2016届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)正弦定理和余弦定理(含解析)

2016届高考数学一轮复习教学案正弦定理和余弦定理[知识能否忆起]1．正弦定理分类内容定理asinA＝bsinB＝csinC＝2R(R是△ABC外接圆的半径)变形公式①a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C，②sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c，③sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R解决的问题①已知两角和任一边，求其他两边和另一角，②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角2．余弦定理分类内容定理在△ABC中，有a2＝b2＋c2－2bccos_A；b2＝a2＋c2－2accos_B；c2＝a2＋b2－2abcos_C变形公式cosA＝b2＋c2－a22bc；cosB＝a2＋c2－b22ac；cosC＝a2＋b2－c22ab解决的问题①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角3．三角形中常用的面积公式(1)S＝12ah(h表示边a上的高)；(2)S＝12bcsinA＝12acsinB＝12absinC；(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．[小题能否全取]1．(2012·广东高考)在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝32，则AC＝()A．43B．23C.3D.32解析：选B由正弦定理得：BCsinA＝ACsinB，即32sin60°＝ACsin45°，所以AC＝3232×22＝23.2．在△ABC中，a＝3，b＝1，c＝2，则A等于()A．30°B．45°C．60°D．75°解析：选C∵cosA＝b2＋c2－a22bc＝1＋4－32×1×2＝12，又∵0°A180°，∴A＝60°.3．(教材习题改编)在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有()A．无解B．两解C．一解D．解的个数不确定解析：选B∵asinA＝bsinB，∴sinB＝basinA＝2418sin45°，∴sinB＝223.又∵ab，∴B有两个．4．(2012·陕西高考)在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若a＝2，B＝π6，c＝23，则b＝________.解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝4＋12－2×2×23×32＝4，所以b＝2.答案：25．△ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC的面积为________．解析：设BC＝x，由余弦定理得49＝25＋x2－10xcos120°，整理得x2＋5x－24＝0，即x＝3.因此S△ABC＝12AB×BC×sinB＝12×3×5×32＝1534.答案：1534(1)在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，AB⇔ab⇔sinAsinB.(2)在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinAaba≥bab解的个数一解两解一解一解利用正弦、余弦定理解三角形典题导入[例1](2012·浙江高考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA＝3acosB.(1)求角B的大小；(2)若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值．[自主解答](1)由bsinA＝3acosB及正弦定理asinA＝bsinB，得sinB＝3cosB，所以tanB＝3，所以B＝π3.(2)由sinC＝2sinA及asinA＝csinC，得c＝2a.由b＝3及余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得9＝a2＋c2－ac.所以a＝3，c＝23.在本例(2)的条件下，试求角A的大小．解：∵asinA＝bsinB，∴sinA＝asinBb＝3·sinπ33＝12.∴A＝π6.由题悟法1．应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．2．已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．以题试法1．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝2a.(1)求ba；(2)若c2＝b2＋3a2，求B.解：(1)由正弦定理得，sin2AsinB＋sinBcos2A＝2sinA，即sinB(sin2A＋cos2A)＝2sinA.故sinB＝2sinA，所以ba＝2.(2)由余弦定理和c2＝b2＋3a2，得cosB＝＋3a2c.由(1)知b2＝2a2，故c2＝(2＋3)a2.可得cos2B＝12，又cosB0，故cosB＝22，所以B＝45°.利用正弦、余弦定理判定三角形的形状典题导入[例2]在△ABC中a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求A的大小；(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．[自主解答](1)由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)·b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，故cosA＝－12，∵0A180°，∴A＝120°.(2)由(1)得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC＝34.又sinB＋sinC＝1，解得sinB＝sinC＝12.∵0°B60°，0°C60°，故B＝C，∴△ABC是等腰的钝角三角形．由题悟法依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．[注意]在上述两种方法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．以题试法2．(2012·安徽名校模拟)已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(4，－1)，n＝cos2A2，cos2A，且m·n＝72.(1)求角A的大小；(2)若b＋c＝2a＝23，试判断△ABC的形状．解：(1)∵m＝(4，－1)，n＝cos2A2，cos2A，∴m·n＝4cos2A2－cos2A＝4·1＋cosA2－(2cos2A－1)＝－2cos2A＋2cosA＋3.又∵m·n＝72，∴－2cos2A＋2cosA＋3＝72，解得cosA＝12.∵0Aπ，∴A＝π3.(2)在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA，且a＝3，∴(3)2＝b2＋c2－2bc·12＝b2＋c2－bc.①又∵b＋c＝23，∴b＝23－c，代入①式整理得c2－23c＋3＝0，解得c＝3，∴b＝3，于是a＝b＝c＝3，即△ABC为等边三角形．与三角形面积有关的问题典题导入[例3](2012·新课标全国卷)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC＋3asinC－b－c＝0.(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积为3，求b，c.[自主解答](1)由acosC＋3asinC－b－c＝0及正弦定理得sinAcosC＋3sinAsinC－sinB－sinC＝0.因为B＝π－A－C，所以3sinAsinC－cosAsinC－sinC＝0.由于sinC≠0，所以sinA－π6＝12.又0＜A＜π，故A＝π3.(2)△ABC的面积S＝12bcsinA＝3，故bc＝4.而a2＝b2＋c2－2bccosA，故b2＋c2＝8.解得b＝c＝2.由题悟法1．正弦定理和余弦定理并不是孤立的．解题时要根据具体题目合理选用，有时还需要交替使用．2．在解决三角形问题中，面积公式S＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB最常用，因为公式中既有边也有角，容易和正弦定理、余弦定理结合应用．以题试法3．(2012·江西重点中学联考)在△ABC中，12cos2A＝cos2A－cosA.(1)求角A的大小；(2)若a＝3，sinB＝2sinC，求S△ABC.解：(1)由已知得12(2cos2A－1)＝cos2A－cosA，则cosA＝12.因为0Aπ，所以A＝π3.(2)由bsinB＝csinC，可得sinBsinC＝bc＝2，即b＝2c.所以cosA＝b2＋c2－a22bc＝4c2＋c2－94c2＝12，解得c＝3，b＝23，所以S△ABC＝12bcsinA＝12×23×3×32＝332.1．在△ABC中，a、b分别是角A、B所对的边，条件“ab”是使“cosAcosB”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选Cab⇔AB⇔cosAcosB.2．(2012·泉州模拟)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边．若A＝π3，b＝1，△ABC的面积为32，则a的值为()A．1B．2C.32D.3解析：选D由已知得12bcsinA＝12×1×c×sinπ3＝32，解得c＝2，则由余弦定理可得a2＝4＋1－2×2×1×cosπ3＝3⇒a＝3.3．(2013·“江南十校”联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝23，c＝22，1＋tanAtanB＝2cb，则C＝()A．30°B．45°C．45°或135°D．60°解析：选B由1＋tanAtanB＝2cb和正弦定理得cosAsinB＋sinAcosB＝2sinCcosA，即sinC＝2sinCcosA，所以cosA＝12，则A＝60°.由正弦定理得23sinA＝22sinC，则sinC＝22，又ca，则C60°，故C＝45°.4．(2012·陕西高考)在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则cosC的最小值为()A.32B.22C.12D．－12解析：选C由余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcosC，又c2＝12(a2＋b2)，得2abcosC＝12(a2＋b2)，即cosC＝a2＋b24ab≥2ab4ab＝12.5．(2012·上海高考)在△ABC中，若sin2A＋sin2Bsin2C，则△ABC的形状是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定解析：选C由正弦定理得a2＋b2c2，所以cosC＝a2＋b2－c22ab0，所以C是钝角，故△ABC是钝角三角形．6．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c.若b＝2asinB，则角A的大小为________．解析：由正弦定理得sinB＝2sinAsinB，∵sinB≠0，∴sinA＝12，∴A＝30°或A＝150°.答案：30°或150°7．在△ABC中，若a＝3，b＝3，A＝π3，则C的大小为________．解析：由正弦定理可知sinB＝bsinAa＝3sinπ33＝12，所以B＝π6或5π6(舍去)，所以C＝π－A－B＝π－π3－π6＝π2.答案：π28．(2012·北京西城期末)在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝25，B＝π4，sinC＝55，则c＝________；a＝________.解析：根据正弦定理得bsinB＝csinC，则c＝bsinCsinB＝22，再由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，即a2－4a－12＝0，(a＋2)(a－6)＝0，解得a＝6或a＝－2(舍去)．答案：2269．(2012·北京高考)在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cosB＝－14，则b＝________.解析：根据余弦定理代入b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×－14，解得b＝4.答案：410．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asinA＋csinC－2asinC＝bsinB.(1)求B；(2)若A＝75°，b＝2，求a，c.解：(1)由正弦定理得a2＋c2－2ac＝b