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第三讲概率、随机变量及其分布列【知识回顾】1.互斥事件、对立事件的概率公式(1)P(A∪B)=__________.(2)P(A)=_______.2.古典概型的概率公式P(A)==____________________.A中所含的基本事件数基本事件总数P(A)+P(B)1-P(B)mn3.几何概型的概率公式P(A)=4.条件概率P(B|A)=________.A().()构成事件的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积PABPA5.相互独立事件同时发生的概率P(AB)=_________.P(A)P(B)6.独立重复试验与二项分布如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为Pn(k)=____________，k=0，1，2，…，n.用X表示事件A在n次独立重复试验中发生的次数，则x服从二项分布，即X～B(n，p)且P(X=k)=pk(1-p)n-k.kknknCp(1p)－－knC7.超几何分布在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X=k)=k=0，1，2，…，m，其中m=min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.此时称随机变量X服从超几何分布.超几何分布的模型是不放回抽样，超几何分布中的参数是M，N，n.knkMNMnNCCC，8.离散型随机变量的均值、方差(1)离散型随机变量ξ的分布列为ξx1x2x3…xi…nPp1p2p3…pi…pn离散型随机变量ξ的分布列具有两个性质：①pi≥0；②p1+p2+…+pi+…+pn=1(i=1，2，3，…，n).(2)E(ξ)=_______________________为随机变量ξ的数学期望或均值.D(ξ)=___________________________________________________________________叫做随机变量ξ的方差.x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn(x1-E(ξ))2·p1+(x2-E(ξ))2·p2+…+(xi-E(ξ))2·pi+…+(xn-E(ξ))2·pn①性质：E(aξ+b)=aE(ξ)+b，D(aξ+b)=a2D(ξ)；②X～B(n，p)，则E(X)=np，D(X)=np(1-p)；X～N(μ，σ2)，则E(X)=μ，D(X)=σ2；③X服从两点分布，则E(X)=p，D(X)=p(1-p).【易错提醒】1.混淆互斥、对立事件：对立事件是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件.2.关注条件：概率的一般加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B=⌀，即A，B互斥时，P(A∪B)=P(A)+P(B)，此时P(A∩B)=0.3.混淆两种概型致误：易混淆几何概型与古典概型，两者共同点是基本事件的发生是等可能的，不同之处是几何概型的基本事件的个数是无限的，古典概型中基本事件的个数是有限的.4.注意区分两个事件：注意区分互斥事件和相互独立事件，互斥事件是在同一试验中不可能同时发生的两个事件，相互独立事件是指几个事件的发生与否互不影响，当然可以同时发生.【考题回访】1.(2016·全国卷Ⅰ)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是()1123A.B.C.D.3234【解析】选B.如图所示，画出时间轴：小明到达的时间会随机地落在图中线段AB中，而当他到达时间落在线段AC或DB时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型，所求概率P=10101402．2.(2016·全国卷Ⅱ)从区间[0，1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为()4n2n4m2mA.B.C.D.mmnn【解析】选C.由题意得：(xi，yi)(i=1，2，…，n)在如图所示的正方形中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中，由几何概型概率计算公式知所以π=m41n，4mn．3.(2015·全国卷Ⅰ)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为()A.0.648B.0.432C.0.36D.0.312【解析】选A.根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为0.62×0.4+×0.63=0.648.23C33C4.(2014·全国卷Ⅱ)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是()A.0.8B.0.75C.0.6D.0.45【解析】选A.设某天空气质量优良，则随后一天空气质量也优良的概率为p，则据题有0.6=0.75·p，解得p=0.8.热点考向一古典概型、几何概型及条件概型命题解读：高考对本考向的考查难度不大，主要是考查古典概型、几何概型公式的应用及条件概率公式的应用，三种题型都有可能出现.【典例1】(1)(2016·北京高考)从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为()1289A.B.C.D.552525(2)(2016·泉州一模)如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1，0)，且点C与点D在函数f(x)=的图象上.若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于()x1,x0,1x1,x021131A.BCD6482．．．(3)一个口袋中装有6个小球，其中红球4个，白球2个.如果不放回地依次摸出2个小球，则在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出红球的概率为________.【解题导引】(1)本题属于古典概型的概率计算问题.(2)先求C点的坐标，再求D点与A点的坐标，进而求得矩形面积与阴影部分图形的面积，代入几何概型概率公式求解.(3)先根据题意确定条件概率中的两个事件：“从口袋中摸出2个小球，第1次摸出红球”——这是前提，“从口袋中摸出2个小球，第1次摸出红球，第2次摸出的也是红球”，求出相应的基本事件个数，然后代入古典概型的概率计算公式求值，最后代入条件概率的计算公式求值即可.【规范解答】(1)选B.把5名同学依次编号为甲乙丙丁戊，基本事件空间Ω={甲乙，甲丙，甲丁，甲戊，乙丙，乙丁，乙戊，丙丁，丙戊，丁戊}，包含基本事件总数n=10.设A表示事件“甲被选中”，则A={甲乙，甲丙，甲丁，甲戊}，包含基本事件数m=4.所以概率为P=42.105(2)选B.因为f(x)=B点坐标为(1，0)，所以C点坐标为(1，2)，D点坐标为(-2，2)，A点坐标为(-2，0)，故矩形ABCD的面积为2×3=6，阴影部分的面积为×3×1=，故x1,x0,1x1,x0,21232312P.64(3)设“第1次摸出红球”为事件A，“第2次摸出红球”为事件B，则“第1次和第2次都摸出红球”为事件AB，所求事件为B|A.事件A发生的概率为P(A)=事件AB发生的概率为P(AB)=由条件概率的计算公式可得，所求事件的概率为答案：4263，432.6552PAB35PB|A.2PA5335【一题多解】本题还可用以下方法求解：因为已知第一次摸出的球为红球，故第二次摸球等价于从3个红球、2个白球中任取一个球，故所求概率P=答案：33.325＝35【方法规律】1.利用古典概型求概率的关键及注意点(1)关键：正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件总数，这常常用到排列、组合的有关知识.(2)注意点：对于较复杂的题目计数时要正确分类，分类时应不重不漏.2.几何概型的适用条件及求解关键(1)适用条件：当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解.(2)求解关键：构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域的寻找是关键，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域.3.条件概率的求法(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)=这是通用的求条件概率的方法.(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A)=PAB.PAnAB.nA【题组过关】1.(2016·全国卷Ⅰ)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是()1125A.B.C.D.3236【解析】选C.将4种颜色的花任选2种种在花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，有6种种法，其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有4种，故概率为2.32.已知a∈{-2，0，1，3，4}，b∈{1，2}，则函数f(x)=(a2-2)x+b为增函数的概率是()【解析】选B.因为f(x)=(a2-2)x+b为增函数，所以a2-20，又a∈{-2，0，1，3，4}，所以a∈{-2，3，4}，又b∈{1，2}，所以函数f(x)为增函数的概率是2313A.BCD55210．．．3.53.(2016·山东高考)在[-1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交”发生的概率为______.【解析】若直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交，则有圆心到直线的距离d=即所以所求概率答案：25k3k1，33k44－，33()344P.1(1)4－－－－34【加固训练】1.(2016·贵阳二模)若k∈[-3，3]，则k的值使得过A(1，1)可以作两条直线与圆(x-k)2+y2=2相切的概率等于()1123A.BCD2334．．．【解析】选C.由题可知点在圆外，过该点可作两条直线与圆相切.故使圆心与点A的距离大于半径即可，即(1-k)2+12，解得k0或k2，所以所求k∈[-3，0)∪(2，3]，所求概率P=4263＝．2.(2016·唐山一模)甲、乙、丙三个车床加工的零件分别为350个、700个、1050个，现用分层抽样的方法随机抽取6个零件进行检验.(1)求从甲、乙、丙三个车床中抽取的零件的件数.(2)从抽取的6个零件中任意取出2个，已知这2个零件都不是甲车床加工的，求其中至少有一个是乙车床加工的概率.【解析】(1)由抽样方法可知，从甲、乙、丙三个车床中抽取的零件数分别为1，2，3.(2)记抽取的6个零件为a1，b1，b2，c1，c2，c3.事件“这2个零件都不是甲车床加工的”可能结果为(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)，共10种可能；事件“其中至少有一个是乙车床加工的”可能结果为(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，共7种可能.故所求概率为P=0.7.热点考向二互斥事件、对立事件及相互独立事件的概率命题解读：互斥事件、对立事件常与古典概型相结合考查，相互独立事件主要考查事件同时发生的概率的求法，难度不大，各种题型都有可能出现.【典例2】(1)某个部件由两个电子元件按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，则部件正常工作，设两个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1000，502)，且各个元件能否正常工作相互独立.那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为________.(2)(2016·昆明一模)在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：作物产量(kg)300500概率0.50.5作物市