福建省2013届新课标高考文科数学一轮总复习课件：第55讲 直线与圆、圆与圆的位置关系

能充分利用几何性质判定直线与圆、圆与圆的位置关系，能熟练地分析求解与圆的切线和弦有关的综合问题，提升运算和推理能力．222220(0).1_________()1AxByCABxaybrd设直线的方程为，圆的方程为圆心到直线的距离①，．直线与圆的位置关系相切②圆与直线相离③几何法．相交④22202()00()0AxByCxaybrxy判别式法：由方程组得关于或的一元二次方程，则判别式⑤⑥代数法．⑦34直线与圆相离时，圆上各点到直线的距离中的最大值和最小值的求法可用线心距法．直线与圆相交时，弦长的求法可利用弦心距、半径及半弦长组成的直角三角形，运用勾股定理求解．2220022200221()___________()____________.2_______()()xyrPxyxyrPxylsrdls过圆上一点，的切线方程为⑧；过圆外一点，作圆的两条切线，则切点弦所在直线的方程为⑨圆的弦长⑩为2.圆的切线及圆弦心距；圆的切线长为点到圆心的弦距离的．221111222222121212300.0.CxyDxEyFCxyDxEyFDDxEEyFF公共弦所在直线的方程：圆：，圆：若两圆相交，公共弦所在直线的方程为3．两个圆的位置关系设两圆的半径分别为R、r(R≥r)，圆心距|C1C2|＝d，则两圆的位置关系如下：(1)外切：⑪__________；(2)内切：⑫__________；(3)内含：d⑬______R－r;(4)外离：d⑭______R＋r；(5)相交：R－r⑮____d⑯______R＋r.2222000022||2AaBbCdrdrABdrxxyyrxxyyrrddRrdRr①；②；③＞；④＜；⑤相交；⑥相切；⑦相离；⑧；⑨；⑩；；；＜；＞；【要点指南】＜；＜1.直线4x＋3y＝40和圆x2＋y2＝100的位置关系是()A．相交B．相离C．相切D．无法确定【解析】因为d＝405＝810＝r，所以直线与圆相交．2.以点(2，－1)为圆心，且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的方程为()A．(x－2)2＋(y＋1)2＝3B．(x＋2)2＋(y－1)2＝3C．(x－2)2＋(y＋1)2＝9D．(x＋2)2＋(y－1)2＝9【解析】r＝|3×2－4×－1＋5|32＋－42＝3，故选C.3.两圆C1：x2＋y2－6x＋4y＋12＝0与圆C2：x2＋y2－14x－2y＋14＝0的位置关系是()A．相交B．内含C．外切D．内切【解析】由已知，圆C1：(x－3)2＋(y＋2)2＝1，圆C2：(x－7)2＋(y－1)2＝36，则|C1C2|＝5＝6－1，故选D.4.直线x＋2y＝0被圆C：x2＋y2－6x－2y－15＝0所截得的弦长等于45.【解析】由已知，圆心C(3,1)，半径r＝5.又圆心C到直线l的距离d＝|3＋2|5＝5，则弦长＝2r2－d2＝45.5.过定点A(1,2)可作两直线与圆C：x2＋y2＋kx＋2y＋k2－15＝0相切，则k的取值范围是(－833，－3)∪(2，833).【解析】由已知可知定点A在圆C外，则k2＋4－4k2－1501＋22＋k＋4＋k2－150，解得－833k－3或2k833.一直线与圆的位置关系【例1】已知圆C：x2＋y2＝8及定点P(4,0)，直线l过定点P，斜率为k，试问k在什么范围内取值时，该直线l与已知圆C：(1)相切；(2)相交；(3)相离．【解析】由已知得直线l的方程为y＝k(x－4)．即kx－y－4k＝0.又圆心为(0,0)，半径为22.(1)若l与圆C相切，则|k×0－0－4k|1＋k2＝22，得k＝±1.(2)若l与圆C相交，则|k×0－0－4k|1＋k2＜22，得－1＜k＜1.(3)若l与圆C相离，则|k×0－0－4k|1＋k2＞22，得k＞1或k＜－1.【点评】直线与圆的位置关系的探究，既可利用几何性质，又可运用方程思想，问题求解应视题设情境恰当选用．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2，P点的坐标为(2，－1)，过点P作圆C的切线，切点为A、B.(1)求直线PA、PB的方程；(2)求过P点的圆的切线长；(3)求直线AB的方程．素材1【解析】(1)如图，设过P点的圆的切线方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.因为圆心(1,2)到切线的距离为2，即|－k－3|1＋k2＝2，所以k2－6k－7＝0，解得k＝7或k＝－1，所以所求的切线方程为7x－y－15＝0或x＋y－1＝0.(2)连接PC，CA.在Rt△PCA中，|PA|2＝|PC|2－|CA|2＝8，所以过P点的圆C的切线长为22.(3)由7x－y－15＝0x－12＋y－22＝2，解得A(125，95)．又由x＋y－1＝0x－12＋y－22＝2，解得B(0,1)，所以直线AB的方程为x－3y＋3＝0.二圆与圆的位置关系【例2】若动圆C与圆C1：(x＋2)2＋y2＝1及圆C2：(x－2)2＋y2＝4分别相切，且一个内切，一个外切，则动圆C的圆心的轨迹是()A．两个椭圆B．一个椭圆及一个双曲线的一支C．两个双曲线的各一支D．一个双曲线的两支【解析】设动圆C的半径为r，依题意得|C1C|＝r－1，|C2C|＝r＋2或|C1C|＝r＋1，|C2C|＝r－2，所以|C2C|－|C1C|＝3或|C1C|－|C2C|＝3，故C点的轨迹为双曲线的两支，选D.【点评】判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是4.素材2【解析】由题意知，O(0,0)，O1(m,0)，且5|m|35.因为两圆在点A处的切线互相垂直，所以OA⊥O1A，所以有m2＝(5)2＋(25)2＝25⇒m＝±5，所以|AB|＝2×5×205＝4.三圆的弦长、中点弦问题【例3】已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.(1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为43，求l的方程；(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程．【解析】(1)如图所示，AB＝43，D是线段AB的中点，CD⊥AB，AD＝23，AC＝4，在Rt△ACD中，可得CD＝2.当l的斜率存在时，设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.由点C到直线AB的距离|－2k－6＋5|k2＋1＝2，得k＝34，此时直线l的方程为3x－4y＋20＝0.又直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x＝0.所以所求直线l的方程为x＝0或3x－4y＋20＝0.(2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x，y)，则CD⊥PD，所以CD→·PD→＝0，所以(x＋2，y－6)·(x，y－5)＝0，化简得所求轨迹方程为x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.【点评】在研究弦长及弦中点问题时，可设弦AB两端点的坐标分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)．(1)若OA⊥OB(O为原点)，则可转化为x1x2＋y1y2＝0，再结合根与系数的关系等代数方法简化运算过程，这在解决垂直关系问题中是常用的；(2)若弦AB的中点为(x0，y0)，圆的方程为x2＋y2＝r2，则x21＋y21＝r2x22＋y22＝r2，所以k＝y1－y2x1－x2＝－x1＋x2y1＋y2＝－x0y0，该法叫平方差法，常用来解决与弦的中点、直线的斜率有关的问题．已知点M(3,0)，圆C：x2＋y2－2x－2y＝0，直线l过点M，在下列条件下，求直线l的方程．(1)直线l与圆C相切；(2)直线l被圆截得的弦长为2.素材3【解析】设所求直线l的斜率为k，显然k存在．则l的方程为kx－y－3k＝0，圆的方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝2.(1)因为直线l与圆C相切，所以|－1－2k|k2＋－12＝2，解得k＝－1±62.故直线l的方程为(－1＋62)x－y－3(－1＋62)＝0或(－1－62)x－y－3(－1－62)＝0.(2)由已知得(|－1－2k|k2＋－12)2＋(22)2＝(2)2，解得k＝0或k＝－43.故直线l的方程为y＝0或4x＋3y－12＝0.备选例题已知半圆x2＋y2＝4(y≥0)，动圆与此半圆相切，且与x轴相切．(1)求动圆圆心的轨迹；(2)是否存在斜率为13的直线l，它与(1)中所得轨迹从左至右顺次交于A、B、C、D四点，且满足|AD|＝2|BC|？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．【解析】(1)设动圆圆心M(x，y)，作MN⊥x轴于N.①若两圆外切，|MO|＝|MN|＋2，所以x2＋y2＝y＋2，化简得x2＋y2＝y2＋4y＋4，所以x2＝4(y＋1)(y＞0)．②若两圆内切，|MO|＝2－|MN|，所以x2＋y2＝2－y，化简得x2＋y2＝y2－4y＋4，所以x2＝－4(y－1)(y＞0)．综上所述，动圆圆心轨迹方程是x2＝4(y＋1)(y＞0)及x2＝－4(y－1)(y＞0)，其轨迹为两条抛物线位于x轴上方的部分．作简图如图所示．(2)假设直线l存在，可设l的方程为y＝13x＋b，依题意，它与曲线x2＝4(y＋1)交于点A、D，与曲线x2＝－4(y－1)交于点B，C.即由y＝13x＋bx2＝4y＋1，与y＝13x＋bx2＝－4y－1.得3x2－4x－12b－12＝0，①3x2＋4x＋12b－12＝0.②又|AD|＝1＋132|xA－xD|，|BC|＝1＋132|xB－xC|.因为|AD|＝2|BC|，即|xA－xD|＝2|xB－xC|，即(43)2＋412b＋123＝4[(43)2－412b－123]，解得b＝23，把b＝23代入方程①得xA＝－2，xD＝103.因为曲线x2＝4(y＋1)中横坐标的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，所以这样的直线l不存在．【点评】解决与圆有关的综合问题时，一方面充分利用圆与直线的直观图形以及平面几何知识来解决问题；另一方面还要注意利用一元二次方程的有关结论(判别式，韦达定理等)来解题．00000012()10.xyyykxxkxykxyk．处理直线与圆、圆与圆的位置关系常用几何法，即利用圆心到直线的距离，两圆心连线的长与半径和、差的关系判断求解．．求过圆外一点，的圆的切线方程：几何方法：设切线方程为，即由圆心到直线的距离等于半径，可求得，切线方程即可求出．000020yykxxykxkxyxk代数方法：设切线方程为，即，代入圆的方程，得一个关于的一元二次方程，由，求得，切线方程即可求出．以上两种方法只能求斜率存在的切线，斜率不存在的切线，可结合图形求得．2222312.2[4]1.4ABABABrdABxxxxk．求直线被圆截得的弦长．几何方法：运用弦心距、半径及弦长的一半构成的直角三角形，计算弦长代数方法：运用韦达定理，弦长．注意利用圆的几何性质解题．如：圆心在弦的垂直平分线上，切线垂直于过切点的半径，切割定理等．在考查圆的相关问题时，常结合这些性质一同考查，因此要注意灵活运用圆的性质解题．