A，B，C成等差数列的充要条件是B＝60°.(7)△ABC为正三角形的充要条件是A，B，C成等差数列且a，b，c成等比数列．sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC；sinA＋B2＝cosC2；cosA＋B2＝sinC2.[一题多变][典型母题](2013·陕西高考)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不确定[解析]依据题设条件的特点，由正弦定理，得sinBcosC＋cosBsinC＝sin2A，有sin(B＋C)＝sin2A，从而sin(B＋C)＝sinA＝sin2A，解得sinA＝1，∴A＝π2.[答案]B[题点发散1]设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，那么△ABC一定是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形若bcosC＋ccosB＝asinA若2sinAcosB＝sinC解：法一：由已知得2sinAcosB＝sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，即sin(A－B)＝0，因为－πA－Bπ，所以A＝B，选B.法二：由正弦定理得2acosB＝c，再由余弦定理得2a·a2＋c2－b22ac＝c⇒a2＝b2⇒a＝b.答案：B[题点发散2]设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，那么△ABC一定是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形若bcosC＋ccosB＝asinA若acosA＝bcosB解析：由正弦定理，得sinAcosA＝sinBcosB⇒sin2A＝sin2B，因为2A,2B∈(0，π)，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝π2.答案：D[题点发散3]设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC．且sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为．解：由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc，cosA＝－12，sinA＝32，则sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC.又sinB＋sinC＝1，所以sinBsinC＝14，所以sinB＝sinC＝12．因为0Bπ2，0Cπ2，故B＝C＝π6，所以△ABC是等腰钝角三角形．[类题通法]判定三角形形状的两种常用途径(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断．[提醒]在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响.(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．考点三与三角形面积有关的问题(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]三角形中常用的面积公式(1)S＝12ah(h表示边a上的高)；(2)S＝12bcsinA＝12acsinB＝12absinC；(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．[典题例析](2014·山东高考)△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＝3，cosA＝63，B＝A＋π2.(1)求b的值；(2)求△ABC的面积．解：(1)在△ABC中，由题意知sinA＝1－cos2A＝33，又因为B＝A＋π2，所以sinB＝sinA＋π2＝cosA＝63.由正弦定理可得b＝asinBsinA＝3×6333＝32.(2)由B＝A＋π2得cosB＝cosA＋π2＝－sinA＝－33.由A＋B＋C＝π，得C＝π－(A＋B)．所以sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝33×－33＋63×63＝13.因此△ABC的面积S＝12absinC＝12×3×32×13＝322.三角形面积公式的应用原则[类题通法](1)对于面积公式S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．[演练冲关]已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC＋3asinC－b－c＝0.(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积为3，求b，c.解：(1)由acosC＋3asinC－b－c＝0及正弦定理得，sinAcosC＋3sinAsinC－sinB－sinC＝0.因为B＝π－A－C，所以3sinAsinC－cosAsinC－sinC＝0.由于sinC≠0，所以sinA－π6＝12.又0Aπ，故A＝π3.(2)△ABC的面积S＝12bcsinA＝3，故bc＝4.而a2＝b2＋c2－2bccosA，故b2＋c2＝8.解得b＝c＝2.