2015届高考二轮数学文科金版学案专题复习课件4.2线性规划、基本不等式与不等式的证明

随堂讲义·第一部分知识复习专题专题四不等式第二讲线性规划、基本不等式与不等式的证明预测2015年高考中一定有线性规划小题，利用不等式性质与基本不等式的小题也一般情况都会考到，而基本不等式也可能在大题中求最值问题中用到．但由于现有导数方法研究函数最值问题，故直接利用基本不等式求最值机会变小，但仍然有考到的可能，特别是在小题中可能性很大．主干考点梳理高考热点突破栏目链接主干考点梳理考点1线性规划问题主干考点梳理高考热点突破栏目链接1．设出变量x，y，列出变量x，y的线性约束条件，确定目标函数．2．作出可行域和目标函数值为0的直线l.3．利用直线l确定最优解对应的点，从而求出最优解．主干考点梳理考点2基本不等式的应用问题主干考点梳理高考热点突破栏目链接1．基本不等式：a＋b2≥ab.(1)基本不等式成立的条件：________．(2)等号成立的条件：当且仅当________时取等号．(3)应用：两个正数的积为常数时，它们的和有______．两个正数的和为常数时，它们的积有________．2．几个重要的不等式．(1)a2＋b2≥________(a，b∈R)．(2)ba＋ab≥________(a与b同号)．a，b＞0a＝b最小值最大值2ab2主干考点梳理主干考点梳理高考热点突破栏目链接(3)a＋1a≥________(a＞0)，a＋1a≤__________(a＜0)．(4)ab≤a＋b22(a，b∈R)．2－2主干考点梳理考点自测主干考点梳理高考热点突破栏目链接1．设x，y满足2x＋y≥4，x－y≥1，x－2y≤2，则z＝x＋y()A．有最小值2，最大值3B．有最小值2，无最大值C．有最大值3，无最小值D．既无最小值，也无最大值B主干考点梳理解析：主干考点梳理高考热点突破栏目链接画出不等式表示的平面区域，如图，由z＝x＋y，得y＝－x＋z，令z＝0，画出y＝－x的图象，当它的平行线经过A(2，0)时，z取得最小值，最小值为z＝2，无最大值．故选B.主干考点梳理主干考点梳理高考热点突破栏目链接2．若x＞0，则x＋2x的最小值为________．22∵x＞0⇒x＋2x≥22，当且仅当x＝2x⇒x＝2时取等号．解析：主干考点梳理主干考点梳理高考热点突破栏目链接3．(2014·广东卷)若变量x、y满足约束条件x＋2y≤8，0≤x≤4，0≤y≤3，则z＝2x＋y的最大值等于()A．7B．8C．10D．11C主干考点梳理主干考点梳理高考热点突破栏目链接解析：作出不等式组x＋2y≤8，0≤x≤4，0≤y≤3，所表示的可行域如下图所示．主干考点梳理主干考点梳理高考热点突破栏目链接直线x＝4交直线x＋2y＝8于点A(4，2)，作直线l：z＝2x＋y，则z为直线l在y轴上的截距，当直线经过可行域上的点A时，直线l在y轴上的截距最大，此时z取最大值，即zmax＝2×4＋2＝10.故选C.主干考点梳理主干考点梳理高考热点突破栏目链接4．(2014·重庆卷)若log4(3a＋4b)＝log2ab，则a＋b的最小值是()A．6＋23B．7＋23C．6＋43D．7＋43D主干考点梳理主干考点梳理高考热点突破栏目链接解析：由题意，ab＞0，且3a＋4b＞0，所以a＞0，b＞0.又log4(3a＋4b)＝log2ab，所以3a＋4b＝ab，所以4a＋3b＝1.所以a＋b＝(a＋b)4a＋3b＝7＋4ba＋3ab≥7＋24ba·3ab＝7＋43，当且仅当4ba＝3ab时，等号成立．故选D.主干考点梳理高考热点突破栏目链接突破点1不等式正、误的辨别与大小比较问题高考热点突破主干考点梳理高考热点突破栏目链接主干考点梳理高考热点突破栏目链接例1(1)设a，b∈R，若a－|b|＞0，则下列不等式中正确的是()A．b－a＞0B．a3＋b3＜0C．b＋a＞0D．a2－b2＜0(2)已知a＞b＞0，且ab＝1，设c＝2a＋b，p＝logca，m＝logc(ab)，n＝logcb，则m，n，p的大小关系是________．Cp＜m＜n思路点拨：高考热点突破主干考点梳理高考热点突破栏目链接(1)可以根据a－|b|＞0去掉绝对值号得到a与b的大小关系，从而作出判断，亦可以在a，b∈R的前提下取满足a－|b|＞0的特殊实数a，b验证．(2)可以由已知先得到a，b，ab三者的大小关系，再判定c与1的大小关系，最后利用对数函数的单调性比较大小．亦可以用特殊值法比较．解析：高考热点突破主干考点梳理高考热点突破栏目链接(1)解法一由a－|b|＞0，得a＞|b|，∴－a＜b＜a，∴a＋b＞0且a－b＞0，∴b－a＜0，A错．a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＝(a＋b)a－b22＋34b2＞0，∴B错．而a2－b2＝(a－b)(a＋b)＞0，∴D错．故选C.解法二(特殊值法)∵a，b∈R且a－|b|＞0，∴取a＝2，b＝－1.高考热点突破主干考点梳理高考热点突破栏目链接则b－a＝－1－2＝－3＜0，∴A错．a3＋b3＝8－1＝7＞0，∴B错．a2－b2＝22－(－1)2＝3＞0，∴D错．故选C.(2)解法一∵a＞b＞0且ab＝1，∴a＞1，0＜b＜1.∴a＞ab＞b＞0，又0＜c＝2a＋b＝2a＋1a＜22a·1a＝1，高考热点突破主干考点梳理高考热点突破栏目链接∴y＝logcx在(0，＋∞)为减函数，∴p＜m＜n.解法二(特殊值法)∵a＞b＞0且ab＝1，∴取a＝2，b＝12.∴c＝2a＋b＝45＜1，p＝log452＜0，m＝log451＝0，n＝log4512＞0，∴p＜m＜n.规律方法(1)判断不等式的正误，常利用不等式的性质、基本不等式、函数的单调性和特殊值法、作差法等．(2)比较大小常利用：①函数的单调性法；②图象法；③不等式的性质或基本不等式法；④作差法；⑤特殊值法．高考热点突破主干考点梳理高考热点突破栏目链接跟踪训练高考热点突破主干考点梳理高考热点突破栏目链接1．设a＞b＞1，c＜0，给出下列三个结论：①ca＞cb；②ac＜bc；③logb(a－c)＞loga(b－c)．其中所有的正确结论的序号是()A．①B．①②C．②③D．①②③D解析：高考热点突破主干考点梳理高考热点突破栏目链接由a＞b＞1，c＜0得ca＞cb，故①正确；由幂函数的单调性知：ac＜bc，故②正确；由对数函数的单调性知：logb(a－c)＞loga(b－c)，故③正确．故选D.突破点2线性规划问题高考热点突破主干考点梳理高考热点突破栏目链接例2某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为________元．2300解析：高考热点突破主干考点梳理高考热点突破栏目链接设甲种设备需要生产x天，乙种设备需要生产y天，该公司所需租赁费为z元，则z＝200x＋300y，甲、乙两种设备生产A，B两类产品的情况如下表所示：产品设备A类产品/件B类产品/件租赁费/元甲设备510200乙设备620300高考热点突破主干考点梳理高考热点突破栏目链接则满足的关系为5x＋6y≥50，10x＋20y≥140，x≥0，y≥0，即x＋65y≥10，x＋2y≥14，x≥0，y≥0.作出不等式表示的平面区域，当z＝200x＋300y对应的直线过两直线x＋65y＝10，x＋2y＝14的交点(4，5)时，目标函数z＝200x＋300y取得最小值，为2300元．误区警示：本题易由于画图不准，而将顶点确定错．规律方法(1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是由最优解确定目标函数的字母系数的取值范围．(2)解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．高考热点突破主干考点梳理高考热点突破栏目链接跟踪训练高考热点突破主干考点梳理高考热点突破栏目链接2．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克，B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A，B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是()A．1800元B．2400元C．2800元D．3100元C解析：高考热点突破主干考点梳理高考热点突破栏目链接设公司每天生产甲种产品x桶，乙种产品y桶，公司共可获得利润为z元，则由已知，得z＝300x＋400y，且x＋2y≤12，2x＋y≤12，x≥0，y≥0，画可行域(如图所示),高考热点突破主干考点梳理高考热点突破栏目链接目标函数z＝300x＋400y可变形为y＝－34x＋z400，这是随z变化的一组平行直线．解方程组2x＋y＝12，x＋2y＝12，得x＝4，y＝4，即A(4，4)．∴zmax＝300×4＋400×4＝2800.高考热点突破主干考点梳理高考热点突破栏目链接解决线性规划题目的常规步骤：一列(列出约束条件)、二画(画出可行域)、三作(作目标函数变形式的平行线)、四求(求出最优解).点评：突破点3利用基本不等式求最值问题高考热点突破主干考点梳理高考热点突破栏目链接例3下图所示的是自动通风设施，该设施的下部ABCD是等腰梯形，其中AB＝1米，梯形的高为0.5米，CD＝3米，上部CmD是个半圆，固定点E为CD的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗(阴影部分均不通风)，MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和CD平行的伸缩横杆．高考热点突破主干考点梳理高考热点突破栏目链接(1)设MN与AB之间的距离为x米，试将三角通风窗EMN的通风面积S(平方米)表示成关于x的函数S＝f(x)．(2)当MN与AB之间的距离为多少米时，三角通风窗的通风面积最大？并求出这个最大面积．解析：高考热点突破主干考点梳理高考热点突破栏目链接(1)①当0≤x＜12时，由平面几何知识，得MN－13－1＝x12，所以MN＝2(3－1)x＋1＝4x＋1，S＝f(x)＝12·MN·12－x＝－2x2＋12x＋14.②当12＜x＜2时，S＝f(x)＝12×294－x－122×x－12＝94－x－122×x－12，高考热点突破主干考点梳理高考热点突破栏目链接所以S＝f(x)＝－2x2＋12x＋14，x∈0，12，94－x－122×x－12，x∈12，2.(2)①当0≤x＜12时，f(x)＝－2x2＋12x＋14＝－2x－182＋932≤932，当x＝18时，等号成立；②当12＜x＜2时，f(x)＝94－x－122×x－12≤高考热点突破主干考点梳理高考热点突破栏目链接94－x－122＋x－1222＝98，当94－x－122＝x－122，即x＝2＋324时，等号成立．所以当x＝2＋324时，f(x)max＝98.综上所述，当MN与AB之间的距离为x＝2＋324米时，三角通风窗EMN的通风面积最大，最大面积为98平方米．规律方法在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件，才能应用，否则会出现错误．而“定”条件往往是整个求解过程中的一个难点和关键．解题时应根据已知条件适当进行添(拆)项，创造应用均值不等式的条件．高考热点突破主干考点梳理高考热点突破栏目链接跟踪