江苏高考数学二轮复习专题一第2讲解三角形与三角函数的图象、性质学案理

第2讲解三角形与三角函数的图象、性质高考定位高考对本内容的考查主要有：(1)正弦定理和余弦定理以及解三角形问题是B级要求，主要考查：①边和角的计算；②三角形形状的判断；③面积的计算；④有关的范围问题.由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视.(2)三角函数的有关知识大部分是B级要求，只有函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质是A级要求；试题类型可能是填空题，同时在解答题中也有考查，经常与向量结合考查，构成基础题.真题感悟1.(2013·江苏卷)函数y＝3sin2x＋π4的最小正周期为________.解析利用函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期公式求解.函数y＝3sin2x＋π4的最小正周期为T＝2π2＝π.答案π2.(2011·江苏卷)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f(0)＝________.解析因为由图象可知振幅A＝2，T4＝7π12－π3＝π4，所以周期T＝π＝2πω，解得ω＝2，将7π12，－2代入f(x)＝2sin(2x＋φ)，解得一个符合的φ＝π3，从而y＝2sin2x＋π3，∴f(0)＝62.答案623.(2018·江苏卷)已知函数y＝sin(2x＋φ)－π2φπ2的图象关于直线x＝π3对称，则φ的值是________.解析由函数y＝sin(2x＋φ)－π2φπ2的图象关于直线x＝π3对称，得sin2π3＋φ＝±1，因为－π2φπ2，所以π62π3＋φ7π6，则2π3＋φ＝π2，φ＝－π6.答案－π64.(2016·江苏卷)在△ABC中，AC＝6，cosB＝45，C＝π4.(1)求AB的长；(2)cosA－π6的值.解(1)由cosB＝45，得sinB＝1－cos2B＝35.又∵C＝π4，AC＝6，由正弦定理，得ACsinB＝ABsinπ4，即635＝AB22，所以AB＝52.(2)由(1)得：sinB＝35，cosB＝45，sinC＝cosC＝22，则sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝7210，cosA＝－cos(B＋C)＝－(cosBcosC－sinBsinC)＝－210，则cosA－π6＝cosAcosπ6＋sinAsinπ6＝72－620.考点整合1.正、余弦定理、三角形面积公式(1)asinA＝bsinB＝csinC＝a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝2R(R为△ABC外接圆的半径).变形：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R；a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.(2)a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC；推论：cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab；变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，a2＋c2－b2＝2accosB，a2＋b2－c2＝2abcosC.(3)S△ABC＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA.2.常见三种函数的图象与性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象单调性在－π2＋2kπ，π2＋2kπ(k∈Z)上单调递增；在π2＋2kπ，3π2＋2kπ(k∈Z)上单调递减在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减在－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)上单调递增对称性对称中心：(kπ，0)(k∈Z)；对称轴：x＝π2＋kπ(k∈Z)对称中心：π2＋kπ，0(k∈Z)；对称轴：x＝kπ(k∈Z)对称中心：kπ2，0(k∈Z)3.三角函数的两种常见变换热点一正、余弦定理的应用[考法1]三角形基本量的求解【例1－1】(1)(2018·全国Ⅱ卷改编)在△ABC中，cosC2＝55，BC＝1，AC＝5，则AB＝________.解析因为cosC＝2cos2C2－1＝2×15－1＝－35，所以由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcosC＝25＋1－2×5×1×－35＝32，所以AB＝42.答案42(2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知ab，a＝5，c＝6，sinB＝35.①求b和sinA的值；②求sin2A＋π4的值.解①在△ABC中，因为ab，故由sinB＝35，可得cosB＝45.由已知及余弦定理，有b2＝a2＋c2－2accosB＝13，所以b＝13.由正弦定理asinA＝bsinB，得sinA＝asinBb＝31313.所以b的值为13，sinA的值为31313.②由①及ac，得cosA＝21313，所以sin2A＝2sinAcosA＝1213，cos2A＝1－2sin2A＝－513.故sin2A＋π4＝sin2Acosπ4＋cos2Asinπ4＝7226.探究提高1.解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则考虑两个定理都有可能用到.2.关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角恒等变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”.[考法2]求解三角形中的最值、面积问题【例1－2】(2017·苏北四市调研)已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，且acosC＋3asinC－b－c＝0.(1)求A；(2)若a＝2，求△ABC面积的最大值.解(1)由acosC＋3asinC－b－c＝0及正弦定理得sinAcosC＋3sinAsinC－sinB－sinC＝0.因为B＝π－A－C，sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC，所以3sinAsinC－cosAsinC－sinC＝0.易知sinC≠0，所以3sinA－cosA＝1，所以sinA－π6＝12.又0＜A＜π，－π6＜A－π6＜5π6，即A－π6＝π6，所以A＝π3.(2)法一由(1)得B＋C＝2π3C＝2π3－B0＜B＜2π3，由正弦定理得asinA＝bsinB＝csinC＝2sinπ3＝43，所以b＝43sinB，c＝43sinC.所以S△ABC＝12bcsinA＝12×43sinB×43sinC·sinπ3＝433sinB·sinC＝433·sinB·sin2π3－B＝43332sinBcosB＋12sin2B＝sin2B－33cos2B＋33＝233sin2B－π6＋33.易知－π6＜2B－π6＜7π6，故当2B－π6＝π2，即B＝π3时，S△ABC取得最大值，最大值为233＋33＝3.法二由(1)知A＝π3，又a＝2，由余弦定理得22＝b2＋c2－2bccosπ3，即b2＋c2－bc＝bc＋4＝b2＋c2≥2bcbc≤4，当且仅当b＝c＝2时，等号成立.所以S△ABC＝12bcsinA＝12×32bc≤34×4＝3，即当b＝c＝2时，S△ABC取得最大值，最大值为3.探究提高1.求解三角形中的最值问题常用如下方法：(1)将要求的量转化为某一角的三角函数，借助于三角函数的值域求最值.(2)将要求的量转化为边的形式，借助于基本不等式求最值.2.求解面积问题时，根据已知条件选择适当的面积公式S＝12absinC，S＝12acsinB，S＝12bcsinA.【训练1】(1)(2018·浙江卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝7，b＝2，A＝60°，则sinB＝________，c＝________.解析因为a＝7，b＝2，A＝60°，所以由正弦定理得sinB＝bsinAa＝2×327＝217.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA可得c2－2c－3＝0，所以c＝3.答案2173(2)(2018·扬州期末)已知函数f(x)＝3cos2ωx＋sinωxcosωx(ω＞0)的最小正周期为π.①当x∈0，π2时，求函数f(x)的值域；②已知△ABC的内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若fA2＝3，且a＝4，b＋c＝5，求△ABC的面积.解①f(x)＝32(1＋cos2ωx)＋12sin2ωx＝sin2ωx＋π3＋32.因为f(x)的周期为π，且ω＞0，所以2π2ω＝π，解得ω＝1.所以f(x)＝sin2x＋π3＋32.又0≤x≤π2，得π3≤2x＋π3≤43π，－32≤sin2x＋π3≤1，0≤sin2x＋π3＋32≤32＋1，即函数y＝f(x)在x∈0，π2上的值域为0，32＋1.②因为fA2＝3，所以sinA＋π3＝32.由A∈(0，π)，知π3＜A＋π3＜43π，解得A＋π3＝23π，所以A＝π3.由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bccosA，即16＝b2＋c2－bc.所以16＝(b＋c)2－3bc，因为b＋c＝5，所以bc＝3.所以S△ABC＝12bcsinA＝334.热点二三角函数的图象【例2】(1)(2018·苏州自主学习)将函数y＝sin(2x＋φ)(0＜φ＜π)的图象沿x轴向左平移π8个单位长度，得到函数y＝f(x)的图象，若函数y＝f(x)的图象过原点，则φ的值是________.(2)(2016·苏、锡、常、镇调研)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如图所示，则fπ3的值为________.解析(1)由题意，f(x)＝sin2x＋π8＋φ，进而f(0)＝sinπ4＋φ＝0，又因为0＜φ＜π，所以φ＝34π.(2)根据图象可知，A＝2，3T4＝11π12－π6，所以周期T＝π，ω＝2πT＝2.又函数过点π6，2，所以有sin2×π6＋φ＝1，而0＜φ＜π，所以φ＝π6，则f(x)＝2sin2x＋π6，因此fπ3＝2sin2π3＋π6＝1.答案(1)3π4(2)1探究提高(1)对于三角函数图象的平移变换问题，其平移变换规则是“左加、右减”，并且在变换过程中只变换其自变量x，如果x的系数不是1，则需把x的系数提取后再确定平移的单位和方向.(2)已知图象求函数y＝Asin()ωx＋φ(A＞0，ω＞0)的解析式时，常用的方法是待定系数法.由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置.【训练2】(2017·连、徐、宿模拟)若函数f(x)＝2sin(2x＋φ)0φπ2的图象过点(0，3)，则函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间是________.解析由题意可得f(0)＝2sinφ＝3，即sinφ＝32，又0φπ2，则φ＝π3，所以f(x)＝2sin2x＋π3，由2kπ＋π2≤2x＋π3≤2kπ＋3π2，k∈Z，得kπ＋π12≤x≤kπ＋7π12，k∈Z，当k＝0时，得函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间是π12，7π12.答案π12，7π12热点三三角函数的性质及应用【例3】(1)(2018·北京卷)设函数f(x)＝cosωx－π6(ω0).若f(x)≤fπ4对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________.解析由于对任意的实数都有f(x)≤fπ4成立，故当x＝π4时