求切线方程

1.求函数的导数的方法是:(1)()();yfxxfx求函数的增量(2):()();yfxxfxxx求函数的增量与自变量的增量的比值0(3)()lim.xyyfxx求极限，得导函数说明:上面的方法中把x换成x0即为求函数在点x0处的导数.法一：定义法法二：公式法（1）利用公式求出导函数（2）把代入求出()fx0x0()fx函数在点处的导数、导函数、导数之间的区别与联系。1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的，就是函数f(x)的导函数3）函数在点处的导数就是导函数在处的函数值，这也是求函数在点处的导数的方法之一。0x0()fx()fx0xx0x0()fx()fx0x0()fx0x()fx2.可以直接使用的基本初等函数的导数公式11:()'0;2:()';3:(sin)'cos;4:(cos)'sin;5:()'ln(0);6:()';17:(log)'(0,1);ln18:(ln)';nnxxxxaCxnxxxxxaaaaeexaaxaxx公式公式公式公式公式公式公式且公式函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率，即曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率是.)(0xf故曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程是:))(()(000xxxfxfy3.导数的几何意义的应用求切线方程的步骤：（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即000()()().yfxfxxx（1）求出函数在点x0处的变化率，得到曲线在点(x0,f(x0))的切线的斜率。0()fx设f(x)为可导函数,且满足条件,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率.12)1()1(lim0xxffx,12)1()1(lim)(0xxffxfx是可导函数且解：01(1)(1)lim1,21(1)xffxx.2)1(f故所求的斜率为-2.0(1)(1)lim2,(1)1xfxfx例1.已知P(-1,1)，Q(2,4)是曲线y=x2上的两点，(1)求过点P的曲线y=x2的切线方程。(2)求过点Q的曲线y=x2的切线方程。(3)求与直线PQ平行的曲线y=x2的切线方程。典例分析题型：求曲线的切线方程'2yx解(1),(2)：2(1,1),(2,4)PQyx都是曲线上的点。11'|2,xPy过点的切线的斜率k22'|4,xy过Q点的切线的斜率k12(1),210Pyxxy过点的切线方程:即：。44(2),440yxxy过Q点的切线方程:即：。例1.已知P(-1,1)，Q(2,4)是曲线y=x2上的两点，(1)求过点P的曲线y=x2的切线方程。(2)求过点Q的曲线y=x2的切线方程。(3)求与直线PQ平行的曲线y=x2的切线方程。典例分析题型：求曲线的切线方程'2yx解(3)：411,21PQ直线的斜率k11,440214yxxy与PQ平行的切线方程:即：。00'|21,xxyx切线的斜率k01,2x11(,)24M切点;2)11.yxy例2.已知，1)求求曲线在点（，）处的切线方程12()'()'yxx解1)：1:1(1).2yx2)切线方程11212x1.2x1212x22x11即：y=已知点在曲线上吗？例3求过点(1，－1)与曲线y＝x3－2x相切的直线方程．解：设P(x0，y0)为切点，则切线斜率为k＝f′(x0)＝3x20－2故切线方程为y－y0＝(3x20－2)(x－x0)①∵(x0，y0)在曲线上，∴y0＝x30－2x0②又∵(1，－1)在切线上，解得x0＝1或x0＝－12.∴将②代入③式得－1－(x30－2x0)＝(3x20－2)(1－x0)．故所求的切线方程为：y＋1＝x－1或y＋1＝－54(x－1)．即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.∴－1－y0＝(3x20－2)(1－x0)③则切线斜率为k＝1或k＝-54化简得2x30－3x20+1＝0．分解因式得(x0-1)2(2x0+1)＝0．已知点在曲线上吗？•曲线的切线的求法1.若已知曲线过点P(x0，y0)，求曲线的切线则需分点P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解．①点P(x0，y0)是切点的切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)．•②当点P(x0，y0)不是切点时可分以下几步完成：•第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))．•第二步：写出过P′(x1，f(x1))的切线方程为y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)．•第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1.•第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程．•曲线“在点P处的切线”是以点P为切点.•“过点P的切线”，点P可能是切点，也可能不是切点，点P也可能不在已知曲线上，切线可能不只一条.练习1：求双曲线y＝1x在点(2，12)处的切线方程．解：∵y′＝－1x2，∴y′|x＝2＝－14.∴切线方程为y－12＝－14(x－2)，即：x＋4y－4=0练习2：求抛物线y＝14x2过点(4，74)的切线方程．00,),xy解：设切点(01',2kyx又切线0001(),2yyxxx切线方程：74切线过(4,),20014yx①00071(4)42yxx，200017224yxx②0017xx解①②得:或149),44切点为(1，)或(7,11491(1)(4)4242yxyx切线方程：或24104490xyxy即：或14)7(27449xy练习：已知抛物线y＝ax2＋bx＋c通过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求a、b、c的值．解：因为y＝ax2＋bx＋c过点(1,1)，所以a＋b＋c＝1.y′＝2ax＋b，又曲线过点(2，－1)，曲线过点(2，－1)的切线的斜率为4a＋b＝1.由a＋b＋c＝1，4a＋b＝1，4a＋2b＋c＝－1，所以4a＋2b＋c＝－1.所以a、b、c的值分别为3、－11、9.解得a＝3，b＝－11，c＝9.四、小结2.能结合其几何意义解决一些与切点、切线斜率有关的较为综合性问题.1.会求常用函数的导数.其中:21,,,,ycyxyxyx公式1:.0()CC为常数