第二类拉格朗日方程的初积分

第二类拉格朗日方程的初积分);,,,(21tqqqrrkii(i=1,2,…,n)trqqrtrvijjikjii1ddniiivmT1221niiijinjjisjkjkssijiitrtrqtrqrqqqrqrm1111]2[21trtrmiinii121kjsjkssijiniiqqqrqrm111)(21jinjjiniiqtrqrm)(11即:最高为广义速度的二次方);,,;,,(11tqqqqTTkk令：sijiniijsqrqrmA1trqrmBijiniij1广义速度的二次方项trtrmCiinii121CT0再令：kjsjksjsqqAT11221kjjjqBT11广义速度的一次方项广义速度的零次方项则:T=T2+T1+T0对主动力均为有势力系统0)(ddjjqLqLt1.循环积分若L中不显含qs，则0sqL0)(ddsqLt常sqL缺省的qs为循环坐标。广义动量守恒2.广义能量积分（能量积分）在L中不显含时间t时，在0)(ddjjqLqLt(j=1,…,k)每一式上乘上相应的后，并求和有jq0])(dd[1jjjkjjqLqqLtq0])(dd[1jjjjjjkjqLqqLqqLqt0)()(dd11kjjjjjkjjjqLqqLqqLqt①0)()(dd11kjjjjjkjjjqLqqLqqLqt式②代入到式①另从拉氏函数(不显含时间t)，即),,;,,(11kkqqqqLL0)(dd1kjjjjjqLqqLqtL0dd)(dd1tLqLqtkjjj0])([dd1LqLqtkjjj将L=T-V=T2+T1+T0-V代入式③得:常量LqLqkjjj1)(①②③其中：2122)(TqTqkjjj111)(TqTqkjjj欧拉齐次函数定理00jqT0jqV则式③为：2T2+T1-（T2+T1+T0-V）=常量即：T2-T0+V=常量，为广义能量积分对定常系统，T1=T0=0，T=T2，则T2+V=常量，为能量积分例12半径为R的匀质空心圆柱内壁足够粗糙，可绕中心水平轴O转动，绕其转动惯量为JO，另一半径为r、质量为m的匀质圆球C沿其内壁作纯滚动。试写出系统的运动微分方程。OCqjmg解：252mrJCj)(rRvCrRrROqj)(2222)(52)(5721)52(21TRrRmrRmmRJTOqjjq222212121OCCOJmvJTq以球与圆柱的接触点为基点研究球心，有rRrROqj)(得：零势位jcos)(rRmgV22CVT),,(qjjLVTL因为12)(52)32(CRrRmmrJLjqqq为循环坐标，有又L中不显含时间t，且T=T2，存在能量积分，由即：222)(5721)52(21jqrRmmRJO0cos)()(52jqjrRmgRrRm积分常数C1、C2由系统运动的初始状态决定。保守系统例13一离心调速器。设小球A、B的质量为m1，大小不计，套筒C的质量为m2，杆重力不计、长如图示。试求转动的角速度与张角j的关系。ABCObjl2l2m1gm1gm2g212212)()sin(jjllbvA0222212211)sin2(21])()sin[(TTlmllbmTjjjj222121221CAvmvmTjjsin22lvC点的运动学jcos)(22211glmlmV解：零势面得：L=T-V=T2+T0-V，为非定常系统，不显含t的，则：T2-T0+V=CCglmlmlbmlmlmjjjjcos)(2)sin()sin2(2211221122222211上式对时间t求导，得整理后为jjjjjjcossin4)sin2(232222222211lmlmlm0sin)(2cos)sin(222112111jjjjjglmlmllbmjjjj2sin2)sin2(2[22222222211lmlmlm0]sin)(2cos)sin(222112111jjjjglmlmllbmjjjj2sin2)sin2(2[22222222211lmlmlm0]sin)(2cos)sin(222112111jjjjglmlmllbm0j上式中任意瞬时存在，则[]=00jj当恒定时，有即：0sin)(2cos)sin(222112111jjjglmlmllbm得：jjtan)sin()(11122112lblmglmlm222121CCCJmvT222]sin)([])[(jjrRrRvCrrRCj)(例14系统如图示。已知半径为R的半圆环已匀角速绕铅直轴转动，一质量为m、半径为r匀质圆盘相对圆环作纯滚动。试求圆盘的运动微分方程。解：当圆环的运动规律已知，且只需求圆盘的运动规律时，将系统看作为一个自由度，取广义坐标为j。ROjC式中：022222)sin23()(21TTrRmTjjjcos)(rRmgV势能为：拉氏函数为：jjjcos)()sin23()(212222rRmgrRmL存在广义能量积分为：T2-T0+V=CCrRmgrRmjjjcos)()sin23()(212222即：哈密顿原理1834年，哈密顿发表了历史性论文“一种动力学的普遍方法”(Onageneralmethodindynamics)，成为动力学发展过程中的新里程碑．文中的观点主要是从光学研究中抽象出来的．哈密尔顿力学是哈密尔顿于1833年建立的经典力学的重新表述。它由拉格朗日力学演变而来，那是经典力学的另一表述，由拉格朗日于1788年建立。但它可以使用辛空间不依赖于拉格朗日力学表述。哈密顿原理哈密顿原理是一种积分形式的变分原理，是哈密顿于1834年建立的。哈密顿原理为：在相同的始终位置、相同，约束条件下，完整、主动力有势的系统在所有的可能运动中，真实运动使哈密顿作用量取驻值。真实运动可能运动1可能运动2哈密顿原理在数学上是某个泛函的极值（驻定值）问题，或变分问题。ABqt一、变分的概念1.变分与微分的差别qtq(t)q1(t)qdq切线dtdqq=q(t)q1=q(t)+eh(t)变分：dq=q1-q(t)=eh(t)dq是同一时刻t，函数q1与q的差值，是等时变分。微分：tqqdddq是同一函数、不同时刻（dt）的增量。例：质点坐标x=x(q,t)，其中q=q(t)，计算其微分与变分。解：微分：ttxqqxxddd变分：qqxxδd二、变分运算的两个法则：1.变分与微分的运算次序互换性qtqδddδqttttttqqqδdd)()(0limδ1ehehttqttqtq)()(0lim证明：tttqttttqtq)]()([)]()([0lim1eeh2121dδdδtttttqtq1.变分与积分的运算次序互换性2121212121dδd)(dddδ1tttttttttttqtttqtqtqeh2121d)]()([d1tttttttqtqeh2121d)(dttttttqtq证明：完整系统的哈密顿原理推导：（条件等同于拉格朗日方程）0δ)(1iiiiniramF由动力学普遍方程I1δδwramiiini所以Tvvmrtvminiiiiiiniδ)21δ(δdd11式中:wrFiiniδδ1因为iniiiiiinirtvmrvmtwδdd)δ(ddδ11I惯性力的虚功Iδδww即)δ(ddδδ1iiniirvmtwT代回得为了在(t2-t1)时间内区分真实运动和可能运动,将上式积分)δ(ddδδ1iiniirvmtwT2121d)δ(ddd)δ(δ1ttiiniitttrvmttwT在t2与t1瞬时，真实运动与可能运动具有相同的位置，即21δ1ttiiniirvm0δ211ttiiniirvm于是得：0d)δ(δ21tttwT当系统上的主动力为有势力时，主动力的功为：0d)δ(δ21tttwTVwdδ于是上式改变为：2121dδ0dδtttttLtL或令：21dtttLsS为哈密顿作用量0δs具有理想、完整约束的质点系，在有势力作用下，对于真实运动，哈密顿作用量有驻值（变分等于零）。例15：物体A重力为P，放光滑表面，被绳索约束，绳的另一端悬挂重力为P的B物体，试用哈密顿求运动的微分方程。解：自由度2222)(jrrvB)(21212222jrrgPrgPT)2(2222jrrgPrjrj2,1qrq广义坐标:jcosPrVjjcos)2(2222PrrrgPVTLA0rjBPjjcos)2(2222PrrrgPVTLjjjjjjδsinδcos)δδδ2(δ22PrrPrrrrrgPL式中：rrrrtrtrrrδ)δ(ddδddδjjjjjjjjδ)(dd)δ(ddδddδ2222rtrttrr于是代入到：中有：0dδ21tLtt2121)δ(dδ)cos2(2ttttrrgPtrgrrgPjj0)δ(dδ]sin)(dd[212122ttttrgPtgrrtgPjjjjj因为在t1和t2时，dr=0、dj0；又dr、dj彼此独立，且其积分区间t1、t2是任意的，所以必有：0sin2jjjgrr0cos22jjgrr2121)δ(dδ)cos2(2ttttrrgPtrgrrgPjj0)δ(dδ]sin)(dd[212122ttttrgPtgrrtgPjjjjj例16：半径为r、质量为m的匀质圆盘在地面做纯滚动，其质心悬挂长为3r、质量为m的匀质杆。试求系统微摆动方程。212220221212121qqCCJmvJxmTrx2q202rmJ2243)3(12mrrmJC1222cos2qCOCOCvxvxv2121222)sin()cos(:qqCOCOCyCxCvvxvvv或解：11222112112222cos232)sin23()cos23(qqqqqqqqrrrrvC1212212222cos349qqqqqrrr123qrvCO自由度2q1q2xOvO微振动时sinq1q1，cosq11112,qqxq广义坐标:)3cos325(2121112222qqqqqmrTq1COvOvC121112222cos23)3cos325(21qqqqqqmgrmrL1cos23qrmgVq1q2