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3.2.3直线的一般式方程自主预习课堂探究自主预习1.了解二元一次方程与直线的对应关系.2.掌握直线方程的一般式.3.能根据所给条件求直线方程,并能在几种形式间相互转化.课标要求知识梳理(3)系数的几何意义:①当B≠0时,则-AB=k(斜率),-CB=b(y轴上的截距);②当B=0,A≠0时,则-CA=a(x轴上的截距),此时不存在斜率.直线的一般式方程(1)定义:关于x,y的二元一次方程(其中A,B不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式.(2)适用范围:平面直角坐标系中,任何一条直线都可用一般式表示.Ax+By+C=0(4)二元一次方程与直线的关系:二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中一个点的坐标.这个方程的全体解组成的集合,就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合,这些点的集合就组成了一条直线.二元一次方程与平面直角坐标系中的直线是一一对应的.自我检测1.(一般式的应用)直线x-3y+1=0的斜率为()(A)33(B)-33(C)3(D)-32.(求直线的一般式方程)过点M(-4,3)和N(-2,1)的直线方程是()(A)x-y+3=0(B)x+y+1=0(C)x-y-1=0(D)x+y-3=03.(用一般式解决垂直平行问题)若直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行,则a等于()(A)-3(B)-6(C)-32(D)23ABB4.(一般式的应用)直线x+y+1=0在y轴上的截距为.答案:-15.(求直线的一般式方程)过点P(1,2),且斜率与直线y=-2x+3的斜率相等的直线方程为.答案:2x+y-4=0课堂探究求直线的一般式方程题型一【教师备用】直线的一般式方程的理解1.当A=0或B=0或C=0时,方程Ax+By+C=0分别表示什么样的直线?提示:①若A=0,则y=-CB,表示与y轴垂直的一条直线.②若B=0,则x=-CA,表示与x轴垂直的一条直线.③若C=0,则Ax+By=0,表示过原点的一条直线.2.在什么条件下,一般式方程可以转化为斜截式、点斜式或截距式方程?提示:①若B≠0,则直线的一般式方程可化为斜截式、点斜式,即y=-ABx-CB与y-CB=-AB(x-0).②若A≠0且B≠0,则可化为截距式,即xCA+yCB=1.解:(1)由直线方程的点斜式得y-3=3(x-5),即3x-y-53+3=0.【例1】根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程.(1)斜率是3,且经过点A(5,3).(2)斜率为4,在y轴上的截距为-2.(3)经过A(-1,5),B(2,-1)两点.(4)在x轴,y轴上的截距分别为-3,-1.(2)由斜截式得直线方程为y=4x-2,即4x-y-2=0.(3)由两点式得515y=121x,即2x+y-3=0.(4)由截距式得直线方程为3x+1y=1.即x+3y+3=0.题后反思根据已知条件求直线方程的策略:在求直线方程时,设一般式方程并不简单,常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程再化为一般式方程,一般选用规律为:(1)已知直线的斜率和直线上点的坐标时,选用点斜式;(2)已知直线的斜率和在y轴上的截距时,选用斜截式;(3)已知直线上两点坐标时,选用两点式.(4)已知直线在x轴,y轴上的截距时,选用截距式.解:(1)由点斜式可得直线方程为y-3=-35(x+2).化为一般式为3x+5y-9=0.即时训练11:求下列直线的方程,并把它化成一般式:(1)过点A(-2,3),斜率为-35;(2)在x轴、y轴上的截距分别为-3和4.(2)由截距式可得直线方程为3x+4y=1.化为一般式为4x-3y+12=0.利用直线一般式方程解决平行、垂直问题题型二(1)已知直线l1:2x+(m+1)y+4=0与直线l2:mx+3y-2=0平行,求m的值.(2)当a为何值时,直线l1:(a+2)x+(1-a)y-1=0与直线l2:(a-1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直?【例2】解:法一(1)由l1:2x+(m+1)y+4=0,l2:mx+3y-2=0知:①当m=0时,显然l1与l2不平行.②当m≠0时,l1∥l2,需2m=13m≠42.解得m=2或m=-3,所以m的值为2或-3.(2)由题意知,直线l1⊥l2.①若1-a=0,即a=1时,直线l1:3x-1=0与直线l2:5y+2=0显然垂直.②若2a+3=0,即a=-32时,直线l1:x+5y-2=0与直线l2:5x-4=0不垂直.③若1-a≠0,且2a+3≠0,则直线l1,l2的斜率k1,k2都存在,k1=-21aa,k2=-123aa.当l1⊥l2时,k1·k2=-1,即21aa·123aa=-1,所以a=-1.综上可知,当a=1或a=-1时,直线l1⊥l2.法二(1)令2×3=m(m+1),解得m=-3或m=2.当m=-3时,l1:x-y+2=0,l2:3x-3y+2=0,显然l1与l2不重合,所以l1∥l2.同理当m=2时,l1:2x+3y+4=0,l2:2x+3y-2=0,显然l1与l2不重合,所以l1∥l2.所以m的值为2或-3.(2)由题意知直线l1⊥l2,所以(a+2)(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,解得a=±1,将a=±1代入方程,均满足题意.故当a=1或a=-1时,直线l1⊥l2.题后反思所给直线方程是一般式,且直线斜率可能不存在时,利用l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0和l1∥l2⇔A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0(或B1C2-B2C1≠0)来判定两条直线是否垂直或平行,避免了讨论斜率是否存在的情况,比用斜率来判定更简便.解:法一当m=0时,l1:x+6=0,l2:2x-3y=0两直线既不平行也不垂直;当m≠0时,l1:y=-1mx-6m,l2:y=-23mx-23m,若l1∥l2,则12,362,3mmmm解得m=-1;若l1⊥l2,则-123mm=-1,解得m=12.法二l1∥l2等价于1×3-m(m-2)=0且1×2m-6(m-2)≠0,解得m=-1;l1⊥l2等价于1·(m-2)+3m=0,解得m=12.已知两直线l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0,当m为何值时,直线l1∥l2?l1⊥l2?即时训练2-1:【备用例1】已知直线l的方程为3x+4y-12=0,求满足下列条件的直线l′的方程:(1)过点(-1,3),且与l平行;(2)过点(-1,3),且与l垂直.解:(1)由l′与l平行,可设l′的方程为3x+4y+m=0.将点(-1,3)代入上式得m=-9.所以所求直线的方程为3x+4y-9=0.(2)由l′与l垂直,可设l′的方程为4x-3y+n=0.将(-1,3)代入上式得n=13.所以所求直线的方程为4x-3y+13=0.直线的一般式方程的应用题型三解:(1)当l过原点时,该直线在x轴和y轴上的截距为零,当然互为相反数,所以a=2,此时l的方程为3x+y=0.当截距存在且均不为0时,有21aa=-(a-2),所以a=-2,此时l的方程为x-y-4=0.【例3】设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).(1)若l在两坐标轴上的截距互为相反数,求l的方程;(2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围.(2)将l的方程化为y=-(a+1)x+a-2,由题意知l不经过第二象限,可得10,20,aa解得a≤-1,所以a的取值范围是a≤-1.题后反思(1)已知直线的方程可确定其斜率、截距,从而可解决与斜率、截距有关的问题.(2)已知直线的大致位置,可确定斜率、截距的范围(或符号),从而可建立不等式求解参数的范围,反之若已知斜率、截距的范围(或符号)也可确定直线的大致位置.解:设所求的直线方程为2x-y+c=0,令y=0,x=-2c,令x=0,y=c,所以122cc=9,c=±6,故所求直线方程为2x-y±6=0.即时训练3-1:求平行于直线2x-y+3=0,且与两坐标轴围成的直角三角形面积为9的直线方程.(1)证明:将直线l的方程整理为y-35=a15x,所以l的斜率为a,且过定点A13,55.而点A13,55在第一象限,故l总经过第一象限.【备用例2】已知直线l:5ax-5y-a+3=0.(1)求证:不论a为何值,直线l总经过第一象限;(2)为使直线不经过第二象限,求a的取值范围.(2)解:直线OA的斜率为k=305105=3.因为l不经过第二象限,所以a≥3.谢谢观赏Thanks!