必修2-空间几何体的直观图

第一章空间几何体1．2.3空间几何体的直观图高效互动课堂人教A版数学·必修2课时演练广场课前自主预习1．了解“斜二测画法”的概念并掌握斜二测画法的步骤．(重点)2．会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图．(难点)3．强化三视图、直观图、原空间几何体形状之间的相互转换．(易错点)高效互动课堂人教A版数学·必修2课时演练广场课前自主预习一、用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的规则高效互动课堂人教A版数学·必修2课时演练广场课前自主预习1．斜二测画法中的“斜”和“二测”分别指什么？提示：“斜”是指在已知图形的xOy平面内垂直于x轴的线段，在直观图中均与x′轴成45°或135°；“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴或z′轴的线段长度不变；平行于y′轴的线段长度变为原来的一半．2．水平放置的直角三角形的直观图还是直角三角形吗？提示：不一定．因为用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，角和长度一般要发生变化，故水平放置的直角三角形的直观图一般为斜三角形．高效互动课堂人教A版数学·必修2课时演练广场课前自主预习二、空间几何体图形直观图的画法规则画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x′O′y′垂直的轴O′z′，且平行于O′z′的线段长度，其他同平面图形的画法．不变高效互动课堂人教A版数学·必修2课时演练广场课前自主预习3．空间几何体的直观图一定唯一吗？提示：不一定唯一．作直观图时，由于选轴不同，所画直观图就不一定相同.高效互动课堂人教A版数学·必修2课时演练广场课前自主预习用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤：建系、定点、连线成图．选取适当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点；原图中的共线点，在直观图中仍是共线点，原图中的平行线，在直观图中仍是平行线．画圆的直观图时，通常使用不同尺寸的椭圆模板．会画圆的直观图，就能画出圆柱、圆锥的直观图，如图所示．水平放置的平面图形直观图的画法高效互动课堂人教A版数学·必修2课时演练广场课前自主预习高效互动课堂人教A版数学·必修2课时演练广场课前自主预习如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4cm，CD＝2cm，∠DAB＝30°，AD＝3cm，试画出它的直观图．【思路点拨】建系――→依据斜二测画法定点―→连线成图高效互动课堂人教A版数学·必修2课时演练广场课前自主预习解：画法：(1)如图①所示，在梯形ABCD中，以边AB所在的直线为x轴，点A为原点，建立平面直角坐标系xOy.如图②所示，画出对应的x′轴，y′轴，使∠x′A′y′＝45°.高效互动课堂人教A版数学·必修2课时演练广场课前自主预习(2)如图①所示，过D点作DE⊥x轴，垂足为E.如图②所示，在x′轴上取A′B′＝AB＝4cm，A′E′＝AE＝323cm；过E′作E′D′∥y′轴，使E′D′＝12ED＝34cm，再过点D′作D′C′∥x′轴，且使D′C′＝CD＝2cm.高效互动课堂人教A版数学·必修2课时演练广场课前自主预习(3)连结A′D′、B′C′、C′D′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图③所示，则四边形A′B′C′D′就是所求作的直观图．高效互动课堂人教A版数学·必修2课时演练广场课前自主预习【题后总结】在直观图中确定坐标轴上的对应点以及与坐标轴平行的线段端点的对应点都比较好办，但是如果原图中的点不在坐标轴上或不在与坐标轴平行的线段上，就需要我们经过这些点作坐标轴的平行线段与坐标轴相交，然后先确定这些平行线段在坐标轴上的端点的对应点，再确定这些点的对应点．本例中，关键在于点D′位置的确定，这里我们采用作垂线的方法，先找到垂足E′，再去确定D′的位置．高效互动课堂人教A版数学·必修2课时演练广场课前自主预习1．用斜二测画法画边长为4cm的水平放置的正三角形的直观图．画法：(方法一)(1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴．高效互动课堂人教A版数学·必修2课时演练广场课前自主预习(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝2cm，在y′轴上截取O′A′＝12OA＝3cm，连接A′B′，A′C′，则△A′B′C′即为正△ABC的直观图，如图②所示．(方法二)(1)如图③所示，以BC边所在的直线为y轴，以BC边上的高AO所在的直线为x轴．高效互动课堂人教A版数学·必修2课时演练广场课前自主预习(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.在x′轴上截取O′A′＝OA，在y′轴上截取O′B′＝O′C′＝12OC＝1cm，连接A′B′，A′C′，则△A′B′C′即为正△ABC的直观图，如图④所示.高效互动课堂人教A版数学·必修2课时演练广场课前自主预习空间几何体的直观图的画法步骤：画轴、画底面、画高、成图．空间几何体的直观图的画法规则比平面图形直观图的画法规则只是多了一个z轴和它的平行射影z′轴，并且使平行于z′轴的线段的平行性和长度都不变．特别提醒：画图完成后，擦除辅助线，看得见的地方用实线，被遮挡的部分用虚线(或不画)，就得到了几何体的直观图．空间几何体的直观图的画法高效互动课堂人教A版数学·必修2课时演练广场课前自主预习(12分)画正六棱柱(底面是正六边形，侧棱垂直于底面)的直观图．【思路点拨】画轴→画底面→画侧棱→成图高效互动课堂人教A版数学·必修2课时演练广场课前自主预习【规范解答】画法：(1)画轴．画x′轴、y′轴、z′轴，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°.3分(2)画底面．根据x′轴，y′轴，画正六边形的直观图ABCDEF.6分高效互动课堂人教A版数学·必修2课时演练广场课前自主预习(3)画侧棱．过A、B、C、D、E、F各点分别作z′轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA′、BB′、CC′、DD′、EE′、FF′都等于侧棱长.9分(4)成图．顺次连接A′、B′、C′、D′、E′、F′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，就得到正六棱柱的直观图).12分高效互动课堂人教A版数学·必修2课时演练广场课前自主预习【题后总结】画空间几何体的直观图的关键是平面图形的直观图，只要画好几何体中的水平面内的直观图，再确定好图中关键的点，连接相应顶点，就可以画出几何体的直观图．高效互动课堂人教A版数学·必修2课时演练广场课前自主预习2．画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图．画法：(1)画轴：画O′x′轴、O′y′轴、O′z′轴，∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°，如图．高效互动课堂人教A版数学·必修2课时演练广场课前自主预习(2)画底面：以O′为中心在x′O′y′平面内，画出正方形水平放置的直观图ABCD.(3)画顶点：在O′z′轴上截取O′P，使O′P的长度是原四棱锥的高．(4)成图：顺次连接PA、PB、PC、PD，并擦去辅助线，得四棱锥的直观图.高效互动课堂人教A版数学·必修2课时演练广场课前自主预习由直观图画平面图形，实际上就是斜二测画法画直观图的逆过程．其过程主要包括：45°(或135°)的斜坐标系平面直角坐标系；平行于x′轴的线段平行于x轴，长度不变；平行于y′轴的线段平行于y轴，长度加倍．由直观图还原平面图形高效互动课堂人教A版数学·必修2课时演练广场课前自主预习如图是一个四边形ABCD的水平放置的直观图，试把它还原成原四边形ABCD.【思路点拨】直观图――→还原平面图形高效互动课堂人教A版数学·必修2课时演练广场课前自主预习解：画法：∵D′C′∥x′轴，∴DC∥x轴，即DC∥AB.∵A′D′∥y′轴，∴AD⊥AB.∴四边形ABCD是直角梯形．其中∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝4，DC＝2，AD＝6，原四边形ABCD如图所示．高效互动课堂人教A版数学·必修2课时演练广场课前自主预习【题后总结】由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴，y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．高效互动课堂人教A版数学·必修2课时演练广场课前自主预习3．如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形．高效互动课堂人教A版数学·必修2课时演练广场课前自主预习画法：(1)画直角坐标系xOy，在x轴上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；(2)过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于D′，在x轴上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，并使DB＝2D′B′；(3)连接AB、BC，△ABC即为△A′B′C′原来的图形，如图．高效互动课堂人教A版数学·必修2课时演练广场课前自主预习直观图与三视图的联系与区别(1)联系：空间几何体的三视图与直观图有着密切的联系．三视图能帮助人们从不同侧面和不同角度认识几何体的结构特征，直观图是对空间几何体的整体刻画，我们可以根据直观图的结构来想象实物的形象，同时能由空间几何体的三视图得到它的直观图，也能够由几何体的直观图得到它的三视图．根据三视图画直观图高效互动课堂人教A版数学·必修2课时演练广场课前自主预习(2)区别：三视图在工程制图中被广泛采用，且线段的长度有严格的规定．主要是平行投影中的正投影的直观性较差，而绘制物体的直观图一般采用斜投影或中心投影，可以显示空间几何体的直观形象，但作图复杂，且线段的长度不如三视图要求严格．高效互动课堂人教A版数学·必修2课时演练广场课前自主预习根据给出的空间几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．高效互动课堂人教A版数学·必修2课时演练广场课前自主预习解：由三视图可知空间几何体是一圆台，下面画出直观图．画法：(1)画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.思路点拨：三视图――→还原实物图――→斜二测画法直观图高效互动课堂人教A版数学·必修2课时演练广场课前自主预习(2)画圆台的两底面．画出底面⊙O，假设交x轴于A、B两点，在z轴上截取O′，使OO′等于三视图中相应高度，过O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，利用O′x′与O′y′画出底面⊙O′，设⊙O′交x′轴于A′、B′两点．(3)成图．连接A′A、B′B，去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，即得到给出的三视图所表示的几何体的直观图(如图②)．高效互动课堂人教A版数学·必修2课时演练广场课前自主预习【题后总结】由三视图画出直观图，首先从三视图想象出实物的形状和大小，然后按斜二测画法规则及其步骤作出其直观图．高效互动课堂人教A版数学·必修2课时演练广场课前自主预习4．画出一个正三棱台的直观图(尺寸为上、下底面边长为1cm、2cm，高为3cm)．高效互动课堂人教A版数学·必修2课时演练广场课前自主预习画法：(1)画轴．如图，画x轴、y轴、z轴三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)画下底面．以O为中点，在x轴上取线段AB，使AB＝2cm，在y轴上取线段OC，使OC＝32cm，连接BC，CA，则△ABC为正三棱台的下底面．高效互动课堂人教A版数学·必修2课时演练广场课前自主预习(3)画上底面，在z轴上取线段OO′，使OO′＝3cm.过O′点作O′x′∥Ox，O′y′∥Oy.建立坐标系x′O′y′，在x′O′y′中，以O′为中点，在x′轴上取线段A′B′，使A′B′＝1cm，在y′轴上取线段O′C′，使O′C′＝34cm，连接B′C′，C′A′，则△A′B′C′为正三棱台的上底面．(4)连线成图．连结AA′，BB′，CC′，则三棱台ABC－A′B′C′为要求画的三棱台的直观图．高效互动课堂人教A版数学·必修2课时演练广场课前自主预习误区：对斜二测画法规则不清楚致错【典例】用斜二测画法画出图中水平放置的四边形OABC的直观图．高效互动课堂人教A版数学·必修2课时演练广场课前自主预习【错误解答】(1)画x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°；(2)在O′x′