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排队论主要公式一、状态平衡方程()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=−=−≤=++−−−++−−12.10,011.10,010.10,1,01111001111kkkknnnnnnnppppknpppμλμλμμλλ当系统状态为可数状态时，将上述第一个式子的k换成∞，而将第三式去掉。二、的关系为和qsqsWWLL,,()()()()00;001;10.20210.2113;10.224.10.23sqqsqsqLWLλλμλμ===+=+上述四个式子称为公式。三、标准的M/M/1模型（1）系统在稳定状态下处于状态n的概率()()13.10,1,1,1,10≥−=−=ρρρρnppnn其中μλρ/=，它是系统的平均到达率与平均服务率之比，称为服务强度或称为话务强度。（2）系统的运行指标１0系统中的平均顾客数LS为()14.10;10,10−=−==∑∞=ρλμλρρNnSnpL02系统中等待的平均顾客数qL为()()15.10;1121λμρλρρ−=−=−=∑∞=nnqpnL03顾客在系统中的逗留时间W的分布及平均逗留时间SW为()()()[]()17.10;116.10,0,1λμωωωωλμ−==≥−=−−EWeFq04顾客在系统中的等待时间分布及平均等待时间qW为()()()()()19.10.118.10,0,1λμρλμμλμωρωωλμ−=−=−=≥−=−−sqqWWeF//1NMM四、系统容量有限制（设为）的模型（1）系统在稳态下处于状态n的概率01系统空闲的概率为()24.10.1,11;1,1110⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+≠−−=+ρρρρNpN02系统中有n个客户的概率为()()01,1,1,1110.251,1;1nnnnNNppNρρρρρρ⎧−≠≤≤⎪⎪−+==⎨⎪=⎪+⎩其中1,/=p此处μλρ的条件可以取消。1()nnppρD不过，若时系统的损失率或表示被拒绝的平均数将是很大的。11021(1),1,11(10.26),1;2SNnNSnnLNLnpNρρρρρρ++=⎧+−≠⎪⎪−−=⎨⎪=⎪⎩∑o（）系统的运算指标系统中的平均顾客数为012112(1)(1)(1),1,2(1)(10.27)(),1;11qNqnsnNNLLnpLpNNNNρρρρρρρ=++=−=−−−⎧=⎪+⎪=⎨+⎪−≠⎪−−⎩∑o系统中等待的平均顾客数为21031()()11,0;(10.28)12!!snNnwwNnμρμμρμρ−−=⎧⎫⎡⎤−⎪⎪=−+++…+≥⎨⎬⎢⎥−⎪⎪⎣⎦⎩⎭∑o（）顾客在系统中的逗留时间的分布及平均逗留时间为11,1,2(10.29)1,1;(1)sNNNWNρλρρμλλρ++⎧=⎪⎪=⎨⎪−≠⎪−−⎩111014,(1)()()1,0,(10.30)1!,1,1(1)(1)(10.31)1,1,2qnjNnwqNnjNNqWwFwwjNWWNμρρμρρρρρμρλρμρλ−−−==+−=−≥−⎧−≠⎪⎪−−=−=⎨−⎪=⎪⎩∑∑o顾客在系统中的等待时间分布及平均等待时间即1(3)(1),(1),1,1(10.32),11eeNNNenNppNNλλλλλρρλλρ+==−⎧−≠⎪⎪−=⎨⎪=⎪+⎩系统的有效到达率对于容量有限制的系统，是在系统中有空闲等待空间时的平均到达率，当系统已满（即）时，则到达率为零，需要求出有效到达率故//11()(10.33)eesmMMPalmmLλλλλ−=−五、顾客源有限（设为）的模型机器维修模型（）系统的有效到达率为其中为每台机器单位运转时间内发生故障的概率或平均次数。[]101110100021(1)(10.34)(),11,(10.35),(10.36)2(1)!(),(10.37)()!!(),(10.38)()!nnnnmmnmninnppmppmnpmnpnmppppnmmpmimppmnμλμλλμμλλμλμ+−−−==⎧⎪+−+⎪⎨=−+≤≤−⎪⎪=⎩≤≤⎡⎤=⎢⎥−⎣⎦=•−∑oo（）生灭过程差分方程组与稳态概率差分方程组稳态概率和为000(3)1,(1),(10.39)21(1)()(1),(10.40)seSSLLmmpLLqLpmpλμλλλμλ=−=−−=−−=−+−oo系统的运行指标系统中的平均顾客数即系统中等待队列的平均顾客数，即0001131(10.41)14111(10.42)15,(1)(10.43)//(2)(1)1()(1)0,ssseqqsnnnnWLmWpWmWWpaamLpMMccppnpnpλμλμμλμμλλλμμ−+==−−=−=−−−=−=−≥−+++=oooo顾客在系统中的平均逗留时间，即（）顾客在系统中的平均等待时间，即（）正在正常运转的平均机器台数即六、标准的模型差分方程组和稳态概率差分方程组11011100001,(10.44)()0,,(10.45)0(10.46)21,1,(10.47)11,1,!(10.48)1,,!13nnncckckcnnnccncpcpcpncpppkcpncnpnpnccccλλμμλμρρρρρρλλρρμμ−+−−=−••≤≤⎧⎪−++=≥⎨⎪−+=⎩⎡⎤==⎢⎥−⎣⎦⎧≤⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩==∑oo稳态概率！！（）其中，〈所有服务台均被占用（即{}0210.491(2)1;(10.50)(1)ckkccscsccPNcppcLLpρρρρρ∞=≥==−=+−∑o顾客需等待）的概率（）！（）系统的运行指标平均队长为222210.51)1.311;(10.52)(1)411;(10.53)(1)5,(10.54)(qcqsccqsscqqsccLLLcpcWLWpccρρρλλμμμλμμμρρ=−=−===+−=−=−===oooo平均等待队长为，（（）其中为系统平均繁忙的服务台数顾客的平均逗留时间为顾客的平均等待时间为每个服务台的实际利用率为称为系统的服务强度。七、系统容量有限制设11111010100)//(1)1()(1)0,1,(10.55)()0,,(10.56)0,(10.57)0.(10.58)2(1)!!(1)nnnnnnnNNncNcnckcNMMcppnpnpncpcpcpcnNpcpppppncpλλμμλλμμλμλμρρρρ−+−+−−+=−+++=≤⎧⎪−++=≤⎪⎨−=⎪⎪−=⎩−+−=oo为的的模型差分方程组和稳态概率差分方程组稳态概率和为111100,1,(10.59)(1),1,!!/,/.ccnccckccNcnccρρρρλμρλμ−−−−=⎧⎡⎤⎪≠⎢⎥⎪⎣⎦⎨⎪⎡⎤+−+=⎪⎢⎥⎣⎦⎩==∑∑其中⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤Ρ≤Ρ=Ρ−.,0,,!,1,!00NnNnccccnncnnnnρρ102(2)11(10.61)21.(10.62)(3)1[11]110.63)12(1);(10.64)3eeNeNscncNcscccNcqeqssNcLLNcccLLLLWλλλλλμμρρρρρρρλρμ+−−=−Ρ==−Ρ=Ρ−−−−+−−=−=−−Ρ。。。。。系统的有效到达率和服务台的平均繁忙台数为（），（）系统的运行指标平均队长为（）（）（）；（！（）平均等待队长为顾客的平均逗留时间100(1);(10.65)411(1);(10.66)5(1)(1).(10.67)//(1)1;(10.68)!ssssNeqqsNsNcNkckLWLλλλμμλρμρ−===•−Ρ=−=−Ρ−==−Ρ=−Ρ=⎛⎞Ρ=⎜⎟⎝⎠∑。。。为顾客的平均等待时间为服务台的利用率为八、时的损失制模型统计平衡下的稳态概率为002,1;(10.69)!3()/(10.70)!!10.70.(2)(1)(10.71)nnnkcckeecppncnpcKErlangρρρλλλ==≤≤==−Ρ∑。。称公式为损失公式或堵塞概率系统的有效到达率为(3)0,(10.72)0.(10.73)qqLW==系统的运行指标为1(1),(10.74)csncnLnρ==Ρ=−Ρ∑(1)1(10.75)(1)scsecLWρρλλμ−===−Ρ11000,0,()//()(1)!1;(10.76)!0,2(10.77)!.!(2)nnkcmkckkcnnnncmMMcPalmmmkkkccmncnmncnmnccλλμμλμλμ−−−==−Ρ⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞Ρ=+⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎢⎝⎠⎝⎠⎥⎣⎦⎧⎛⎞⎛⎞⋅Ρ≤≤⎪⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎪⎝⎠Ρ=⎨⎛⎞⎪⎛⎞Ρ≤≤⎜⎟⎜⎟⎪⎝⎠⎝⎠⎩∑∑。。九、顾客源有限的模型模型系统的稳态概率为1110.78)2();(10.79)3;(10.80)()mqnncesqqssssesLncLLLmLLLWmLλλμμλλ=+=−Ρ=+=+−==−∑。。。系统的运行指标为（）；（0004(10.81)()(3)1();(10.82)2.(10.83)1/qqqessssLLWmLcPcmLsWPWλλλμλ==−=−=+平均繁忙的服务台数和一台机器停止运转的概率为221//1[],(10.84)2(1)int[][][],1.[].(2)//1ssqsesqssqqMGVarTLPollaczekKhchineTETVarTETLLLWWETLWLWMDρλρρρλρλλ+=+−−=〈=+=+==十、几种特殊的时间的排队模型（）一般服务时间模型称此公式为公式，其中，为服务时间，和已知，再有公式，，和等只要知道上述三个就可以求出其余的运行指标来定长服务时间模21/,[]0,(10.85).(10.86)2(1)sTVarTLμρρρ===+−型1202000(3)//10(1)1,(10.87)2(1)(1)2(10,88)2(1)3/,(10.89)4/.(10.90)kkiisqssqqMEkTikTTkLkkLkWLWLμρρρρρλλ=〉=+=+−+=−==∑爱尔兰服务时间模型若顾客必须经过个服务台，每个服务站的服务时间相互独立，并服从相同的的负指数分布，则顾客经过服务时间服从阶爱尔兰分布，其运行指标为十一、排队系统的最优化问题01//11//1.,,(10.91)1swsswwsswMMMMzccLccccccμλμμμλλμλμ=+=+−∗=+=（）模型中最有服务率标准的模型其中为当时服务机构单位时间的费用，为每个顾客在系统中停0111112.2//1(1).0,(1),(10.92)(1),,(1)/,/.NNNssNNNNsNssNMMzpGcGcdzdcNNGcNGGGcμλλμλμμμλμρρρρλρμλμ+++++−=−−=⋅−−=−++⋅=−∗∗留单位时间的费用系统容量为的模型令得因为和为每服务个顾客的收入已知，将上式左边作为的函数作出图形，对于给定的根据图形求出，从而也就得到了013//1()(),()msssmmMMmEmGezmLGccmEμμρρ−=−−=⋅−顾客源有限（设定）的模型0()0,!kmxmkxmdzExekdλρμμμ−===∗=∑式中称为普阿松部分和，为求，令有21212()()()()().(10.93)()mmmmmsmmmmmmmEEEEEcmGEρρρρρρλρ−−−⎡⎤+−⎢⎥⎣⎦=./,/,,∗∗λμλρμ根据图形可求出对于给定的作出图形的函数作出或作上式左方作为通过数字计算求得通常利用普阿松分布表GcsccMM模型中最优的服务台数//)2(单位时间内的全部费用Lccczws+='，最小，由此有间的成本。现在要求，为每个服务台每位时其中)('∗czc),1()()1()(+∗≤∗−∗≤∗czczccz和故得到).()1(/')1()(∗−−∗≤≤+∗−∗cLcLcccLcLws)94.10(./'21来等式的区间里就可订出根据这个数落在那个不是已知数，值之差，因的值，并作两相邻的，时，，依次求∗=cccLLcwsKLittle定理是在排队系统中的基本定