2014高考数学一轮复习课件第四篇统计、统计案例、概率第5讲(精)

2014高考数学一轮复习课件•【2014年高考浙江会这样考】•1．考查正弦函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换．•2．考查应用y＝Asin(ωx＋φ)解析式解决三角函数的性质问题，通过适量的训练，掌握解决问题的通性通法．第4讲函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用考点梳理1．“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的简图“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个交点，作图时的一般步骤为：(1)定点：先确定五点．即令ωx＋φ分别等于0，π2，π，3π2，2π，得对应的五点为，，___________，，.－φωπ2－φωπ－φω3π2－φω2π－φω•(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象．•(3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y＝Asin(ωx＋φ)在R上的图象．•2．三角函数图象的变换3．函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义当函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，x∈[0，＋∞))表示一个振动时，A叫做振幅，T＝叫做周期，f＝1T叫做频率，ωx＋φ叫做相位，φ叫做初相．2πω【助学·微博】一个技巧列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为T4，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标．两种方法图象变换的两种方法：图象变换有两种方法，在解题中，一般采用先平移后伸缩的方法．三点提醒(1)要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；(2)要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；(3)由y＝Asinωx的图象得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，需平移的单位数应为φω，而不是|φ|.考点自测1．函数y＝(sinx＋cosx)2＋1的最小正周期是()．A.π2B．πC.3π2D．2π解析y＝2sinxcosx＋2＝sin2x＋2.∴T＝2π2＝π.•答案B2.已知简谐运动f(x)=Asin(ωx+φ)（|φ|＜π2)的部分图象如图所示，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为()．A．T＝6π，φ＝π6B．T＝6π，φ＝π3C．T＝6，φ＝π6D．T＝6，φ＝π3解析由图象知T＝2(4－1)＝6⇒ω＝π3，由图象过点(1,2)且A＝2，可得sinπ3×1＋φ＝1，又|φ|＜π2，得φ＝π6.•答案C3．(2012·安徽)要得到函数y＝cos(2x＋1)的图象，只要将函数y＝cos2x的图象()．A．向左平移1个单位B．向右平移1个单位C．向左平移12个单位D．向右平移12个单位解析将y＝cos2x的图象向左平移12个单位后，可得到y＝cos(2x＋1)的图象．•答案C4．(2013·武汉质检)将函数y＝sin6x＋π4的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移π8个单位，得到的函数的一个对称中心是()．A.π2，0B.π4，0C.π9，0D.π16，0解析y＝sin6x＋π4―――――――→各点的横坐标伸长到原来的3倍y＝sin2x＋π4y＝sin2(x+π8-π8)＝sin2x，由2x＝kπ，k∈Z，得x＝kπ2，k∈Z，故选A.•答案A5．(2012·天津改编)将函数f(x)＝sinωx(其中ω0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点3π4，0，则ω的最小值是________．解析将函数f(x)＝sinωx的图象向右平移π4个单位长度得到函数y＝sinωx－π4的图象，因为所得图象经过点34π，0，则sinω2π＝0，所以ω2π＝kπ(k∈Z)，即ω＝2k(k∈Z)，又ω0，所以ωmin＝2.•答案2考向一函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的图象及其变换【例1】►已知函数y＝2sin2x＋π3.(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y＝2sin2x＋π3的图象可由y＝sinx的图象经过怎样的变换而得到．•[审题视点](1)由振幅、周期、初相的定义即可解决．•(2)五点法作图，关键是找出与x相对应的五个点．•(3)只要看清由谁变换得到谁即可．解(1)y＝2sin2x＋π3的振幅A＝2，周期T＝2π2＝π，初相φ＝π3.(2)令X＝2x＋π3，则y＝2sin2x＋π3＝2sinX.列表，并描点画出图象：x－π6π12π37π125π6X0π2π3π22πy＝sinX010－10y＝2sin2x＋π3020－20(3)法一把y＝sinx的图象上所有的点向左平移π3个单位，得到y＝sinx＋π3的图象，再把y＝sinx＋π3的图象上的点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到y＝sin2x＋π3的图象，最后把y＝sin2x＋π3的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin2x＋π3的图象．法二将y＝sinx的图象上所有点的横坐标x缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到y＝sin2x的图象；再将y＝sin2x的图象向左平移π6个单位，得到y＝sin2x＋π6＝sin2x＋π3的图象；再将y＝sin2x＋π3的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)；得到y＝2sin2x＋π3的图象．[方法锦囊](1)作三角函数图象的基本方法就是五点法，此法注意在作出一个周期上的简图后，应向两端伸展一下，以示整个定义域上的图象；(2)变换法作图象的关键是看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx＋φ＝ωx＋φω来确定平移单位．【训练1】已知函数f(x)＝3sin12x－π4，x∈R.(1)画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图；(2)将函数y＝sinx的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象？解(1)列表取值：xπ232π52π72π92π12x－π40π2π32π2πf(x)030－30描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图．(2)先把y＝sinx的图象向右平移π4个单位，然后把所有的点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f(x)的图象．考向二由图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式【例2】►(1)如图是函数y=Asin(ωx+φ)+2(A0，ω0)的图象的一部分，它的振幅、周期、初相各是()．A．A＝3，T＝4π3，φ＝－π6B．A＝1，T＝4π3，φ＝3π4C．A＝1，T＝4π3，φ＝－3π4D．A＝1，T＝4π3，φ＝－π6(2)如图是函数y=Asin(ωx+φ)(A0，ω0)的图象的一部分，它的解析式为()．A．y＝23sin2x＋π3B．y＝23sinx2＋π4C．y＝23sinx－π3D．y＝23sin2x＋2π3[审题视点](1)函数的最大值为3，最小值为1，周期T＝4π3，从而A，ω可求，再代入5π6，3，可求φ值；(2)观察半个周期求ω，将点－π12，23代入求φ.解析(1)由图象可知，函数的最大值M＝3，最小值m＝1，则A＝M－m2＝3－12＝1，T2＝5π6－π6＝2π3，∴T＝4π3，∴ω＝2πT＝32.∴y＝sin32x＋φ＋2，把点5π6，3代入得：sin5π4＋φ＋2＝3，解得φ＝－3π4.(2)由T2＝－π12－－7π12＝π2，得T＝π，∴ω＝2πT＝2.把点－π12，23代入y＝23sin(2x＋φ)，得：sin－π6＋φ＝1，解得φ＝2π3.答案(1)C(2)D[方法锦囊]五点法求y＝Asin(ωx＋φ)中的φ的方法：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)时ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)时ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝3π2；“第五点”时ωx＋φ＝2π.【训练2】(2012·三明模拟)如图是函数y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的图象，此函数的解析式可为()．A．y＝2sin2x＋π3B．y＝2sin2x＋2π3C．y＝2sinx2－π3D．y＝2sin2x－π3解析由T2＝5π12＋π12＝π2，得T＝π，∴ω＝2πT＝2.把点－π12，2代入y＝2sin(2x＋φ)，得：sin－π6＋φ＝1，解得：φ＝2π3，故选B.•答案B考向三函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质的综合应用【例3】►(2013·湖州调研)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π2的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上的一个最低点为M2π3，－2.(1)求f(x)的解析式；(2)当x∈π12，π2时，求f(x)的值域．[审题视点]图象上最低点→A；图象上与x轴的相邻两个交点→T→ω；点M→φ.x范围→2x＋π6范围→f(x)的值域．解(1)由最低点为M2π3，－2，得A＝2.由x轴上相邻的两个交点之间的距离为π2，得T2＝π2，即T＝π，所以ω＝2πT＝2ππ＝2.由点M2π3，－2在图象上，得2sin2×2π3＋φ＝－2，即sin4π3＋φ＝－1.故4π3＋φ＝2kπ－π2，k∈Z，所以φ＝2kπ－11π6(k∈Z)．又φ∈0，π2，所以φ＝π6.故f(x)的解析式为f(x)＝2sin2x＋π6.(2)因为x∈π12，π2，所以2x＋π6∈π3，7π6.当2x＋π6＝π2，即x＝π6时，f(x)取得最大值2；当2x＋π6＝7π6，即x＝π2时，f(x)取得最小值－1.故函数f(x)的值域为[－1,2]．[方法锦囊]利用三角函数图象与x轴的相邻两个交点之间的距离为三角函数的12个最小正周期，去求解参数ω的值，利用图象的最低点为三角函数最值点，去求解参数A的值等．在求函数值域时，由定义域转化成ωx＋φ的范围，即把ωx＋φ看作一个整体．【训练3】如图为y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分．(1)求其解析式；(2)若将y＝Asin(ωx＋φ)的图象向左平移π6个单位后得y＝f(x)，求f(x)的对称轴方程．解(1)由图象知A＝3，以Mπ3，0为“第一点”，N5π6，0为“第三点”．列方程组ω·π3＋φ＝0，ω·5π6＋φ＝π，解之得ω＝2，φ＝－2π3.∴所求解析式为y＝3sin2x－2π3.(2)f(x)＝3sin2x＋π6－2π3＝3sin2x－π3，令2x－π3＝π2＋kπ(k∈Z)，则x＝512π＋kπ2(k∈Z)，∴f(x)的对称轴方程为x＝512π＋kπ2(k∈Z)．•规范解答7求三角函数图象的解析式•【命题研究】通过近三年的高考试题分析，该部分主要考查：①根据部分函数图象求函数的解析式；②由图象确定解析式中参数的值．题型主要有选择题、填空题和解答题，属于中档题，其中解答题中往往作为其中一问．【真题探究】►(本小题满分12分)(2012·湖南)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，ω0,0φπ2)的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)＝fx－π12－fx＋π12的单调递增区间．[教你审题]一审利用周期求ω；二审代入图中的特殊点求A和φ；三审利