基本初等函数(一)

指数函数第一课时：指数与指数幂的运算一、学习目标：1．理解分数指数幂的概念；2.掌握有理指数幂的运算性质；3．会对根式、分数指数幂进行互化；4．能够应用联系观点看问题二，知识要点：1．根式的概念：一般地，若*),1(Nnnaxn则x叫做a的n次方根奎屯王新敞新疆na叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数奎屯王新敞新疆①当n为奇数时：正数的n次方根为正数，负数的n次方根为负数奎屯王新敞新疆记作：nax奎屯王新敞新疆②当n为偶数时，正数的n次方根有两个（互为相反数）奎屯王新敞新疆记作：nax奎屯王新敞新疆③负数没有偶次方根，④0的任何次方根为0奎屯王新敞新疆2，根式的性质：①当n为任意正整数时，(na)n=a.②当n为奇数时，nna=a；当n为偶数时，nna=|a|=)0()0(aaaa3，分数指数幂：（1）正数的正分数指数幂的意义是0,,,1mnmnaaamnNn；（2）正数的负分数指数幂的意义是110,,,1mnmnmnaamnNnaa．（3），零的正分数指数幂为零，零的负分数指数幂没有意义。4，有理数指数幂的运算性质：例题分析：例1．求值：238，12100，314，341681．例2．用分数指数幂的形式表示下列各式ao：2aa，332aa，aa.例3．计算下列各式的值（式中字母都是正数）．（1）211511336622263ababab；（2）83184mn；课堂小练习：求值：第二课时：指数函数及其性质：一．教学目标：①通过实际问题了解指数函数的实际背景；②理解指数函数的概念和意义，根据图象理解和掌握指数函数的性质.③体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想；1．指数函数的定义：函数)10(aaayx且叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R奎屯王新敞新疆探究1：为什么要规定a0,且a1呢？①若a=0，则当x0时，xa=0；当x0时，xa无意义.②若a0，则对于x的某些数值，可使xa无意义.如x)2(，这时对于x=41，x=21，…等等，在实数范围内函数值不存在.③若a=1，则对于任何xR，xa=1，是一个常量，没有研究的必要性.为了避免上述各种情况，所以规定a0且a1奎屯王新敞新疆在规定以后，对于任何xR，xa都有意义，且xa0.因此指数函数的定义域是R，值域是(0,+∞).探究2：函数xy32是指数函数吗？指数函数的解析式y=xa中，xa的系数是1.有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如y=xa+k(a0且a1，kZ)；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如y=xa(a0,且a1)，因为它可以化为y=xa1，其中a10，且a112.指数函数的图象和性质：a10a1图象性质(1)定义域：R（2）值域：（0，+∞）（3）过点（0，1），即x=0时，y=1（4）在R上是增函数（4）在R上是减函数例题分析：1，考察指数函数概念:若函数y=(a2-3a+3)ax是指数函数，则有（）A，a=1或a=2B,a=1C,a=2D,a0,且a≠12,指数函数的图像过定点的问题;函数y=ax-3+3(a0，且a≠1)的图像过定点___________3,底数a对指数函数图像的影响：如图是指数函数○1y=ax,○2y=bx,○3,y=cx,○4,y=dx的图像，则a,b,c,d的与1的大小关系为__________________4,与指数函数有关的定义域，值域问题：求下列函数的定义域和值域：（1）11()2xy（2）5，比较指数式的大小：（1）3.37.1和1.28.0；（2）7.03.3和8.04.36，解指数不等式：（1），已知3x》30.5，求实数x的取值范围（2），已知0.2x25，求实数x的取值范围,课堂小练习：1，函数1218xy的定义域是______；值域是______.2，求函数)5,0[,)31(42xyxx的值域。对数函数第一课时：对数的概念及性质：教学目的：（1）理解对数的概念；（2）能够说明对数与指数的关系；（3）掌握对数式与指数式的相互转化．教学重点：对数的概念，对数式与指数式的相互转化教学难点：对数概念的理解．一、引入课题1.1.庄子：一尺之棰,日取其半,万世不竭.（1）取4次,还有多长？（2）取多少次,还有0.125尺？2.假设2002年我国国民生产总值为a亿元,如果每年平均增长8%,那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍？xyo①②③④11．对数的概念一般地，如果Nax)1,0(aa，那么数x叫做以．a为底．．N的对数（Logarithm），记作：a—底数，N—真数，Nalog—对数式说明：○1注意底数的限制0a，且1a；提出问题①为什么在对数定义中规定a0,a≠1?②根据对数定义求loga1和logaa(a0,a≠1)的值.③负数与零有没有对数?④Naalog=N与logaab=b(a0,a≠1)是否成立?2，对数的性质（1）负数和零没有对数；（2）1的对数是零：01loga；（3）底数的对数是1：1logaa；（4）对数恒等式：NaNalog；（5）nanalog．两个重要对数：①常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数.为了简便,N的常用对数log10N简记作lgN.例如：log105简记作lg5;log103.5简记作lg3.5.②自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828……为底的对数,以e为底的对数叫自然对数,为了简便,N的自然对数logeN简记作lnN.例如：loge3简记作ln3;loge10简记作ln10.应用示例：例1将下列指数式写成对数式,对数式写成指数式：（1）54=625;（2）2-6=641;(3)log2116=-4;(4)lg0.01=-2;例2求下列各式中x的值:（1）log64x=32;（2）logx8=6;第二课时：对数的运算及换底公式：学习目标1.掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的依据和过程；2.能较熟练地运用对数运算法则解决问题.复习1：（1）对数定义：如果xaN(0,1)aa，那么数x叫做，记作.（2）指数式与对数式的互化：xaN.复习2：幂的运算性质.（1）mnaa；（2）()mna；（3）()nab.复习3：根据对数的定义及对数与指数的关系解答：（1）设log2am，log3an，求mna；（2）设logaMm，logaNn，试利用m、n表示log(aM·)N※学习探究探究任务：对数运算性质及推导问题：由pqpqaaa，如何探讨logaMN和logaM、logaN之间的关系？问题：设logaMp,logaNq，由对数的定义可得：M=pa，N=qa奎屯王新敞新疆∴MN=paqa=pqa，∴logaMN=p+q，即得logaMN=logaM+logaN奎屯王新敞新疆根据上面的证明，能否得出以下式子？如果a0，a1，M0，N0，则（1）log()loglogaaaMNMN；（2）logloglogaaaMMNN；（3）loglog()naaMnMnR.※典型例题例1用logax,logay,logaz表示下列各式：（1）2logaxyz；（2）35logaxyz.例2计算：（1）5log25；（2）0.4log1；（3）852log(42)；（4）lg9100.※知识拓展①对数的换底公式logloglogbabNNa；②对数的倒数公式1loglogabba.③对数恒等式：loglognnaaNN，课堂练习：计算：（1）99log3log27；（2）2121loglog22(3)315lglg523.第三课时：对数函数及其性质（1）教学目标（一）教学知识点1．对数函数的概念；2．对数函数的图象与性质．（二）能力训练要求1．理解对数函数的概念；2．掌握对数函数的图象、性质；3．培养学生数形结合的意识．教学重点对数函数的图象、性质．教学难点对数函数的图象与指数函数的关系一、复习引入：1、指对数互化关系：2，细胞分裂问题1．对数函数的定义：函数xyalog)10(aa且叫做对数函数，定义域为),0(，值域为),(以10为底的对数函数为y=lgx,以e为底的对数函数为y=lnx例1．求下列函数的定义域：（1）2logxya；（2）)4(logxya2,对数函数的图像和性质：a＞10＜a＜1图象性质定义域：（0，+∞）值域：R过点（1，0），即当x=1时，y=0)1,0(x时0y),1(x时0y)1,0(x时0y),1(x时0y在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）上是减函数对数函数与指数函数的性质比较：a10a1图象性质(1)定义域：R（2）值域：（0，+∞）（3）过点（0，1），即x=0时，y=1（4）在R上是增函数（4）在R上是减函数例2．比较下列各组数中两个值的大小：⑴5.8log,4.3log22；⑵7.2log,8.1log3.03.0；⑶)1,0(9.5log,1.5logaaaa小结1：两个同底数的对数比较大小的一般步骤：①确定所要考查的对数函数；②根据对数底数判断对数函数增减性；③比较真数大小，然后利用对数函数的增减性判断两对数值的大小．⑶当1a时，xyalog在（0，+∞）上是增函数，于是9.5log1.5logaa；当10a时，xyalog在（0，+∞）上是减函数，于是9.5log1.5logaa．小结2：分类讨论的思想．对数函数的单调性取决于对数的底数是大于1还是小于1．而已知条件并未指明，因此需要对底数a进行讨论，体现了分类讨论的思想课堂练习：1，函数)1,0(2)1(logaaxya的图象恒过定点（）2、已知函数)1,0()1(logaaxya的定义域与值域都是[0，1]，求a的值。第四课时：对数函数的图像及其性质（2）教学目标1.教学知识点1．对数函数的单调性；2．同底数对数比较大小；３．不同底数对数比较大小；４．对数形式的复合函数的定义域、值域；５．对数形式的复合函数的单调性．2.能力训练要求4．掌握对数函数的单调性；２．掌握同底数对数比较大小的方法；３．掌握不同底数对数比较大小的方法；４．掌握对数形式的复合函数的定义域、值域；5．掌握对数形式的复合函数的单调性；6．培养学生的数学应用意识教学重点1．利用对数函数单调性比较同底数对数的大小；2．求对数形式的复合函数的定义域、值域的方法；3．求对数形式的复合函数的单调性的方法．教学难点1．不同底数的对数比较大小；２．对数形式的复合函数的单调性的讨论．例1．比较下列各组中两个值的大小：⑴6log,7log76；⑵8.0log,log23．（3）6log,7.0,67.067.0小结1：引入中间变量比较大小:例1仍是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小，当不能直接比较时，经常在两个对数中间插入1或0等，间接比较两个对数的大小练习：1．比较大小⑴3.0log7.0log4.03.0（2）1.0log1.0log2.03.0．例2．已知x=49时，不等式loga(x2–x–2)＞loga(–x2+2x+3)成立，求使此不等式成立的x的取值范围..例3．求证：函数f(x)=xx1log2在(0,1)上是增函数.例4．已知f(x)=loga(a–ax)(a＞1).（1）求f(x)的定义域和值域；（2）判证并证明f(x)的单调性.课堂练习：1，已知函数y=alog(2-xa)在［0，1］上是减函数，求a的取值范围．解：∵a＞0且a≠1,当a＞1时，∴1＜a＜2.当0a1时，∴0a1，综上述，0a1或1＜a＜2．第五课时：对数函数及其性质三教学目标（一）教学知识点1．了解反函数的概念，加深对函数思想的理解2．反