2016年福建省高三4月质检理科数学试题(WORD版)

·1·准考证号姓名（在此卷上答题无效）机密★启用前2016年福建省普通高中毕业班质量检查理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页，满分150分．考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知,abR，i是虚数单位，若ia与2ib互为共轭复数，则2(i)ab（A）34i（B）34i（C）54i（D）54i（2）执行如图所示的程序框图，若要使输出的y的值等于3，则输入的x的值可以是（A）1（B）2（C）8（D）9（3）已知3cos25，22，则sin2的值等于·2·（A）1225（B）1225（C）2425（D）2425（4）已知0,0ab，则“1ab”是“2ab”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（5）若,xy满足约束条件20,20,20,xyyxy则11yx的取值范围为（A）11,35（B）1,13（C）11,,35（D）1,1,3（6）已知等比数列{}na的各项均为正数且公比大于1，前n项积为nT，且243aaa，则使得1nT的n的最小值为（A）4（B）5（C）6（D）7（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的各个面的面积中，最小的值为（A）25（B）8（C）45（D）82（8）在ABC中，3A，2AB，3AC，2CMMB，则AMBC（A）113（B）43（C）43（D）113（9）若椭圆上存在三点，使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为（A）512（B）33（C）22（D）63（10）在三棱锥PABC中，23PA，2PC，7AB，3BC，2ABC，则三棱锥PABC外接球的表面积为（A）4（B）163（C）323（D）16·3·（11）已知12,FF分别为双曲线222210,0xyCabab：的左、右焦点，若点P是以12FF为直径的圆与C右支的一个交点，1PF交C于另一点Q，且12PQQF，则C的渐近线方程为（A）2yx（B）12yx（C）2yx（D）22yx（12）已知)(xf是定义在R上的减函数，其导函数fx满足1fxxfx，则下列结论正确的是（A）对于任意Rx，)(xf0（B）对于任意Rx，)(xf0（C）当且仅当1,x，)(xf0（D）当且仅当,1x，)(xf0第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷共3页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。（13）若随机变量2,XN，且510.2PXPX，则25PX．（14）若5112axxx展开式中的常数项为40，则a．（15）若数列{}na的各项均为正数，前n项和为nS，且11111,nnnaSSa，则25a．（16）已知点53,1,,23AB，且平行四边形ABCD的四个顶点都在函数21log1xfxx的图象上，则四边形ABCD的面积为．三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。·4·（17）（本小题满分12分）在△ABC中，3B，点D在边AB上，1BD，且DADC．（Ⅰ）若△BCD的面积为3，求CD；（Ⅱ）若3AC，求DCA．（18）（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABCABC中，底面ABC为等腰直角三角形，1ABAC，12BB，160ABB．（Ⅰ）证明：1ABBC；（Ⅱ）若12BC，求1AC与平面1BCB所成角的正弦值．（19）（本小题满分12分）甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪70元，每单抽成2元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分每单抽成4元，超出40单的部分每单抽成6元．假设同一公司·5·送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其100天的送餐单数，得到如下频数表：（Ⅰ）现从甲公司记录的这100天中随机抽取两天，求这两天送餐单数都大于40的概率；（Ⅱ）若将频率视为概率，回答以下问题：（ⅰ）记乙公司送餐员日工资为X(单位：元),求X的分布列和数学期望；（ⅱ）小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由.（20）（本小题满分12分）已知抛物线2:20Eypxp的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线与抛物线E交于,ST两点，以P3,0为圆心的圆过点,ST，且90SPT．（Ⅰ）求抛物线E和圆P的方程；（Ⅱ）设M是圆P上的点，过点M且垂直于FM的直线l交E于,AB两点，证明：FAFB．（21）（本小题满分12分）已知函数ln1fxaxx，e1xgxx．曲线yfx与ygx在原点处的切线相同．·6·（Ⅰ）求fx的单调区间；（Ⅱ）若0x时，gxkfx，求k的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。（22）（本小题满分10分）选修41：几何证明选讲如图，△ABC的两条中线AD和BE相交于点G，且,,,DCEG四点共圆．（Ⅰ）求证：BADACG；（Ⅱ）若1GC，求AB．（23）（本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为3cos,sinxy（为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为sin24.（Ⅰ）求C的普通方程和l的倾斜角；（Ⅱ）设点0,2P，l和C交于,AB两点，求PAPB．（24）（本小题满分10分）选修45：不等式选讲已知函数1fxx.（Ⅰ）求不等式211fxx的解集M；·7·（Ⅱ）设,abM，证明：fabfafb．2016年福建省普通高中毕业班质量检查理科数学试题答案及评分参考评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．（1）B（2）C（3）D（4）A（5）B（6）C（7）B（8）C（9）D（10）D（11）A（12）B二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分．（13）0.3（14）3（15）526（16）263三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等．满分12分．解法一：（Ⅰ）因为=3BCDS△,即1sin32BCBDB，·····················2分又因为3B,1BD，所以4BC．················································3分在△BDC中,由余弦定理得，2222cosCDBCBDBCBDB,··········5分即21161241132CD，解得13CD．······························6分（Ⅱ）在△ACD中，DADC，可设ADCA，则ADC，又3AC，由正弦定理，有sin2sinACCD，······································7分·8·所以32cosCD．··········································································8分在△BDC中,22,23BDCBCD，由正弦定理得，sinsinCDBDBBCD，即312cos2sinsin(2)33，············10分化简得2cossin(2)3，于是2sin()sin(2)23．························································11分因为02，所以220,222333，所以2223或2+2=23,解得==618或，故=618DCADCA或．······························12分解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）因为DADC，所以ADCA．取AC中点E，连结DE，所以DEAC．··············································································7分设DCAA，因为3AC，所以32EAEC．在Rt△CDE中，3cos2cosCECDDCA．·····································8分以下同解法一．（18）本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．解法一：（Ⅰ）连结1AB，在1ABB△中，111,2,60ABBBABB，由余弦定理得，22211112cos3ABABBBABBBABB，∴13AB，…………………………………………1分C1B1A1ABCDEACB·9·∴22211BBABAB，∴1ABAB．………………………………………2分又∵ABC△为等腰直角三角形，且ABAC，∴ACAB，又∵1ACABA，∴AB平面1ABC．·········································································4分又∵1BC平面1ABC，∴AB1BC．·················································································5分（Ⅱ）∵113,1,2ABABACBC，∴22211BCABAC，∴1ABAC．································