第五章 定积分的换元法

定积分的换元法上一节我们建立了积分学两类基本问题之间的联系——微积分基本公式，利用这个公式计算定积分的关键是求出不定积分，而换元法和分部积分法是求不定积分的两种基本方法，如果能把这两种方法直接应用到定积分的计算，相信定能使得定积分的计算简化，下面我们就来建立定积分的换元积分公式和分部积分公式。先来看一个例子例140122dxxx换元求不定积分令12xt则)1(212txdttttdxxx221211222Ctt23613Cxx2123)12(23)12(61故40322122dxxx为去掉根号令12xt则212txtdtdx当x从0连续地增加到4时，t相应地从1连续地增加到3)0121(xdxdt于是31240322)3(21122dttdxxx尝试一下直接换元求定积分将上例一般化就得到定积分的换元积分公式由此可见，定积分也可以象不定积分一样进行换元，所不同的是不定积分换元时要回代原积分变量，而对定积分则只需将其上、下限换成新变量的上、下限即可计算出定积分，而不必回代原积分变量一、换元公式假设（1）)(xf在],[ba上连续；（2）函数)(tx在],[上是单值的且有连续导数；（3）当t在区间],[上变化时，)(tx的值在],[ba上变化，且a)(、b)(，则有dtttfdxxfba)()]([)(.证设)(xF是)(xf的一个原函数，),()()(aFbFdxxfba)],([)(tFtdtdxdxdFt)()()(txf),()]([ttf)(t是)()]([ttf的一个原函数.),()()()]([dtttfa)(、b)(,)()()]([)]([FF),()(aFbF)()()(aFbFdxxfba)()(.)()]([dtttf注意当时，换元公式仍成立.应用换元公式时应注意:（1）用)(tx把变量x换成新变量t时，积分限也相应的改变.（2）求出)()]([ttf的一个原函数)(t后，不必象计算不定积分那样再要把)(t变换成原变量x的函数，而只要把新变量t的上、下限分别代入)(t然后相减就行了.计算adxxa022解1由定积分的几何意义adxxa022等于圆周的第一象限部分的面积42a解2Caxaxaxdxxaarcsin2222222故adxxa02242aax22xayo例2令adxxa0222022costdta202)2cos1(2dtta42a解4令taxcos仍可得到上述结果taxsintadxcos00tx2tax解3.sincos205xdxx解令,cosxt,sinxdxdt2x,0t0x,1t205sincosxdxx015dtt1066t.61例3计算定积分的换元积分公式也可以反过来使用为方便计将换元公式的左、右两边对调同时把x换成t，t换成xdxxxf)()(badttf)(这说明可用)(xt引入新变量但须注意如明确引入新变量，则必须换限如没有明确引入新变量，而只是把整体视为新变量，则不必换限)(xt注例4计算.sinsin053dxxx解xxxf53sinsin)(23sincosxx053sinsindxxx023sincosdxxx2023sincosdxxx223sincosdxxx2023sinsinxdx223sinsinxdx2025sin52x225sin52x.54例5计算.)ln1(ln43eexxxdx解原式43)ln1(ln)(lneexxxd43)ln1(ln)(lneexxxd432)ln(1ln2eexxd43)lnarcsin(2eex.6例6计算aadxxax022)0(.1解一令,sintax,costdtadxax,2t0x,0t原式2022)sin1(sincosdttatata20cossincosdtttt20cossinsincos121dttttt20cossinln21221tt.4解二接解一对20cossincosdtttt令20cossincosdttttI20cossincosdttttJ则202dtJI002)cosln(sincossinsincos20ttdtttttJI4JI例7当)(xf在],[aa上连续，则有dxxfxfdxxfaaa0)()()(且有①)(xf为偶函数，则aaadxxfdxxf0)(2)(；②)(xf为奇函数，则aadxxf0)(.证,)()()(00aaaadxxfdxxfdxxf在0)(adxxf中令tx,0)(adxxf0)(adttf,)(0adttf①)(xf为偶函数，则),()(tftfaaaadxxfdxxfdxxf00)()()(;)(20adttf②)(xf为奇函数，则),()(tftfaaaadxxfdxxfdxxf00)()()(.0即：奇函数在对称区间上的积分等于0偶函数在对称区间上的积分等于对称的部分区间上积分的两倍由定积分的几何意义，这个结论也是比较明显的例8计算.11cos21122dxxxxx解原式1122112dxxx11211cosdxxxx偶函数奇函数1022114dxxx10222)1(1)11(4dxxxx102)11(4dxx102144dxx.4四分之一单位圆的面积例9若)(xf在]1,0[上连续，证明（1）2200)(cos)(sindxxfdxxf;（2）00)(sin2)(sindxxfdxxxf.由此计算02cos1sindxxxx.（1）设tx2,dtdx0x,2t2x,0t20)(sindxxf022sindttf20)(cosdttf;)(cos20dxxf（2）设tx,dtdx0x,tx,0t0)(sindxxxf0)][sin()(dttft证,)(sin)(0dttft0)(sindxxxf0)(sindttf0)(sindtttf0)(sindxxf,)(sin0dxxxf.)(sin2)(sin00dxxfdxxxf另证将上式改写为00)(sin)2(dxxfx2xt令220)(cos)(sin)2(dtttfdxxfx则02cos1sindxxxx02cos1sin2dxxx02)(coscos112xdx0)arctan(cos2x.42奇函数0例10设f(x)是以L为周期的连续函数，证明Laaadxxf无关的值与)(证明LaaaLLaLdxxfdxxfdxxfdxxf00)()()()(aLaLdtLtfLtxdxxf0)()()(令adttf0)(adxxf0)(Laaadxxfdxxf0)()(与a的值无关例11设f(x)连续，常数a0证明aaxdxxaxfxdxxaxf121222)()(证明比较等式两边的被积函数知，2xu令uduuaufxdxxaxfaa2)()(2121222uduuaufa)(21212])()([212212uduuaufuduuaufaaadttaattatfuatuduuaufaaa)()()()(22212222令tdttatfa)(12xdxxaxfxdxxaxfaa)()(1221222例12设f(x)连续10)()(dtxtfx)()(lim0常数且AAxxfx处的连续性在并讨论求0)()(xxx解连续知及由)()(lim0xfAxxfx0])([)()0(limlim00xxxfxffxx0)0(10)()(dtxtfx时0xuxt令xduufx0)(10)0()()0(lim0xxx200)(limxduufxx法则型L0022)(lim0Axxfx时0x20)()()(xduufxxfxx2000)()()(limlimxduufxxfxxxx])()([200limxduufxxfxx2000)()(limlimxduufxxfxxx22AAA)0()(lim0xx处连续在即0)(xx定积分的换元法dxxfba)(dtttf)()]([几个特殊积分、定积分的几个等式二、小结思考题指出求2221xxdx的解法中的错误，并写出正确的解法.解令,sectx,4332:t,sectantdttdx2221xxdxtdtttttansectansec14332dt4332.12思考题解答计算中第二步是错误的.txsec,43,32t,0tant.tantan12ttx正确解法是2221xxdxtxsectdtttttansectansec14332dt4332.12练习题一、填空题：1、3)3sin(dxx___________________；2、03)sin1(d________________；3、2022dxx_____________；4、2121221)(arcsindxxx___________；5、55242312sindxxxxx________________________..二、计算下列定积分：1、203cossind；2、31221xxdx；3、14311xdx；4、223coscosdxxx；5、02cos1dxx；6、224cos4dx；7、112322)11(dxxxxx；8、203},max{dxxx；9、20dxxx（为参数）.三、设时，当时，当0,110,11)(xexxxfx求20)1(dxxf.四、设baxf,)(在上连续，证明babadxxbafdxxf)()(.五、证明：101`0)1()1(dxxxdxxxmnnm.六、证明：aaadxxfxfdxxf0)]()([)(,并求44sin1xdx.七、设1,0)(在xf上连续，证明2020)cos(41)cos(dxxfdxxf.练习题答案一、1、0；2、34；3、2；4、323；5、0.二、1、41；2、3322；3、2ln21；4、34；5、22；6、23；7、4；8、8；9、417；10、时当0,238；当20时,32383；当2时,238.三、)1ln(1