福建省2013届高考数学一轮总复习 第30讲 数列的概念与通项公式课件 文 新课标

1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．2．了解数列是自变量为正整数的一类函数．3．会用观察法、递推法等求数列的通项公式．123______,,,,,{}.{}()?  N*( _1_____.2.31nnnnnaaaaaananafn数列是按一定①排列的一列数，记作，简记数列的第项与项数的关系若能用一个公式给出，则这个公式叫做这个数列的②__.数列可以看做定义域为或其子集）的函数，当自变量由小到大依次取值时，对应的一列函数值，它的图象是一群③数列的概念12..:. .3.3.2数列的表示方法有：列举法、图示法、解析法(用通项公式表示)和递推法(用递推关系表示)按照数列的项数分④_________、_________按照任何一项的绝对值是否超过某一正常数分⑤_____________、_______________从函数单调性角度考虑分：递增数列、⑥___、常数列、⑦___数列的表____示方法数列类____分123..412nnnnnSaaaSanaa；⑧_____数列通项与前项和的_____系___关1112nnSnSSn①顺序；②通项公式；③孤立的点；④有穷数列；无穷数列；⑤有界数列；无界数列；⑥递减数列；⑦摆动数【要点指南】列；⑧1.以下关于数列的叙述：①数列是以正整数集为定义域的函数；②数列都有通项，且是唯一的；③数列只能用通项公式的方法来表示；④既不是递增也不是递减的数列，则为常数数列；⑤数列1,1,2,3,5,8与数列8,5,3,2,1,1是同一数列；⑥对所有的n∈N*，都有an＋3＝an，则数列{an}是以3为周期的周期数列．其中正确的结论有()A．0个B．1个C．3个D．5个【解析】本题是考查数列及相关概念的题，在解题过程中，每一个叙述都有可能判断错误，故需一一给予剖析：命题①，数列可以看做是一个定义域为正整数集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的函数；命题②，不是每一个数列都有通项，有的数列不存在通项；另外，有通项公式的数列，通项公式也不一定唯一；命题③，数列除了用通项公式表示外还可以用列表法和图象法表示；命题④，数列存在递增数列、递减数列、常数数列，还有摆动数列；命题⑤，数列是有序的；⑥正确．2.数列－1,7，－13,19，…的一个通项公式是an＝(－1)n(6n－5).【解析】符号问题可通过(－1)n或(－1)n＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比它前面数的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)．3.(2012·模拟模拟)若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n＋1(n＝1,2,3，…)，则此数列的通项公式为an＝－8n＝12n－11n≥2【解析】当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－11；当n＝1时，a1＝S1＝－8，而a1不适合n≥2时的an.故an＝－8n＝12n－11n≥24.数列{an}的通项公式an＝1n＋n＋1，则a2012＝2013－2503，17－4是此数列的第16项．【解析】a2012＝12012＋2013＝2013－2012＝2013－2503.又因为17－4＝17－16＝117＋16＝a16.5.(2011·北京卷改编)若数列An：a1，a2，…，an(n≥2)满足|ak＋1－ak|＝1(k＝1,2，…，n－1)，则称An为E数列，请写出一个满足a1＝a3＝0的E数列A5为0,1,0,1,0.(写出符合条件的一个即可)【解析】0,1,0,1,0是一个满足条件的E数列A5.(答案不唯一，0，－1,0,1,0；0，±1,0,1,2；0，±1,0，－1，－2；0，±1,0，－1,0都是满足条件的E数列A5)一用观察法写数列的通项公式【例1】根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式．(1)1，－1,1，－1,1，－1，…；(2)3,5,9,17,33,65，…；(3)12，2，92，8，252，…；(4)1,0，－1,0,1,0，－1,0，….【解析】(1)an＝(－1)n＋1或an＝cos(n＋1)π.(2)an＝2n＋1.(3)an＝n22.(4)an＝sinnπ2.【点评】已知数列的前n项，写出数列的通项公式，主要从以下几个方面来考虑：(1)符号用(－1)n与(－1)n＋1(或(－1)n－1)来调节，这是因为n和n＋1奇偶交错．(2)分式形式的数列，分子找通项，分母找通项，要充分借助分子、分母的关系．(3)对于比较复杂的通项公式，要借助等差数列、等比数列(后面将学到)和其他方法来解决．(4)此类问题虽无固定模式，但也有其规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知的数列)、归纳、转化(转化为等差或等比数列)等方法．有一数列{an}，a1＝a，由递推公式an＋1＝2an1＋an，写出这个数列的前4项，并根据前4项观察规律，写出该数列的一个通项公式．素材1【分析】可根据递推公式写出数列的前4项，然后分析每一项与该项的序号之间的关系，归纳概括出an与n之间的一般规律，从而做出猜想，写出满足前4项的该数列的一个通项公式．【解析】因为a1＝a，an＋1＝2an1＋an，所以a2＝2a1＋a，a3＝2a21＋a2＝4a1＋a1＋2a1＋a＝4a1＋3a，a4＝2a31＋a3＝8a1＋3a1＋4a1＋3a＝8a1＋7a.观察规律：an＝xa1＋ya形式，其中x与n的关系可由n＝1,2,3,4得出x＝2n－1.而y比x小1，所以an＝2n－1a1＋2n－1－1a.【点评】从特殊的事例，通过分析、归纳，总结出一般规律，再进行科学的证明，这是创新意识的具体体现，这种探索问题的方法，在解数列的有关问题中经常用到，应引起足够的重视．二数列的递推公式及应用【例2】(1)(2012·古田模拟)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋1n)，则an＝__________.(2)数列{an}的首项a1＝1，an＝n－1nan－1(n≥2，n∈N*)，则an＝__________.(3)(2012·泉州联考)已知an＋1＝2anan＋2，a1＝1，(n∈N*)，则an＝__________.【分析】(1)可利用递推公式an＋1－an＝ln(1＋1n)累加求an；(2)可利用anan－1＝n－1n累乘求an，也可构造常数列{nan}求an；(3)取倒构造等差数列，利用公式求an.【解析】(1)由已知an＋1－an＝lnn＋1n，a1＝2，所以an－an－1＝lnnn－1(n≥2)，an－1－an－2＝lnn－1n－2，…，a2－a1＝ln21，将以上n－1个式子相加，得an－a1＝lnnn－1＋lnn－1n－2＋…＋ln21＝ln(nn－1×n－1n－2×…×21)＝lnn，所以an＝lnn＋2(n≥2)，经检验n＝1时也适合．(2)方法1：因为an＝n－1nan－1(n≥2)，所以an－1＝n－2n－1an－2，…，a2＝12a1，将以上n－1个式子相乘得an＝a1×12×23×…×n－1n＝a1n＝1n(n≥2)，经检验n＝1时也适合，所以an＝1n.方法2：由题意，n≥2时，nan＝(n－1)an－1，依此类推nan＝(n－1)an－1＝(n－2)an－2＝…＝1×a1＝1，所以an＝1n.(3)两边取倒数得1an＋1＝an＋22an＝12＋1an⇒1an＋1－1an＝12，所以{1an}是以1a1＝1为首项，以12为公差的等差数列，所以1an＝1＋(n－1)×12＝n＋12，即an＝2n＋1.【点评】利用递推关系求通项公式，需依据递推式的特点进行转化，目标是构造数列或运用累加法、累乘法求解；一般地，①若an＋1＝an＋d(常数)，则{an}为等差数列；②若an＋1＝an·q(q为非零常数)，则{an}为等比数列；③若an＋1＝an＋f(n)，可用累加法；④若an＋1＝f(n)·an，可用累乘法；⑤若an＋1＝pan＋q，可用待定系数法，构造以p为公比的等比数列{an＋qp－1}．数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2，求an.素材2【解析】设类型属于an＋1＝Aan＋B形式问题(A≠0)，当A＝1时，{an}为等差数列；当A≠1时，{an＋m}为等比数列，且m＝BA－1，因为an＋1＝3an＋2，所以an＋1＋1＝3an＋3＝3(an＋1)．又因为a1＋1＝2，所以{an＋1}是以2为首项以3为公比的等比数列，所以an＋1＝2·3n－1，所以an＝2·3n－1－1.【例3】(1)已知数列前n项和Sn＝n2＋n＋4，求an.(2)(2011·四川卷)数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6＝()A．3×44B．3×44＋1C．44D．44＋1三Sn与an的关系及应用【解析】(1)因为Sn＝n2＋n＋4n＝1时，a1＝S1＝6，n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n＋4－[(n－1)2＋(n－1)＋4]＝2n.当n＝1时，2n＝2×1＝2≠a1，所以an＝6n＝12nn≥2，n∈N*.(2)由an＋1＝3Sn，得an＝3Sn－1(n≥2)，相减得an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)＝3an，则an＋1＝4an(n≥2)，a1＝1，a2＝3，则a6＝a2·44＝3×44，故选A.【点评】(1)Sn与an的关系式为an＝S1n＝1Sn－Sn－1n≥2，求解时要分n＝1和n≥2两种情况讨论；(2)若n≥2，an＋1＝4an，则{an}是从第2项起为等比数列，故a6＝a2×44，而不能错写为a6＝a1×45＝45.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－12n，则这个数列的通项公式为an＝2n－32.素材3【解析】由Sn＝n2－12n，知当n＝1时，a1＝S1＝12；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－32.经验证，上式当n＝1时也适合，所以an＝2n－32.备选例题数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4，问：(1)数列中有多少项为负数？(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值？(3)n为何值时，ann＋1有最小值？并求出最小值．【分析】通项公式an＝f(n)为二次函数，结合二次函数知识探求；ann＋1出现了分式，结合函数单调性求解，切记n的取值范围．【解析】(1)由an为负数，得n2－5n＋40，解得1n4.又n∈N*，所以n＝2,3，所以数列有两项为负数．(2)因为an＝n2－5n＋4＝(n－52)2－94，所以对称轴为n＝52＝2.5又因为n∈N*，故n＝2或3时，an有最小值，其最小值为22－5×2＋4＝－2.(3)因为ann＋1＝n2－5n＋4n＋1＝n＋12－7n＋1＋10n＋1＝(n＋1)＋10n＋1－7，由函数的单调性可知，当n＝2时，ann＋1有最小值3＋103－7＝－23.【点评】(1)由于数列是一种特殊的函数，所以在研究数列的项、最值、单调性、周期性、项的大小比较等问题时，可以借助研究函数的方法进行求解；(2)求数列{an}的最值时，若解得n为正整数，则最值敲定；若解得n不是整数，则考虑与n相近的两项的大小．11(1)(2)nnnSnaSSn数列①观察分析法；②公式法：；③转化成等差、等比数列；④通项公迭加、式的求法：累乘法．