1.1正弦定理和余弦定理(4课时)

1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理第一章解三角形高中新课程数学必修⑤第一课时问题提出1.在直角三角形中，三边a，b，c，及锐角A，B之间有怎样的数量关系？ABCabc3.对于直角三角形，我们可利用上述原理进行有关计算.对于一般三角形中边和角的关系，我们需要建立相关理论进行沟通，这是一个有待探究的课题.2.三角形是最基本的几何图形，许多与测量有关的实际问题，都要通过解三角形来解决.如船在航行中测量海上两个岛屿之间的距离；飞机在飞行中测量一座山顶的海拔高度；在地面上测量顶部或底部不可到达的建筑物的高度；测量在海上航行的轮船的航速和航向等.知识探究（一）：正弦定理的形成思考1：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，则sinA，sinB，sinC分别等于什么？CABabc思考2：将上述关系变式，边长c有哪几种表示形式？由此可得什么结论？sinsinsinabcABC==CABabc思考3：可变形为,在锐角△ABC中，该等式是否成立？为什么？sinsinabAB=sinsinaBbA=CABabD思考4：若∠C为钝角，是否成立？若∠A为钝角，是否成立？若∠B为钝角，是否成立？sinsinaBbA=sinsinaBbA=sinsinaBbA=CABabCABabDD思考5：在任意三角形中，同理可得，,因此有该连等式称为正弦定理.如何用文字语言描述正弦定理？在一个三角形中，各边和它所对角的正弦之比相等.sinsinbcBC=sinsinsinabcABC==知识探究（二）：正弦定理的向量证明ACuuurABuuurBCuuur思考1：在△ABC中，向量，，之间有什么关系？CABab思考2：若∠A为锐角，过点A作单位向量i，使i⊥,则向量i与,,的夹角分别是什么？ABuuurACuuurABuuurBCuuurCABabi思考3：由可得什么结论？()iACiABBC??uuuruuuruuurCABabisinsinabAB=思考4：若∠A为钝角，上述推理过程有什么变化？所得结论如何？CABabisinsinabAB=思考5：若证明，应如何作单位向量i？sinsinbcBC=CAcbBi理论迁移例1在△ABC中，已知A=32.0°，B=81.8°，a=42.9cm，解三角形.C=66.2°，b≈80.1cm，c≈74.1cm.例2在△ABC中，已知a=20cm，b=28cm，A=40°，解三角形.例3在△ABC中，已知a=60cm，b=50cm，A=38°，解三角形.sinB≈0.8999，B≈64°，C=76°，c≈30cm；或B≈116°，C=24°，c≈13cm.sinB≈0.5131，B≈31°，C=111°，c≈91cm小结作业1.三角形的三个内角及其对边叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.2.正弦定理的外在形式是公式，它由三个等式组成即，，每个等式都表示三角形的两个角和它们的对边的关系.sinsinabAB=sinsinbcBC=sinsinacAC=3.利用正弦定理可以解决两类解三角形的问题：一类是已知两角和一边解三角形；另一类是已知两边和其中一边的对角解三角形.对于第二类问题，要注意确定解的个数.作业：P4练习：1,2.1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理第二课时问题提出1.正弦定理的外在形式和数学意义分别是什么？sinsinsinabcABC==在一个三角形中，各边和它所对角的正弦之比相等.2.在解三角形中，利用正弦定理可以解决哪两类问题？已知两角和一边解三角形；已知两边和其中一边的对角解三角形.3.在正弦定理中，有什么几何意义？利用正弦定理可以得到哪些相关结论？这需要我们作进一步了解和探究，加深对正弦定理的理性认识.sinaAsinaA3.在正弦定理中，sinaA3.在正弦定理中，探究（一）：正弦定理的几何意义思考1：在直角三角形ABC中，等于什么？sinaACABabcsinaA3.在正弦定理中，sinaA3.在正弦定理中，思考2：如图，作△ABC的外接圆，你能构造一个一条直角边长为a，其对角大小为A的直角三角形吗？DCABaO思考3：设△ABC的外接圆半径为R，则等于什么？sinaA2sinaRA=思考4：如图，若∠A为钝角，上述结论还成立吗？若∠A为直角呢？DCABaO2sinaRA=探究（二）：正弦定理的变式拓展思考1：在三角形中有“大边对大角”原理，如何利用正弦定理进行理论解释？思考2：利用等比定理，正弦定理可作哪些变形？sinsinsinsinsinsinsinsinsinabcabacbcABCABACBC+++=====+++2sinsinsinabcRABC++==++思考3：利用正弦定理如何求三角形的周长？（）2sinsinsinabcRABC++=++212sinsinsin4SabcRABCR==1sin2SabC=思考4：设△ABC的外接圆半径为R，则其面积公式可以作哪些变形？思考5：在△ABC中，设∠A的平分线交BC边于点D，则（角平分线定理），你能用正弦定理证明这个结论吗？ABBDACCD=CABD理论迁移例1在钝角△ABC中，已知AB=，AC=1，B=30°，求△ABC的面积.334例2在△ABC中，已知，sinB=sinC，且△ABC的面积为，求c边的长.153603ab215例3在△ABC中，已知acosB=bcosA，试确定△ABC的形状.等腰三角形例4在△ABC中，已知，求角A的值.tantantantanABbcABc-+=+120°小结作业1.正弦定理是以三角形为背景的一个基本定理，它不仅可以用来求三角形的边角值，而且可以在三角变换中实现边角转化，是解决三角形问题的一个重要工具.2.正弦定理的应用具有一定的灵活性，在处理三角形的边角关系时，利用a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，可达到化边为角的目的.3.正弦定理不是万能的，如已知三角形的三边长，利用正弦定理就不能求出三个内角，因此我们还需要建立新的理论.欲知后事如何，且听下回分解.作业：P10习题1.1A组：2.B组：2.1.1正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理第一课时问题提出1.正弦定理的外在形式是什么？其数学意义如何？2sinsinsinabcRABC===在一个三角形中，各边和它所对角的正弦之比相等，且等于外接圆直径.2.若已知三角形的两边及其夹角或已知三边，能否用正弦定理解三角形？3.对于上述问题，需要建立一个新的数学理论才能解决，这是我们要研究的课题.探究（一）：余弦定理的推导思考1：根据平面几何中两个三角形全等的判定定理，确定一个三角形可以是哪些条件？边、角、边角、边、角边、边、边思考2：在△ABC中，已知边a，b和角C，从向量的角度考虑，可以求出什么？cCABab思考3：c边的长即为，向量与，有什么关系？||ABuuurABuuurCBuuurCAuurABCBCA=-uuuruuruuur思考4：如何将转化为c与a，b，C的关系？ABCBCA=-uuuruuruuur思考5：根据上述推导可得，，此式对任意三角形都成立吗？2222coscababC=+-cCABabABCBCA=-uuuruuruuur思考6：如图所示建立直角坐标系，点A，B的坐标分别是什么？根据两点间的距离公式可得什么结论？CABabxyA(bcosC，bsinC)B(a，0)2222coscababC=+-思考7：通过类比，a2，b2分别等于什么？2222cosabcbcA=+-2222coscababC=+-2222cosbacacB=+-思考8：上述三个等式称为余弦定理.如何用文字语言描述余弦定理？三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方和，减去这两边与其夹角的余弦的积的两倍.探究（二）：余弦定理的变式思考1：在△ABC中，若已知边a，b和角C，如何求边c和角A，B？cCABab思考2：已知三角形的三边a，b，c，求三内角A，B，C，其计算公式如何？222cos2bcaAbc+-=222cos2cabBca+-=222cos2abcCab+-=思考3：上述三个公式是余弦定理的推论，如何通过三边的大小关系判断∠A是锐角、直角还是钝角？222cos2bcaAbc+-=222cos2cabBca+-=222cos2abcCab+-=思考4：若已知边a，b和角A，能直接用余弦定理求边c吗？cCABab思考5：结合正弦定理，可作什么变形？2222coscababC=+-222sinsinsin2sinsincosCABABC=+-理论迁移例1在△ABC中，已知b=60cm，c=34cm，A=41°，解三角形.a2≈1676.82，a≈41cm，sinC≈0.544，C≈33°，B≈106°.例2在△ABC中，已知a=134.6cm，b=87.8cm，c=161.7cm，解三角形.cosA≈0.5543，A≈56°20′，cosB≈0.8398，B≈32°53′，C≈90°47′.例3在△ABC中，已知a=，b=，B=30°，求边长c的值.37C=4例4已知△ABC的周长为20，A=30°，a=7，求这个三角形的面积.222222cos373232340bacacBcccc221334922120(23)bcbcbcbc1sin30(33)260303SbcA小结作业1.余弦定理及其推论，把用“边、角、边”和“边、边、边”判定三角形全等的原理，从数量化的角度进行了刻画，使其变成了可以计算的公式.2.余弦定理的主要作用是已知两边一角求边，或已知三边求角，所得结论是唯一的.同时，利用余弦定理也可以实现边角转化.3.余弦定理及其推论共有六个基本公式，应用时要注意适当选取，有时可结合正弦定理求解.作业：P8练习：1，2.1.1正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理第二课时知识整理1.余弦定理的外在形式和数学意义分别是什么？2222cosabcbcA=+-2222coscababC=+-2222cosbacacB=+-三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方和，减去这两边与其夹角的余弦的积的两倍.2.已知三角形的三边a，b，c，求三内角A，B，C，其计算公式如何？222cos2bcaAbc+-=222cos2cabBca+-=222cos2abcCab+-=3.在三角形的六个基本元素中，已知哪三个元素可以解三角形？4.针对上述类型，分别用哪个定理求解为宜？已知一边两角：正弦定理；已知两边及夹角：余弦定理；已知两边及对角：正弦定理，或余弦定理；已知三边：余弦定理.一边两角，两边一角，三边.应用举例例1在△ABC中，已知(sinA＋sinC)(sinA－sinC)＝sinB(sinB＋sinC)，求角A的值.120°例2在△ABC中，已知a＋c＝2b，B＝30°，面积为，求b的值.3213+2222222221cos22acbbcbcabcbcaAbc例3在△ABC中，已知C＝30°，求的值.22sinsin3sinsinABAB+-14例4在△ABC中，求证：coscoscoscoscbABbcAC-=-例5在△ABC中，求证：22222()sin()cos22CCababc++-=例6在△ABC中，求证：222sin()sinabABcC--=222222=2cos)222cosCCababababC左边（sin正弦和差化积。2222cos2cossin2sincos=sinabcbcAcbACBAcC左右小结作业1.以三角形为背景求值或证明三角等式，是三角变换中的两个基本问题，活用正、余弦定理，从整体进行变形和运算，是解题的基本思想.2.利用正、余弦定理化边为角，或者化角为边，是处理三角形中三角变换问题的基本策略，是实现三角运算与代数运算相互转化的主要手段.作业：P10习题1.1A组：3.