知识点1――裂项相消法

第三部分知识点的复习示例数列求和——裂项相消法注重实用理性，缺乏终极思考.高中数学是由若干个分支构成，每个分支都自成体系，具有鲜明的特点.每个分支又由许多个知识点组成.高考命题经常在这些知识点处进行，为此我们必须对重要的知识点进行强化处理，提高学生解决相关问题的能力.裂项相消法把数列的每一项拆分成两项之差，利用正负抵消，达到简化和式的目的，通俗地讲就是化简的一种技巧.1123{}1112{}.1nnnnnnaannnnbbnnaa引例：在数列中，，又，求数列的前项和1(1),228118()(1)1nnnnnabaannnn分析：研究通项公式：①为什么会有这个式子？怎样得到的？123(2)11111118[(1)()()()]223341188(1).11nnSbbbbnnnnn求和：(1)点评：不解决问题①的讲解，只能让学生了解裂项相消法的解题步骤，死记硬背解题模式，成为题型教学，达不到一轮复习的目的.一轮复习的效果就是看是否触摸到事物的本质.8(2)(1)88[(1)]nbnnnn事实上，在研究时，视分母为两个因式的积，寻找它们的差与分子的倍数关系，即，逆用分数减法运算得到，即88[(1)]18[](1)(1)(1)(1)118().1nnnnnbnnnnnnnnnn抵消后，被减数和减数各剩一项，具有对称性.3(1)=11nnn（）由于，这个常数与无关，故分母的两个因式可以是等差数列中的两项.高三数学一轮复习，必须让学生认识问题的本质，让学生有观察问题的视角、有解决问题的思维方法和运算的路径..对知识点的突破要分层处理，层层递进，逐步落实，根据学生的基础和能力情况，灵活掌握，切忌一刀切，一步到位第一个层次：了解裂项相消法的思维过程和解题步骤1.求数列的前n项和.11111,,,,,13243546n(n+2)首先：让学生把这个数列的规律体会一下，根据规律写出通项公式；其次：根据引例研究通项公式的方法，处理这个通项公式，即裂项；再次：求和.32342(1)(2)nnSnn第一个层次：了解裂项相消法的思维过程和解题步骤点评：让学生比较和引例的通项公式、消项的规律差别、相同点.让学生在比较中提高.2222222241424342.,,,,,41142143141.nnn求数列的前项和2(1)21nnnSn点评：能够解答这两题表明，学习者已对裂项相消法有初步的了解，并不能说明学习者掌握解法的本质.第二个层次：探究相同点、寻求解法2222357213..(12)(23)(34)[(1)]nnSnn求和解法1：222111()(21)[(1)]1nnannnnn通项1111()[(1)]()11nnnnnn111(11)()11nnnnnn22111111()()11(1)nnnnnn从熟悉的部分入手，对运算能力要求很高第二个层次：探究相同点、寻求解法解法2：根据裂项相消法的本质进行研究2222222222121(1)[(1)](1)(1)11(1)nnnnnannnnnnnn通项211(1)nSn“一秒钟看清本质的人和花一辈子也看不清一件事本质的人，自然是不一样的命运”电影《教父》台词第二个层次：探究相同点、寻求解法求和：knnk+1kk=124.S=(2-1)(2-1)nn+11S=1-2-1体会前四道题的共同点是什么？差异是什么？用什么视角可以把这4道题的解法统一起来？会做3、4两题表明学习者对裂项相消法的本质有初步的理解，能主动地寻找分母中两个因式的差与分子的倍数关系.这个倍数是一个与n无关的常数第三个层次：能根据裂项相消法的本质特征有意识地、有目的的进行探究，并解题成功.121321*5.(2016){},,,,,2.(){}(21)3()(){}.nnnnnnnnnnaaaaaaaaaanbnNbanT石家庄二中年高三毕业班模拟已知数列满足：是首项、公差均为的等差数列Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ令，求数列的前项和1213212()()()()12(1)22nnnaaaaaaaannnnnⅠ第三个层次：能根据裂项相消法的本质特征有意识地、有目的的进行探究，并解题成功.()Ⅱ(21)3(21)3(1)nnnnnnbann递进思维展示：这个形式不熟悉.3n与从结构特点上看不匹配.(2n-1)n(n+1)213(1)nnnbnn(2n-1)n(n+1)单看这个结构也无法处理.第三个层次：能根据裂项相消法的本质特征有意识地、有目的的进行探究，并解题成功.1(21)3(1)nnbnnn1n(n+1)这个结构很熟悉,处理很容易11()(21)31nnbnnn无规律，仍需继续处理2121()31nnnnbnn注意到两个分式可分离常数13[(2)(2)]31nnbnn第三个层次：能根据裂项相消法的本质特征有意识地、有目的的进行探究，并解题成功.31()31nnbnn希望出现啦！1331nnnbnn两个式子结构完全相同，变形结束.点评：没有基于核心、本质的思考，就必然受到其制约.繁难的运算，令人生畏，往往导致解题失败.213(1)nnnbnn第三个层次：能根据裂项相消法的本质特征有意识地、有目的的进行探究，并解题成功.另解：从通项的分式结构看：能否将分子表示为分母中两个因式的差.12133(1)nnnbnn分式的基本性质13(1)33(1)nnnnbnn寻找分子与分母中两个因式差的倍数关系第三个层次：能根据裂项相消法的本质特征有意识地、有目的的进行探究，并解题成功.111()313nnbnn裂项即逆用分式减法1331nnnbnn1331nnTn点评：裂项相消法能够实施的条件是项与项之间的“轮转”，即前一项的减数与后一项被减数相同.第三个层次：能根据裂项相消法的本质特征有意识地、有目的的进行探究，并解题成功.*1{}1.(){}1()(){}.nnnnnnnnnaaanSnbnNbSSnT变式：已知数列数列的首项、公差都是Ⅰ求数列的通项公式及前项和；Ⅱ令，求数列的前项和(1)(1),;2nnnnanS答案：2(2)T2.(1)(2)nnn第四个层次：构造裂项相消法，严守程式与灵活运用相结合，体会其本质是两项取值的轮转.222*111226.{},(3)3()0().(1)(2)(3)1111(1)(1)(1)3nnnnnnnanSSnnSnnnNaanaaaaaa例设各项都为正数的数列的前项和为且求的值；求；证明：对一切正整数，有*1(1)2(2)2().naannN解：易求；第四个层次：构造裂项相消法，严守程式与灵活运用相结合，体会其本质是两项取值的轮转.11(3)(1)2(21)11221nnnbaannnn研究通项公式1122111(1)(1)(1)11111111()()()()234567221nnaaaaaann于是得上式没有出现正负相抵的情形，解题失败.高三的数学复习不可能是一帆风顺，我们的学习也必将在解决问题中前行，只是我们如何对待失败，使失败成为我们成功的基石.第四个层次：构造裂项相消法，严守程式与灵活运用相结合，体会其本质是两项取值的轮转.为什么没有出现正负相抵的情形呢？2n是偶数，2n+1是奇数，怎样解决问题呢？看问题定方向：为什么题目不求和，而证明一个不等式呢？这个和式不可求和！可将通项适当放大，并使分母中两个因式有相同的奇偶性，便于求和.11111()2(21)(21)(21)22121nbnnnnnn第四个层次：构造裂项相消法，严守程式与灵活运用相结合，体会其本质是两项取值的轮转.12311111111[(1)()()()]2335572121111(1)2212nnTbbbbnnn又失败了！但是好在是能化简和式了，这就是成功的地方，问题在于如何提高计算的精确度，变失败为成功.第四个层次：构造裂项相消法，严守程式与灵活运用相结合，体会其本质是两项取值的轮转.向学生展示探索求解的过程，是培养学生理性思维和创新能力的组成部分，也是培养学生个性品质的有效手段.提高精确度的方法之一就是选择部分项放大.当n=1时，；不等式成立.11163T当n≥2时，第四个层次：构造裂项相消法，严守程式与灵活运用相结合，体会其本质是两项取值的轮转.12311111111[()()()623557212111111()623213nbbbbnnn综上所述：对于任意的，都有*nN11221111(1)(1)(1)3nnaaaaaa数学学习就是要让学生体会到思考的快乐，真正做到：尽享宁静与思考之乐，随时倾听来自内心深处的呼唤！第四个层次：构造裂项相消法，严守程式与灵活运用相结合，体会其本质是两项取值的轮转.点评：该解法应用了三个思想:①放大；②裂项(使分母的两个因式都变为奇数)；③提高算式的精确度（部分项放大，另一部分不变）.问题：能否只进行一次放大就解决问题呢？首先改造通项公式：11112(21)4()2nbnnnn第四个层次：构造裂项相消法，严守程式与灵活运用相结合，体会其本质是两项取值的轮转.1433目标：由于结果是，因此首项中要出现，还要满足分母的两个因式具有“后继性”，以保证裂项后取值的“轮转”.121111112(21)44()()()2nbnnnxnxnn令1212xx一方面：①第四个层次：构造裂项相消法，严守程式与灵活运用相结合，体会其本质是两项取值的轮转.12122111nxnxkxkxxx另一方面：与应具有“后继性”即，即②1213,44xx解①②得111111132(21)44()()()244111()13444nbnnnnnnnn数学的精彩源于思考，更是因为它闪烁着人类智慧的光辉！具有创造性，这也是促使学生不断进步的源动力.第四个层次：构造裂项相消法，严守程式与灵活运用相结合，体会其本质是两项取值的轮转.解法2：111111132(21)44()()()244nbnnnnnn111()13444nn1231111111[()()()]13131341122444444nbbbbnn141141()3434334n第四个层次：构造裂项相消法，严守程式与灵活运用相结合，体会其本质是两项取值的轮转.2点评：就解题过程讲，解法步步精妙，每个步骤都充满着理性思维和对裂项相消法的本质特征的认识.没有基于本质的思考，只能感受数学冰冷的美丽.知识点是数学的细胞，是知识和能力的载体.数学的每个知识点都具有一定的深度和广度，值得我们深入发掘其备考价值，使高三数学一轮复习落到实处.学生的认知都会经历一个从感性到理性的过程，要帮助学生学会研究问题.首先是识别问题；其次是观察问题的视角；第三是操作方法；第四是理性升华，即解法的本质.