2014高考数学一轮复习课件第四篇统计、统计案例、概率第3讲(精)

2014高考数学一轮复习课件•【2014年高考浙江会这样考】•考查利用同角三角函数的基本关系式与诱导公式化简三角函数式及求三角函数值．第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式考点梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：.(2)商数关系：.2．三角函数的诱导公式公式一：sin(α＋2kπ)＝sinα，cos(α＋2kπ)＝，tan(α＋2kπ)＝tanα，其中k∈Z.sin2α＋cos2α＝1cosαsinαcosα＝tanα公式二：sin(π＋α)＝，cos(π＋α)＝，tan(π＋α)＝tanα.公式三：sin(－α)＝，cos(－α)＝，tan(－α)＝－tanα.公式四：sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝，tan(π－α)＝－tanα.公式五：sinπ2－α＝，cosπ2－α＝sinα.公式六：sinπ2＋α＝，cosπ2＋α＝.－sinα－cosα－sinαcosα－cosαcosαcosα－sinα【助学·微博】两种方法在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tanα＝sinαcosα化成正、余弦．(2)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝tanπ4＝….两个理解(1)三角函数诱导公式kπ2＋α(k∈Z)的本质是：奇变偶不变，符号看象限．(2)对诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”含义的理解：即诱导公式的左边为π2·k＋α(k∈Z)的正弦或余弦函数，当k为奇数时，右边的函数名称正余互变；当k为偶数时，右边的函数名称不改变，这就是“奇变偶不变”的含义，再就是将α“看成”锐角(可能并不是锐角，也可能是大于锐角或小于锐角还有可能是任意角)，然后分析π2·k＋α(k∈Z)为第几象限角，再判断公式左边这个三角函数(原函数)是正还是负，也就是公式右边的符号．考点自测1．sin43π·cos56π·tan－43π的值是()．A．－334B.334C．－34D.34解析原式＝sinπ＋π3·cosπ－π6·tan－π－π3＝－sinπ3·－cosπ6·－tanπ3＝－32×－32×(－3)＝－334.•答案A2．(2012·全国)已知α为第二象限角，sinα＋cosα＝33，则cos2α＝()．A．－53B．－59C.59D.53解析将sinα＋cosα＝33两边平方，可得1＋sin2α＝13，sin2α＝－23，所以(－sinα＋cosα)2＝1－sin2α＝53，因为α是第二象限角，所以sinα＞0，cosα＜0，所以－sinα＋cosα＝－153，所以cos2α＝(－sinα＋cosα)(cosα＋sinα)＝－53，选A.•答案A3．若tanα＝2，则2sinα－cosαsinα＋2cosα的值为()．A．0B.34C．1D.54解析2sinα－cosαsinα＋2cosα＝2tanα－1tanα＋2＝2×2－12＋2＝34.•答案B4．(2012·山东)若θ∈π4，π2，sin2θ＝378，则sinθ＝()．A.35B.45C.74D.34•答案D解析因为θ∈π4，π2，所以2θ∈π2，π，所以cos2θ＜0，所以cos2θ＝－1－sin22θ＝－18.又cos2θ＝1－2sin2θ＝－18，所以sin2θ＝916，所以sinθ＝34.5．(课本改编题)已知sinπ4＋α＝32，则sin3π4－α的值为________．解析sin3π4－α＝sinπ－π4＋α＝sinπ4＋α＝32.答案32考向一同角三角函数的基本关系的应用【例1】►(2012·温州质量评估)已知α是三角形的内角，且sinα＋cosα＝15.(1)求tanα的值；(2)把1cos2α－sin2α用tanα表示出来，并求其值．[审题视点](1)由sinα＋cosα＝15及sin2α＋cos2α＝1，可求sinα，cosα的值；(2)1＝sin2α＋cos2α，分子、分母同除以cos2α即可．解(1)法一联立方程sinα＋cosα＝15，①sin2α＋cos2α＝1，②由①得cosα＝15－sinα，将其代入②，整理得25sin2α－5sinα－12＝0.∵α是三角形内角，∴sinα＝45，cosα＝－35，∴tanα＝－43.法二∵sinα＋cosα＝15，∴(sinα＋cosα)2＝152，即1＋2sinαcosα＝125，∴2sinαcosα＝－2425，∴(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1＋2425＝4925.∵sinαcosα＝－1225＜0且0＜α＜π，∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinα－cosα＞0，∴sinα－cosα＝75.由sinα＋cosα＝15，sinα－cosα＝75，得sinα＝45，cosα＝－35，∴tanα＝－43.(2)1cos2α－sin2α＝sin2α＋cos2αcos2α－sin2α＝sin2α＋cos2αcos2αcos2α－sin2αcos2α＝tan2α＋11－tan2α，∵tanα＝－43，∴1cos2α－sin2α＝tan2α＋11－tan2α＝－432＋11－－432＝－257.•[方法锦囊](1)对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，已知其中一个式子的值，其余二式的值可求．转化的公式为(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；(2)关于sinα，cosα的齐次式，往往化为关于tanα的式子．【训练1】已知－π2x0，sinx＋cosx＝15.(1)求sinx－cosx的值；(2)求sin2x＋2sin2x1－tanx的值．解(1)sinx＋cosx＝15，两边平方得，1＋sin2x＝125，∴sin2x＝－2425.∴(sinx－cosx)2＝1－sin2x＝4925，又∵－π2x0，∴sinx0，cosx0，∴sinx－cosx＝－75.(2)法一sin2x＋2sin2x1－tanx＝2sinx(cosx＋sinx)1－sinxcosx＝2sinx·cosx·(cosx＋sinx)cosx－sinx＝－2425×1575＝－24175.法二由(1)，得sinx＋cosx＝15，sinx－cosx＝－75⇒sinx＝－35，cosx＝45.∴tanx＝－34.sin2x＋2sin2x1－tanx＝2sinxcosx＋2sin2x(1－tanx)(sin2x＋cos2x)＝2tanx＋2tan2x(1－tanx)(tan2x＋1)＝－24175.法三由(1)，得sinx＋cosxsinx－cosx＝－17，得tanx＋1tanx－1＝－17，∴tanx＝－34，其余同法二．考向二利用诱导公式求值【例2】►(1)已知sinπ3－α＝12，则cosπ6＋α＝________；(2)已知tanπ6－α＝33，则tan56π＋α＝________.•[审题视点]已知条件或待求式比较复杂，需对比诱导公式寻找已知角和待求角之间的关系．解析(1)∵π3－α＋π6＋α＝π2，∴cosπ6＋α＝cosπ2－π3－α＝sinπ3－α＝12.(2)∵π6－α＋5π6＋α＝π，∴tan56π＋α＝－tanπ－56π＋α＝－tanπ6－α＝－33.答案(1)12(2)－33[方法锦囊]巧用相关角的关系会简化解题过程．常见的互余关系有π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等，常见的互补关系有π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．【训练2】(1)已知sin7π12＋α＝23，则cosα－11π12＝________；(2)若tan(π＋α)＝－12，则tan(3π－α)＝________.解析(1)cosα－11π12＝cos11π12－α＝cosπ－π12＋α＝－cosπ12＋α，而sin7π12＋α＝sinπ2＋π12＋α＝cosπ12＋α＝23，所以cosα－11π12＝－23.(2)因为tan(π＋α)＝tanα＝－12，所以tan(3π－α)＝tan(π－α)＝－tanα＝12.答案(1)－23(2)12考向三利用诱导公式化简三角函数式【例3】►(1)化简：tan(π＋α)cos(2π＋α)sinα－3π2cos(－α－3π)sin(－3π－α)＝________.(2)已知f(x)＝sin(π－x)cos(2π－x)tan(－x＋π)cos－π2＋x，则f－31π3＝________.•[审题视点]利用诱导公式将函数化简，然后问题即可转化为利用诱导公式求值．解析(1)原式＝tanαcosαsin－2π＋α＋π2cos(3π＋α)[－sin(3π＋α)]＝tanαcosαsinπ2＋α(－cosα)sinα＝tanαcosαcosα(－cosα)sinα＝－tanαcosαsinα＝－sinαcosα·cosαsinα＝－1.(2)∵f(x)＝sinx·cosx·(－tanx)sinx＝－cosx·tanx＝－sinx，∴f－31π3＝－sin－31π3＝sin31π3＝sin10π＋π3＝sinπ3＝32.答案(1)－1(2)32•[方法锦囊]解答此类问题，首先要有化简的意识，将原式先化简为一个简单的形式，再代入具体的值．利用诱导公式化简，特别要注意每一个角所在的象限，防止符号及三角函数名称搞错．【训练3】(2012·湖州模拟)设f(α)＝2sin(π＋α)cos(π－α)－cos(π＋α)1＋sin2α＋cos3π2＋α－sin2π2＋α(1＋2sinα≠0)，则f－23π6＝________.解析∵f(α)＝(－2sinα)(－cosα)＋cosα1＋sin2α＋sinα－cos2α＝2sinαcosα＋cosα2sin2α＋sinα＝cosα(1＋2sinα)sinα(1＋2sinα)＝1tanα，∴f－23π6＝1tan－23π6＝1tan－4π＋π6＝1tanπ6＝3.答案3•方法优化5灵活运用同角三角函数的基本关系式求值•【命题研究】通过近三年的高考试题分析，主要考查用同角三角函数关系及诱导公式进行化简、求值，多数以选择题和填空题形式命题，难度不大，属容易题．【真题探究】►(2012·辽宁)已知sinα－cosα＝2，α∈(0，π)，则tanα＝()．A．－1B．－22C.22D．1[教你审题]思路1结合平方关系求sinα、cosα.思路2平方求sin2α.思路3化成形如y＝Asin(ωx＋φ)的形式．[一般解法]由sinα－cosα＝2，sin2α＋cos2α＝1，得：2cos2α＋22cosα＋1＝0，即2cosα＋12＝0，∴cosα＝－22.又α∈(0，π)，∴α＝3π4，∴tanα＝tan3π4＝－1.[优美解法]法一因为sinα－cosα＝2，所以2sinα－π4＝2，所以sinα－π4＝1.因为α∈(0，π)，所以α＝3π4，所以tanα＝－1.法二因为sinα－cosα＝2，所以(