高中数学竞赛中不等式的解法

高中数学竞赛中不等式的解法摘要：本文给出了竞赛数学中常用的排序不等式，平均值不等式，柯西不等式和切比雪夫不等式的证明过程，并挑选了一些与这几类不等式相关的一些竞赛题进行了分析和讲解。希望对广大喜爱竞赛数学的师生有所帮助。不等式在数学中占有重要的地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛数学中的热门题型.在解决竞赛数学中的不等式问题的过程中，常常要用到几个著名的代数不等式：排序不等式、平均值不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式.本文就将探讨这几个不等式的证明和它们的一些应用.1．排序不等式定理1设1212...,...nnaaabbb，则有1211...nnnababab(倒序积和)1212...nrrnrababab（乱序积和）1122...nnababab（顺序积和）其中1,2,...,nrrr是实数组1,2,...,nbbb一个排列，等式当且仅当12...naaa或12...nbbb时成立.（说明：本不等式称排序不等式，俗称倒序积和乱序积和顺序积和.）证明：考察右边不等式，并记1212...nrrnrSababab。不等式1212...nrrnrSababab的意义：当121,2,...,nrrrn时，S达到最大值1122...nnababab.因此，首先证明na必须和nb搭配，才能使S达到最大值.也即，设nrn且nb和某个()kakn搭配时有.nnknnrkrnnabababab（1-1）事实上，()()()0nnnnnkrknnrnrnkababababbbaa不等式（1-1）告诉我们当nrn时，调换nb和nrb的位置（其余n-2项不变），会使和S增加.同理，调整好na和nb后，再调整1na和1nb会使和增加.经过n次调整后，和S达到最大值1122...nnababab，这就证明了1212...nrrnrababab1122...nnababab.再证不等式左端,由1211...,...nnnaaabbb及已证明的不等式右端，得1211(...)nnnababab1212(...)nrrnrababab即1211...nnnababab1212...nrrnrababab.例1（美国第3届中学生数学竞赛题）设a,b,c是正数，求证：3()abcabcabcabc.思路分析：考虑两边取常用对数，再利用排序不等式证明.证明：不妨设abc，则有lglglgabc根据排序不等式有：lglglglglglgaabbccabbccalglglglglglgaabbccacbacb以上两式相加，两边再分别加上lglglgaabbcc有3(lglglg)()(lglglg)aabbccabccab即lglg3abcabcabcabc故3()abcabcabcabc.例2设a,b,cR，求证：222222333222abbccaabcabccabbccaab.思路分析：中间式子每项都是两个式子之和，将它们拆开，再用排序不等式证明.证明：不妨设abc，则222abc且111cba根据排序不等式，有222222111abcabccababc222222111abcabcbcaabc两式相加除以2，得222222222abbccaabccab再考虑333abc，并且111bccaab利用排序不等式，333333111abcabcbccaabcaabbc333333111abcabcbccaababbcac两式相加并除以2，即得222222333222abbccaabccabbccaab综上所述，原不等式得证.例3设12120...,0...nnaaabbb，而1,2,...,niii与1,2,...,njjj是1,2,...,n的两个排列.求证：1111rsnnnnijrsrsrsababrsrs.（1-2）思路分析：已知条件中有两组有序实数，而式（1-2）具有“积和”形式，考虑使用排序不等式.证明：令1snjrsbdrs（r=1,2,...,n）显然12...nddd因为12...nbbb，且111...(1)1rnrnr由排序不等式1nsrsbdrs又因为12...naaa所以11rnnrrirrradad且111nnnsrrrrsrbaadrs（注意到ra0）故11111rssrnnnnnijjirirrsrsrabbaadrsrs11111nnnnnsrsrrrrrsrsbabadarsrs故原式得证.2.均值不等式定理2设12,,...,naaa是n个正数，则()()()()HnGnAnQn称为均值不等式.其中，121()111...nHnaaa，12()...nnGnaaa，12...()naaaAnn，22212...()naaaQnn分别称为12,,...,naaa的调和平均数，几何平均数，算术平均数，均方根平均数.证明：先证()()GnAn.记12...nncaaa，令iiabc，则原不等式12...nbbbn其中12121...(...)1nnnbbbaaac取12,,...,nxxx使11212123,,...,,nnnxxxbbbxxx则1.nnxbx由排序不等式，易证111221......nnnnxxxbbbnxxx下证()()AnQn因为222212121...[(...)nnaaaaaan22212131()()...()naaaaaa2222232421()()...()...()nnnaaaaaaaa]2121(...)naaan所以2221212......nnaaaaaann.从上述证明知道，当且仅当12...naaa时，不等式取等号.下面证明()()HnGn对n个正数12111,,...,naaa，应用()()GnHn，得1212111...111...nnnaaanaaa即()()HnGn（等号成立的条件是显然的）.例4已知2201,0axy，求证：1log()log28xyaaaa.证明：由于01a，0,0xyaa，有22xyxyxyaaaaa从而log()log(2)log22xyxyaaaxyaaaa下证128xy，即14xy。又因为2111()244xyxxx，等号在x=12(这时y=14)时取得所以1log()log28xyaaaa.例5（IMO）设a,b,c是正实数，且满足abc=1.证明：111(1)(1)(1)1abcbca证明：令,,yyzabcxzx，其中x,y,z是正实数，将原不等式变形为()()()xyzyzxzxyxyz（2-1）记,,uxyzvyzxwzxy，注意到u,v,w任意两个之和是一个正数，所以它们中间至多有一个负数.如果恰有一个负数，那么0uvwxyz，（2-1）式成立.如果这三个数都大于0，由算术—几何平均不等式1()2uvxyzyzxx同理可证，vwy，wuz于是uvvwwuxyz即uvwxyz，（2-1）式得证.例6已知12,,...,0naaa，且12...1naaa.求证：1223131211...1...1...21nnnnaaanaaaaaaaaan.思路分析：左边各项形式较复杂，首先将其化简为112(1)22nniiiiiaaa.左边为和的形式，但其各项之和难与右边联系，利用算术平均大于几何平均难以求证，而左边各项22ia可看为倒数形式，尝试用调和平均.证明：不等式左边化为112(1)22nniiiiiaaa，对12222,,...,222naaa，利用()()AnHn有111222niniiiianana即22211221122122niniiiannnnnna所以2111222(1)22221nnniiiiiiiaannnaan21nn.3．柯西不等式定理3设ia，ibR（i=1,2,…n）,恒有不等式222111.()nnniiiiiiiabab，当且仅当1212...nnbbbaaa时，等式成立.构造二次函数证明当021naaa或021nbbb时，不等式显然成立令niiaA12niiibaB1niibC12，当naaa,,,21中至少有一个不为零时，可知A0构造二次函数CBxAxxf222，展开得：02121222niiiniiiiibxabxbaxaxf故xf的判别式0442ACB移项得2BAC，得证。向量法证明令nnbbbaaa,,,,,,2121，.则对向量,有1,cos，由nnbababa2211，niiniiba122122,，得.121221niiniiniiibaba当且仅当1,cos，即,平行时等号成立。数学归纳法证明i)当n=1时，有2221211baba，不等式成立。当n=2时，221122222121222112babababababa212222212222212122212221bababababbaa因为2211212222212babababa，故有2221222122211bbaababa当且仅当1221baba，即2211baba时等号成立。ii）假设n=k时不等式成立，即222212222122211kkkkbbbaaabababa当且仅当kkbababa2211时等号成立。那么当n=k+1时，21212211112221121122112kkkkkkkkkkkkbabababababababababababa2122212122212121212212212121212222122221212122111122221222212kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkbbbaaabaabbaabbabbbaaababababababbbaaa2222122221nnbbbaaa当且仅当1112121111,,,kkkkkkkkabbaabbaabba时等号成立，即112211kkkkbabababa时等号成立。于是n=k+1时不等式成立。由i)ii）可得对于任意的自然数n，柯西不等式成立。利用恒等式证明先用数学归纳法证明如下恒等式，然后证明柯西不等式：对于两组实数nnbbbaaa,,,;,,,2121有柯西—拉格朗日恒等式