1.1正弦定理(两课时)

引入.C.B.A引例：为了测定河岸A点到对岸C点的距离，在岸边选定1千米长的基线AB，并测得∠ABC=120o，∠BAC=45o，如何求A、C两点的距离？正弦定理正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.CcBbAasinsinsin即BacAbcCabSABCsin21sin21sin21利用三角形面积来证有：除了书上的证法外，还可以AasinBbsinCcsin＝＝（2R为△ABC外接圆直径）＝2R例：求证:证明：OC/cbaCBARCcRcCCCCCBA2sin2sinsin,90''RCcBbAaRBbRAa2sinsinsin2sin,2sin同理作外接圆O,过B作直径BC/,连AC/,1.正弦定理可以写成：2、公式变形：CRcbRbARaCBAcbaCcAaCcBbBbAaRCcBbAasin2,sin2,sin2)3(sin:sin:sin::)2(sinsinsinsinsinsin2sinsinsin)1(RCcBbAa2sinsinsin其中，R为三角形外接圆的半径剖析定理、加深理解3.正弦定理可以解决三角形中哪类问题：①已知两角和一边，求其他角和边.②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角.CcBbAasinsinsin是否可以已知两边及其一角，可求其它边和角？4.一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫解三角形sinsinsinabcABC正弦定理：剖析定理、加深理解定理的应用例1在△ABC中，已知c=10,A=45。,C=30。求a,b.解：且105C)(A180B∵CcBbsinsin∴b=CBcsinsin=30sin105sin10已知两角和任意边，求其他两边和一角CcAasinsin∵∴a=CAcsinsin=21030sin45sin10BACbc)26(5a例2已知a=16，b=，A=30°.求角B，C和边c已知两边和其中一边的对角,求其他边和角解：由正弦定理BbAasinsin得231630sin316sinsinaAbB所以Ｂ＝60°,或Ｂ＝120°当时Ｂ＝60°C=90°.32cC=30°.16sinsinACac316当Ｂ＝120°时B16300ABC16316变式:a=30,b=26,A=30°求角B，C和边c300ABC2630解：由正弦定理BbAasinsin得30133030sin26sinsinaAbB所以Ｂ＝25.70,或Ｂ＝1800－25.70=154.30由于154.30+3001800故B只有一解（如图）C=124.30,57.49sinsinACac13sin25.7=30已知运用三角形内角和等于180排除其中一种情况变式:a=30,b=26,A=30°求角B，C和边c300ABC2630解：由正弦定理BbAasinsin得30133030sin26sinsinaAbB所以Ｂ＝25.70,C=124.30,57.49sinsinACac∵ab∴AB,运用三角形中大边对大角排除一种情况13sin25.7=30已知已知两边和其中一边的对角,求其他边和角1.根据下列条件解三角形(1)b=13，a=26，B=30°.[B=90°，C=60°，c=]133(2)b=40，c=20，C=45°.练习注意：三角形中角的正弦值小于１时，角可能有两解；然后用大角对大边或三角形三边三角关系进行检验。无解课堂小结（1）三角形常用公式：（2）正弦定理应用范围：①已知两角和任意边，求其他两边和一角（只有一解）②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。(注意多解的情况)正弦定理：ABC111sinsinsin222ABCSabCbcAacBsinsinsinabcABC＝2R已知两边和其中一边的对角,求其他边和角时,三角形什么情况下有一解,二解,无解?课后思考如已知两边a,b及a边的对角A有下面情况：ACababsinA无解ACaba=bsinA一解ACabbsinAab两解BB1B2BACbaab一解a锐角ABabCABabCABabCab无解a=b无解ab一解钝角基础巩固基础巩固例题展示例2：遇到含有边和角的关系式时，一般运用正弦定理实现边与角的转换，从而进行求解。双基固化3实际问题4ABCDE652035.3520100065,(1).ABDDBCm例5某登山队在山脚处测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡前进米后到达处，又测得处的仰角为求山的高度精确到ABCDE652035实际问题分析：要求ＢＣ，只要求ＡＢ，为此考虑解△ＡＢＤABCDE652035解：过点Ｄ作ＤＥ//ＡＣ交ＢＣ于Ｅ，因为∠ＤＡＣ＝20°,所以∠ＡＤＥ＝160°,于是∠ＡＤＢ＝360°－160°－65°＝135°又∠ＢＡＤ＝35°－20°＝15，所以∠ＡＢＤ＝30°在△ＡＢＤ中，由正弦定理，得)(2100030sin135sin1000sinsinmABDADBADAB在Rt△ABC中，BC=ABsin35°=35sin21000)(811m答：山的高度为811m.例6、在三角形ABC中，已知，试判断三角形ABC的形状．CcBbAacoscoscos解：令，由正弦定理，得kAasina=ksinA,b=ksinB,c=ksinC.代入已知条件，得CCBBAAcossincossincossin即tanA=tanB=tanC又Ａ，Ｂ，Ｃ∈(０，π)，所以Ａ＝Ｂ＝Ｃ，从而三角形ＡＢＣ为正三角形．正弦定理的综合应用221.tantan,.ABCaBbAABC在中，已知试判断的形状2.3,33,30,.ABCbcBABC在中，已知试判断的形状23.(cos)cos0,,.xbAxaBabABCABabABC已知方程的两根之积等于两根之和，且为的边，，为的对角，试判断的形状4.,,,,,sinsinsin.ABCabcABCaabcbcBCAABC在中，为边长，，，为所对的角，若试判断的形状5.(sinsin)(sinsin)(sinsin)0.ABCaBCbCAcAB在中，求证：解斜三角形的问题，通常都要根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出所要求的量，从而得到实际问题的解。在这个过程中，贯穿了数学建模的思想。这种思想即是从实际问题出发，经过抽象概括，把它转化为具体问题中的数学模型，然后通过推理演算，得出数学模型的解，再还原成实际问题的解。本节小结:正弦定理的证明1.结构：正弦定理正弦定理的应用解三角形2.方法、技巧、规律(1)正弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，是解三角形的重要工具;(2)两类问题：一类已知两角和一边；另一类是已知两边和一边的对角；(3)注意正弦定理的变式；(4)180.注意内角和为的应用，以及角之间的转化3.思维误区警示：(1)(2)正弦定理可以解任意三角形；运用该定理解决“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求其它元素”这类问题时，注意对解的判断.