福建省2013届高考数学一轮总复习 第19讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 课件 文 新课标

12．已知角的一个三角函数值，能运用同角公式求其他三角函数值．．熟练掌握诱导公式及同角公式，能求值、化简、证明．221sincos__________.2tan__________.()12．同角三角函数关系式：．三平方关系：①商数关系：②巧记口诀：奇变角函数的诱导公式偶不变，符号看象限注意：记忆公式中始终假视为锐角公式一：2kp+-p-p+2p-正弦sin④_____sin-sin-sin余弦③____cos-cos-cos⑥____正切tan-tan⑤_____tan-tan公式二：-+p-p+正弦⑦_____cos⑨_____-cos余弦sin⑧_____-sin⑩_____1cossintancoscossincossinsincos①；②；③；④；⑤；⑥【要；⑦；⑧；⑨；⑩点指南】1.(2012·格致中学)cos300°＝()A．－32B．－12C.12D.32【解析】cos300°＝cos(360°－60°)＝cos60°＝12.2.(2011·重庆卷)若cosα＝－35且α∈(π，32π)，则tanα＝()A.43B.34C．－43D．－34【解析】由cosα＝－35且α∈(π，32π)，则sinα＝－45，所以tanα＝sinαcosα＝43.3.cos(－17π4)－sin(－17π4)的值为()A.2B．－2C．0D.22【解析】原式＝cos17π4＋sin17π4＝cos(4π＋π4)＋sin(4π＋π4)＝22＋22＝2.4.已知tanα＝2，则(1)2sinα＋3cosα4cosα－sinα＝72.(2)sin2α＋2sinαcosα＝85.【解析】(1)原式＝2tanα＋34－tanα＝4＋34－2＝72；(2)sin2α＋2sinαcosα＝sin2α＋2sinαcosαsin2α＋cos2α＝tan2α＋2tanαtan2α＋1＝85.5.若sin(π＋α)＝－12，α∈(π2，π)，则sinα＝－32.【解析】根据诱导公式，sin(π＋α)＝－sinα，所以sinα＝12，又α∈(π2，π)，故cosα＝－1－sin2α＝－32.一利用诱导公式化简求值【例1】已知：f(α)＝2sinπ＋α·cosπ－α－cosπ－α1＋sin2α＋cos3π2＋α－sin2π2＋α，且1＋2sinα≠0.求f(－π6)的值．【解析】f(α)＝－2sinα·－cosα－－cosα1＋sin2α＋sinα－cos2α＝2sinαcosα＋cosα1＋sin2α＋sinα－cos2α＝cosα2sinα＋1sinα2sinα＋1＝cosαsinα＝1tanα，所以f(－π6)＝1tan－π6＝－3.【点评】(1)在使用诱导公式时，α可为任意角，并不一定要为锐角，只不过是在运用的过程中把它“看做”锐角而已．(2)活用“奇变偶不变，符号看象限”能快而准地直达目的地．求sin(－296π)＋cos125π·tan4π－cos(－1320°)＋sin1350°.素材1【解析】原式＝sin76π＋cos125π·tan0－cos120°＋sin270°＝－12＋0＋12－1＝－1.二利用同角公式的弦切转化【例2】(1)已知sinα＝13，且α为第二象限角，求tanα.(2)已知tanx＝sin(x＋π2)，求sinx.【解析】(1)因为sinα＝13，且α为第二象限角，所以cosα＝－1－sin2α＝－223，所以tanα＝sinαcosα＝－24.(2)因为tanx＝sin(x＋π2)，所以tanx＝cosx，所以sinx＝cos2x，即sin2x＋sinx－1＝0，解得sinx＝－1±52，又－1－52－1，不合题意舍去，所以sinx＝－1＋52.【点评】同角三角函数关系式是化异名(函数)为同名(函数)的基础，主要的三个关系式为sin2x＋cos2x＝1，tanx＝sinxcosx，转化时注意符号的取舍，如角的范围不确定，则注意分类讨论．若α是三角形的内角，且sinα＋cosα＝15，则tanα＝()A.43B．－43C．－34D．－43或－34素材2【解析】由sin2α＋cos2α＝1sinα＋cosα＝15，解得sinα＝45cosα＝－35或sinα＝－35cosα＝45.三同角三角函数基本公式的灵活应用【例3】已知：sinα＋cosα＝15，α∈(0，π)，求tanα的值．【分析】利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα求出sinα±cosα的值，然后求出sinα，cosα的值，从而求出tanα的值．【解析】因为(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝125，所以2sinαcosα＝－2425.因为α∈(0，π)，所以sinα0，cosα0.且|sinα||cosα|，(sinα－cosα)2＝(sinα＋cosα)2－4sinαcosα＝4925，所以sinα－cosα＝75，所以sinα＝45，cosα＝－35，所以tanα＝sinαcosα＝－43.【点评】解决这类问题要树立方程思想，充分利用同角三角函数的基本关系式及其变形的式子求值．已知：sin(π－α)－cos(π－α)＝23(π2＜α＜π)，求下列各式的值：(1)sinα·cosα；(2)sinα－cosα.素材3【解析】(1)由sin(π－α)－cos(π－α)＝23，得sinα＋cosα＝23，两边平方得1＋2sinαcosα＝29，即sinα·cosα＝－718.(2)因为π2＜α＜π，所以sinα＞0，cosα＜0.(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1－(－79)＝169，又sinα－cosα＞0，所以sinα－cosα＝43.备选例题已知tan(π4＋α)＝2，tanβ＝12.(1)求tanα的值；(2)求sinα＋β－2sinαcosβ2sinαsinβ＋cosα＋β的值．【解析】(1)因为tan(π4＋α)＝2，所以tanπ4＋tanα1－tanπ4tanα＝2.所以1＋tanα1－tanα＝2.所以tanα＝13.(2)sinα＋β－2sinαcosβ2sinαsinβ＋cosα＋β＝sinαcosβ＋cosαsinβ－2sinαcosβ2sinαsinβ＋cosαcosβ－sinαsinβ＝cosαsinβ－sinαcosβcosαcosβ＋sinαsinβ＝sinβ－αcosβ－α＝tan(β－α)＝tanβ－tanα1＋tanβtanα＝12－131＋12×13＝17.123三角恒等变形的实质是对角、函数名称及运算结构的转化，而转化的依据就是一系列的三角公式，因此对三角公式在实现这种转化中的应用应有足够的了解：同角三角函数关系——可实现函数名称的转化．诱导公式及和、差、倍角的三角函数——可以实现角的形式的转化．倍角公式及其变形公式——可实现三角函数的升幂或降幂的转化，同时也可完成角的转化．