求数列通项公式的十种方法

-1-求数列通项公式方法大全一、累加法适用于：1()nnaafn----------这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。例1已知数列{}na满足11211nnaana，，求数列{}na的通项公式。解：由121nnaan得121nnaan则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1nnnnnaaaaaaaaaannnnnnnnnnn所以2nan。例2已知数列{}na满足112313nnnaaa，，求数列{}na的通项公式。解法一：由1231nnnaa得1231nnnaa则11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)2(1)313331331nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaannnn所以31.nnan解法二：13231nnnaa两边除以13n，得111213333nnnnnaa，则111213333nnnnnaa，故112232112232111122122()()()()33333333212121213()()()()3333333332(1)11111()1333333nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaan-2-因此11(13)2(1)2113133133223nnnnnann，则21133.322nnnan练习1.已知数列na的首项为1，且*12()nnaannN写出数列na的通项公式.答案：12nn练习2.已知数列}{na满足31a，)2()1(11nnnaann，求此数列的通项公式.答案：裂项求和nan12评注：已知aa1,)(1nfaann，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项na.①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;②若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;③若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。例3.已知数列}{na中,0na且)(21nnnanaS,求数列}{na的通项公式.解:由已知)(21nnnanaS得)(2111nnnnnSSnSSS,化简有nSSnn212,由类型(1)有nSSn32212,又11aS得11a,所以2)1(2nnSn,又0na,2)1(2nnsn,则2)1(2)1(2nnnnan此题也可以用数学归纳法来求解二、累乘法.适用于：1()nnafna----------这是广义的等比数列累乘法是最基本的二个方法之二。-3-例4已知数列{}na满足112(1)53nnnanaa，，求数列{}na的通项公式。解：因为112(1)53nnnanaa，，所以0na，则12(1)5nnnana，故1321122112211(1)(2)21(1)12[2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]32[(1)32]53325!nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaannnnn所以数列{}na的通项公式为(1)12325!.nnnnan例5.设na是首项为1的正项数列，且011221nnnnaanaan（n=1，2，3，…），则它的通项公式是na=________.解：已知等式可化为：0)1()(11nnnnnaanaa0na(*Nn)(n+1)01nnnaa,即11nnaann2n时，nnaann11112211aaaaaaaannnnn=121121nnnn=n1.评注：本题是关于na和1na的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到na与1na的更为明显的关系式，从而求出na.练习.已知1,111annaann,求数列{an}的通项公式.答案：na)1()!1(1an-1.评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式,11nnaann转化为),1(11nnana若令1nnab,则问题进一步转化为nnnbb1形式，进而应用累乘法求出数列的通项公式.-4-三、待定系数法适用于1()nnaqafn基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。1．形如0(,1cdcaann,其中aa1)型（1）若c=1时，数列{na}为等差数列;（2）若d=0时，数列{na}为等比数列;（3）若01且dc时，数列{na}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.待定系数法：设)(1nnaca,得)1(1ccaann,与题设,1dcaann比较系数得dc)1(,所以)0(,1ccd所以有：)1(11cdaccdann因此数列1cdan构成以11cda为首项，以c为公比的等比数列，所以11)1(1nnccdacda即：1)1(11cdccdaann.规律：将递推关系dcaann1化为)1(11cdaccdann,构造成公比为c的等比数列}1{cdan从而求得通项公式)1(1111cdaccdann逐项相减法（阶差法）：有时我们从递推关系dcaann1中把n换成n-1有dcaann1,两式相减有)(11nnnnaacaa从而化为公比为c的等比数列}{1nnaa,进而求得通项公式.)(121aacaannn,再利用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.例6已知数列{}na中，111,21(2)nnaaan，求数列na的通项公式。-5-解法一：121(2),nnaan112(1)nnaa又112,1naa是首项为2，公比为2的等比数列12nna，即21nna解法二：121(2),nnaan121nnaa两式相减得112()(2)nnnnaaaan，故数列1nnaa是首项为2，公比为2的等比数列，再用累加法的……练习．已知数列}{na中，,2121,211nnaaa求通项na。答案：1)21(1nna2．形如：nnnqapa1(其中q是常数，且n0,1)①若p=1时，即：nnnqaa1，累加即可.②若1p时，即：nnnqapa1，求通项方法有以下三种方向：i.两边同除以1np.目的是把所求数列构造成等差数列即：nnnnnqppqapa)(111,令nnnpab，则nnnqppbb)(11,然后类型1，累加求通项.ii.两边同除以1nq.目的是把所求数列构造成等差数列。即：qqaqpqannnn111,令nnnqab,则可化为qbqpbnn11.然后转化为类型5来解，iii.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列设)(11nnnnpapqa.通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项.注意：应用待定系数法时，要求pq，否则待定系数法会失效。例7已知数列{}na满足1112431nnnaaa，，求数列na的通项公式。解法一（待定系数法）：设11123(3nnnnaa)，比较系数得124,2，-6-则数列143nna是首项为111435a，公比为2的等比数列，所以114352nnna，即114352nnna解法二（两边同除以1nq）：两边同时除以13n得：112243333nnnnaa，下面解法略解法三（两边同除以1np）：两边同时除以12n得：nnnnnaa)23(342211，下面解法略练习.（2003天津理）设0a为常数，且)(2311Nnaannn．证明对任意n≥1，012)1(]2)1(3[51aannnnnn；3．形如bknpaann1(其中k,b是常数，且0k)方法1：逐项相减法（阶差法）方法2：待定系数法通过凑配可转化为))1(()(1ynxapyxnann;解题基本步骤：1、确定()fn=kn+b2、设等比数列)(yxnabnn，公比为p3、列出关系式))1(()(1ynxapyxnann,即1nnpbb4、比较系数求x,y5、解得数列)(yxnan的通项公式6、解得数列na的通项公式例8在数列}{na中，,23,111naaann求通项na.（逐项相减法）解：，,231naann①2n时，)1(231naann，两式相减得2)(311nnnnaaaa.令nnnaab1,则231nnbb利用类型5的方法知2351nnb即13511nnnaa②再由累加法可得213251nann.亦可联立①②解出213251nann.-7-例9.在数列{}na中，362,2311naaann,求通项na.（待定系数法）解：原递推式可化为ynxayxnann)1()(21比较系数可得：x=-6,y=9,上式即为12nnbb所以nb是一个等比数列，首项299611nab,公比为21.1)21(29nnb即：nnna)21(996故96)21(9nann.4．形如cnbnapaann21(其中a,b,c是常数，且0a)基本思路是转化为等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。例10已知数列{}na满足21123451nnaanna，，求数列{}na的通项公式。解：设221(1)(1)2()nnaxnynzaxnynz比较系数得3,10,18xyz，所以2213(1)10(1)182(31018)nnannann由213110118131320a，得2310180nann则2123(1)10(1)18231018nnannann，故数列2{31018}nann为以21311011813132a为首项，以2为公比的等比数列，因此2131018322nnann，则42231018nnann。5.形如21nnnapaqa时将na作为()fn求解分析：原递推式可化为211()()nnnnaapaa的形式，比较系数可求得，数列1nnaa为等比数列。例11已知数列{}na满足211256,1,2nnnaaaaa，求数列{}na的通项公式。-8-解：设211(5)()nnnnaaaa比较系数