2016高三数学总复习4-5简单的三角恒等变换 90张(人教A版)

第四章三角函数与三角形第四章第五节简单的三角恒等变换基础梳理导学思想方法技巧课堂巩固训练4考点典例讲练3课后强化作业5基础梳理导学重点难点引领方向重点：倍角、半角公式及积化和差、和差化积公式，依据这些公式进行三角函数的化简、求值、证明等．难点：公式的灵活运用夯实基础稳固根基1．半角公式sinα2＝±1－cosα2，cosα2＝±1＋cosα2，tanα2＝±1－cosα1＋cosα，tanα2＝sinα1＋cosα＝1－cosαsinα.2．求值题常见类型(1)“给角求值”：所给出的角常常是非特殊角，从表面来看较难，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合和、差、倍、半角公式、和差化积、积化和差公式消去非特殊角转化为特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．3．三角函数的最值问题(1)用三角方法求三角函数的最值常见的函数形式①y＝asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中cosφ＝aa2＋b2，sinφ＝ba2＋b2.②y＝asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x可先降次，整理转化为上一种形式．③y＝asinx＋bcsinx＋d或y＝acosx＋bccosx＋d可转化为只有分母含sinx(或cosx)的函数式或sinx＝f(y)(cosx＝f(y))的形式，由正、余弦函数的有界性求解．(2)用代数方法求三角函数的最值常见的函数形式①y＝asin2x＋bcosx＋c可转化为cosx的二次函数式．②y＝asinx＋cbsinx(a，b，c0)，令sinx＝t，则转化为求y＝at＋cbt(－1≤t≤1)的最值，一般可用基本不等式或单调性求解．高考主要考查可化一角一函形式的和复合二次型．疑难误区点拨警示计算角的三角函数值时，一般要先考虑角的取值范围，使所计算的函数在该范围内单调，以避免讨论，注意发掘隐含的限制角的范围的条件，避免因对隐含条件的疏忽致误．思想方法技巧一、函数与方程的思想[例1]已知sinx＋siny＝13，求sinx－cos2y的最大、最小值．分析：消去sinx得u＝13－siny－cos2y可转化为二次函数最值，关键是消元后sinx的范围同时要转化为siny的取值范围．解析：由sinx＝13－siny及－1≤sinx≤1得－23≤siny≤1.而sinx－cos2y＝sin2y－siny－23＝(siny－12)2－1112所以当siny＝12时，最小值为－1112，当siny＝－23时，最大值为49.点评：求二元函数最大值时，一般需将函数转化为一元函数，故首先要消去一个字母，而sinx＝13－siny能提供两种功能，其一是消元，其二是要从此消元式中解出siny的范围，即二次函数的“定义域”，这是本题的难点及易错点，切不可盲目认定－1≤siny≤1.二、角的构造技巧与公式的灵活运用[例2]求sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°的值．解析：解法1：因为40°＝30°＋10°，于是原式＝sin210°＋cos2(30°＋10°)＋sin10°cos(30°＋10°)＝sin210°＋32cos10°－12sin10°2＋sin10°·32cos10°－12sin10°＝34(sin210°＋cos210°)＝34.解法2：令sin10°＝a＋b，cos40°＝a－b，则a＝12(sin10°＋cos40°)＝12(sin10°＋sin50°)＝sin30°cos20°＝12cos20°，b＝12(sin10°－cos40°)＝12(sin10°－sin50°)＝cos30°sin(－20°)＝－32sin20°.原式＝(a＋b)2＋(a－b)2＋(a＋b)(a－b)＝3a2＋b2＝34cos220°＋34sin220°＝34.解法3：设x＝sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°，y＝cos210°＋sin240°＋cos10°sin40°.则x＋y＝1＋1＋sin10°cos40°＋cos10°sin40°＝2＋sin50°＝2＋cos40°x－y＝cos80°－cos20°－12＝－sin50°－12＝－cos40°－12，因此，2x＝32，x＝34.点评：解法1：通过对该题中两个角的特点分析，巧妙地避开了和差化积与积化和差公式．当然运用降次、和积互化也是一般方法．解法2：运用代数中方程的方法，将三角问题代数化处理，解法新颖别致，不拘一格，体现了数学的内在美．解法3：利用正余弦函数的互余对偶，构造对偶式，组成方程组，解法简明．在此基础上，通过分析三角函数式中的角度数之间的特定关系，作推广创新．你能解决下列问题吗？①求sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°的值；求cos273°＋cos247°＋cos47°cos73°的值；②求sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)的值；求cos2α＋sin2(α＋30°)－cosαsin(α＋30°)的值；③求sin2α＋cos2(α＋60°)＋3sinαcos(α＋60°)的值；求cos2α＋sin2(α＋60°)－3cosasin(α＋60°)的值；④若x＋y＝2kπ＋π3(k∈Z)，则sin2x＋sin2y＋sinxsiny为定值34；若x＋y＝2kπ＋2π3(k∈Z)，则sin2x＋sin2y－sinxsiny为定值34.考点典例讲练[例1]3－sin70°2－cos210°＝()A.12B.22C．2D.32分析：观察角可以发现70°与20°互余，20°是10°的二倍，故可用诱导公式和倍角公式(或降幂)化简．倍角公式解析：原式＝3－cos20°2－cos210°＝3－2cos210°－12－cos210°＝2.答案：C(文)函数f(x)＝cos2x－2sinx的最小值和最大值分别为()A．－3,1B．－2,2C．－3，32D．－2，32解析：f(x)＝cos2x－2sinx＝1－2sin2x－2sinx＝－2(sinx＋12)2＋32，则sinx＝－12时，f(x)max＝32；sinx＝1时，f(x)min＝－3.答案：C(理)(2012·河南五市联考)计算tanπ4＋α·cos2α2cos2π4－α的值为()A．－2B．2C．－1D．1解析：tanπ4＋α·cos2α2cos2π4－α＝tanπ4＋α·cos2α2sin2π4＋α＝cos2α2cosπ4＋αsinπ4＋α＝cos2αsinπ2＋2α＝cos2αcos2α＝1.选D.答案：D[例2](文)已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－43，则tanα＝________.分析：用诱导公式可将条件化为tan2α的函数值，用二倍角公式解方程可求得tanα.解析：由tan(π＋2α)＝－43得tan2α＝－43，由tan2α＝2tanα1－tan2α＝－43，解得tanα＝－12或tanα＝2，又α是第二象限的角，所以tanα＝－12.答案：－12(理)若tan(α＋3π4)＝2014，则1cos2α＋tan2α＝________.解析：∵tan(α＋3π4)＝2014，∴tanα－11＋tanα＝2014.∵1cos2α＋tan2α＝sin2α＋cos2αcos2α－sin2α＋2tanα1－tan2α＝tan2α＋11－tan2α＋2tanα1－tan2α＝tanα＋121－tan2α.由于tan(α＋3π4)＝2014，可知tanα＋1≠0.∴1cos2α＋tan2α＝tanα＋121－tan2α＝tanα＋121－tanα1＋tanα＝1＋tanα1－tanα＝－12014.答案：－12014(2011·山东日照模拟)已知0απ2βπ，tanα2＝12，cos(β－α)＝210.(1)求sinα的值；(2)求β的值．解析：(1)∵tanα2＝12，∴tanα＝2tanα21－tan2α2＝2×121－122＝43，由sinαcosα＝43，sin2α＋cos2α＝1，解得sinα＝45(sinα＝－45舍去)．(2)由(1)知cosα＝1－sin2α＝1－452＝35，又0απ2βπ，∴β－α∈(0，π)，而cos(β－α)＝210，∴sin(β－α)＝1－cos2β－α＝1－2102＝7210，于是sinβ＝sin[α＋(β－α)]＝sinαcos(β－α)＋cosαsin(β－α)＝45×210＋35×7210＝22.又β∈(π2，π)，∴β＝3π4.[例3]设5π2θ3π，cosθ＝a，则sinθ2等于()A.1＋a2B.1－a2C．－1＋a2D．－1－a2半角公式解析：∵5π2θ3π，∴5π4θ23π2，∴sinθ20，∵a＝cosθ＝1－2sin2θ2，∴sinθ2＝－1－a2.答案：D点评：不要求记忆半角公式，只要熟记二倍角公式，熟练进行角的范围与三角函数值符号的讨论，求半角的三角函数值时，可利用倍角公式通过开方求解．已知πα2π，则cosα2等于()A．－1－cosα2B.1－cosα2C．－1＋cosα2D.1＋cosα2解析：∵πα2π，∴π2α2π.∴cosα2＝－1＋cosα2.答案：C[例4]已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，求2α－β的值．分析：由α＝(α－β)＋β结合已知条件可求得tanα，再由二倍角公式可得tan2α，进一步可求得tan(2α－β)，关键是讨论2α－β的范围，由tanβ的值可限定β的取值范围，由tanα，tan2α及tan(α－β)的值可限定α的取值范围，由此可得2α－β的取值范围．三角函数的给值求值(角)问题解析：∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝tanα－β＋tanβ1－tanα－βtanβ＝12－171＋12×17＝130，∴0απ2，又∵tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×131－132＝340，∴02απ2，∴tan(2α－β)＝tan2α－tanβ1＋tan2αtanβ＝34＋171－34×17＝1.∵tanβ＝－170，∴π2βπ，－π2α－β0，∴2α－β＝－3π4.点评：三角函数的给值求值(角)问题，常常要讨论角的范围，要注意发掘已知条件中限制角的范围的条件，求值时通常要在某一个单调区间内进行．(2012·四川文，18)已知函数f(x)＝cos2x2－sinx2cosx2－12.(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；(2)若f(α)＝3210，求sin2α的值．分析：(1)先运用降幂公式，再运用辅助角公式化为一个角的一个三角函数形式后，再讨论性质．(2)由f(α)＝3210得cos(α＋π4)＝35，注意到2(α＋π4)＝2α＋π2，把求sin2α转化为求cos(π2＋2α)．解析：(1)由已知，f(x)＝cos2x2－sinx2cosx2－12＝12(1＋cosx)－12sinx－12＝22cos(x＋π4)．∴f(x)的最小正周期为2π，值域为[－22，22]．(2)由(1)知，f(α)＝22cos(α＋π4)＝3210，所以cos(α＋π4)＝35.所以sin2α＝－cos(π2＋2α)＝－cos2(α＋π4)＝1－2cos2(α＋π4)＝1－1825＝725.[例5](文)12sin170°－2sin70°的值等于()A．1B．－1C.12D．－12化简、求值与证明解析：12sin170°－2sin70°＝12sin10°－2cos20°＝1－4sin10°cos20°2sin10°＝1－4sin10°co