大专 高等数学 第五章 PPT

第一节不定积分的概念及性质第二节不定积分的积分方法第五章不定积分一、不定积分的概念二、基本积分公式三、不定积分的性质第一节不定积分的概念及性质1．原函数的概念例因为1(ln)xx，故lnx是1x的一个原函数；因为2()2xx，所以2x是2x的一个原函数，但222(1)(2)(3)xxx2x，所以2x的原函数不是惟一的．原函数说明：第一，原函数的存在问题：如果()fx在某区间连续，那么它的原函数一定存在(将在下章加以说明)．定义1设()fx是定义在某区间的已知函数，若存在函数()Fx，使得()()Fxfx或d()()dFxfxx,则称()Fx为()fx的一个原函数．一、不定积分的概念第二，原函数的一般表达式：前面已指出，若()fx存在原函数，就不是惟一的，那么，这些原函数之间有什么差异？能否写成统一的表达式呢？对此，有如下结论：定理若()Fx是()fx的一个原函数，则()FxC是()fx的全部原函数，其中C为任意常数．证由于()()Fxfx，又[()]()()FxCFxfx，所以函数族()FxC中的每一个都是()fx的原函数．另一方面,设()Gx是()fx的任一个原函数，即()()Gxfx，则可证()Fx与()Gx之间只相差一个常数.这样就证明了()fx的全体原函数刚好组成函数族()FxC．所以()()FxGxC，或者()()GxFxC，这就是说()fx的任一个原函数()Gx均可表示成()FxC的形式．事实上,因为[()()]()()()()0FxGxFxGxfxfx，2.不定积分的概念定义2函数()fx的全体原函数()FxC叫做()fx的不定积分，定积分，记为()d()fxxFxC，其中()()Fxfx,上式中的x叫做积分变量，()fx叫做被积函数，()dfxx叫做被积表达式，C叫做积分常数，“”叫做积分号．例1求下列不定积分：（1）2dxx；（2）sindxx；（3）1dxx．解（1）因为2331xx，所以Cxxx3231d.（2）因为xxsin)cos(，所以Cxxxcosdsin.（3）因为0x时，xx1)(ln，又0x时，xxx11])[ln(，所以Cxxx||lnd1.例2设曲线过点（1，2）且斜率为x2，求曲线方程．解设所求曲线方程为)(xyy．按xxy2dd，故Cxxxy2d2．又因为曲线过点（1，2），故代入上式C12，得1C，于是所求方程为12xy.例3设某物体运动速度为23tv，且当0t时，2s，求运动规律)(tss．解按题意有23)(tts，即Ctttts32d3)(，再将条件0t时2s代入得2C，故所求运动规律为．23ts积分运算与微分运算之间的互逆关系：（1）)(d)(xfxxf或；xxfxxfd)(d)(d(2)CxFxxF)(d)('或．CxFxF)()(d由于求不定积分是求导数的逆运算，所以由导数公式可以相应地得出下列积分公式：(1)Ckxxkd(k为常数)，(2)Cxxx111d（1），(3)Cxxxlnd1，(4)edexxxC，(5)Caaxaxxlnd，(6)Cxxxsindcos，(7)Cxxxcosdsin，二、基本积分公式(8)Cxxxxxtandsecdcos122，(9)Cxxxxxcotdcscdsin122，(10)Cxxxxsecdtansec，(11)Cxxxxcscdcotcsc，(12)Cxxxarctand112，（13）Cxxxarcsind112.性质1被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外，即xxfkxxkfd)(d)(（0k）.性质2两个函数代数和的积分，等于各函数积分的代数和，即xxgxxfxxgxfd)(d)(d)()(.例4求下列不定积分：（1）；xxd12(2)xxxd；(3)gxx2d．解（１）CxCxxxxx112dd11222.（２）Cxxxxxx252352dd.三、不定积分的性质（３）xxggxxd212dggxCxg2121121121C．例5求下列不定积分:（１）xxxxd11；（２）xxxd1122．解（1）xxxxxxxxxd11d11xxxxxxxxd1d1dd.2215221225Cxxxx（２）xxxxxxxxd121d121d1122222.arctan21d2d2Cxxxxx例6求下列不定积分：(1)xxdtan2；(2)xxd2sin2．解(1)xxdtan2xxd)1(sec2=.tanddsec2Cxxxxx21cossindd2211sin.22xxxxxxC(2)例7设,cossin22xxf求xf．解由于xxxf222sin1cossin，所以xxf1,故知)(xf是x1的原函数，Cxxxxxf2d)1()(2.得思考题1．在不定积分的性质xxfkxxkfd)(d中，为何要求0k？2．思考下列问题：(1)若,sin2dCxxxfx则xf为何？(2)若)(xf的一个原函数为,cosx则xxfd为何？一、换元积分法二、分部积分法三、简单有理函数的积分第二节不定积分的积分方法1．第一换元积分法(凑微分法)直接验证得知,计算方法正确．例1求xxde3.解被积函数x3e是复合函数，不能直接套用公式，我们可以把原积分作下列变形后计算：Cxxxedexuxxxx3)d(3e31de33令Cuuue31de31回代31Cx3e.例2求xxxde22．解注意到被积式中含有2ex项,而余下的部分恰有微分关系：22dd()xxx．于是类似于例1,可作如下变换和计算：一、换元积分法.eede)(dede222222CCuxuxxxxuuxx回代令上述解法的特点是引入新变量)(xu,从而把原积分化为关于u的一个简单的积分，再套用基本积分公式求解,现在的问题是，在公式Cxxxede中，将x换成了)(xu,对应得到的公式Cuuuede是否还成立?回答是肯定的,我们有下述定理：定理如果CxFxxf)(d)(，则.)(d)(CuFuuf其中)(xu是x的任一个可微函数．证由于CxFxxf)(d)(,所以xxfxFd)()(d．根据微分形式不变性,则有：uufuFd)()(d．其中)(xu是x的可微函数，由此得.)()(dd)(CuFuFuuf这个定理非常重要，它表明：在基本积分公式中，自变量x换成任一可微函数)(xu后公式仍成立．这就大大扩充了基本积分公式的使用范围．应用这一结论，上述例题引用的方法,可一般化为下列计算程序：)()(d)]([d)()]([xuxxfxxxf令凑微分.)]([)(d)(CxFCuFuuf回代这种先“凑”微分式，再作变量置换的方法，叫第换一元积分法，也称凑微分法．例3求xxxdsincos2.解设,cosxu得xxudsind,.cos3131ddsincos3322CxCuuuxxx方法较熟悉后,可略去中间的换元步骤,直接凑微分成积分公式的形式．例4求xxx2ln1d．解222d1d1dln1ln1ln1lnarcsinln.xxxxxxxxxC例5求xxxdsin．解Cxxxxxxcos2dsin2dsin．凑微分法运用时的难点在于原题并未指明应该把哪一部分凑成)(dx,这需要解题经验,如果记熟下列一些微分式,解题中则会给我们以启示．，)(d1dbaxax，)(d21d2xxx，)(d2dxxx，)e(ddexxx，|)|(lndd1xxx，)(cosddsinxxx，)(sinddcosxxx，)(tanddsec2xxx，)(cotddcsc2xxx，)(arcsind1d2xxx)(arctand1d2xxx．下面的例子,将继续展示凑微分法的解题技巧．例6求下列积分：(1)；)0(d22axax(2)；22dxax(3)；xxdtan(4)；xxdcot(5)；xxdsec(6).dcscxxaxaxxaxaxaxd11d11d2222解（1）=.arcsinCax类似得(2).arctan1d22Caxaxax(3).|cos|lncos)(cosddcossindtanCxxxxxxxx类似得(4).|sin|lndcotCxxx(5)xxxxxxxxxxxxxxdsectantansecsecdsectan)tan(secsecdsec2.|tansec|ln)sec(tand)sec(tan1Cxxxxxx类似得(6)Cxxxx|cotcsc|lndcsc．本题六个积分今后经常用到，可以作为公式使用．例7求下列积分：(1)；xaxd122(2)；xxxd432(3)1d1exx；(4)；xxdsin2(5)；xxdcos11(6)xxxd3cos5sin．解本题积分前，需先用代数运算或三角变换对被积函数做适当变形．xaxaxaxaxd1121d1122]dd[21axaxaxaxaCaxaxa]ln[ln21.ln21Caxaxa（２）xxxxxxxxd44d3d43222224d4212arcsin3xxx.42arcsin32Cxx（３）xxxxxxxxxde1e1de1ee1de11xxxe1de11d.e1lnCxx（４）xxxxxxxd2cos21d21d22cos1dsin2xxx2d2cos4121.2sin4121Cxx（５）2d2cos12cos2ddcos1122xxxxxx.2tanCx（６）xxxxxxd2sin8sin21d3cos5sin（积化和差）xxxx2d2sin218d8sin8121.2cos418cos161Cxx例8计算积分．2dxxx解一222121d22141ddxxxxxxx.12arcsin12112d2Cxxx解二因为,d2dxxx所以.arcsin2)(1d21dd22Cxxxxxxxxx本题说明，选用不同的积分方法，可能得出不同形式的积分结果．２．第二换元积分法第一换元积分方法是选择新的积分变量,xu但对有些被积函数则需要作相反方式的换元，即令,tx把t作为新积分变量，才能积出结果，即dxtfxx换元11d.txftttFtCFxC积分回代这种方法叫第二换元法．使用第二换元法关键是恰当的选择变换函数,tx对于