本课时栏目开关填一填研一研练一练1.2.1~1.2.2(一)1.2.1几个常用函数的导数1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)【学习要求】1.能根据定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=1x的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.本课时栏目开关填一填研一研练一练1.2.1~1.2.2(一)【学法指导】1.利用导数的定义推导简单函数的导数公式,类推一般多项式函数的导数公式,体会由特殊到一般的思想.通过定义求导数的过程,培养归纳、探求规律的能力,提高学习兴趣.2.本节公式是下面几节课的基础,记准公式是学好本章内容的关键.记公式时,要注意观察公式之间的联系,如公式6是公式5的特例,公式8是公式7的特例.公式5与公式7中lna的位置的不同等.本课时栏目开关填一填研一研练一练1.2.1~1.2.2(一)填一填·知识要点、记下疑难点1.几个常用函数的导数原函数导函数f(x)=cf′(x)=______f(x)=xf′(x)=______f(x)=x2f′(x)=______f(x)=1xf′(x)=______f(x)=xf′(x)=______012x-1x212x本课时栏目开关填一填研一研练一练1.2.1~1.2.2(一)填一填·知识要点、记下疑难点2.基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)=cf′(x)=______f(x)=xα(α∈Q*)f′(x)=______f(x)=sinxf′(x)=________f(x)=cosxf′(x)=__________f(x)=axf′(x)=__________(a0)f(x)=exf′(x)=_____f(x)=logaxf′(x)=______(a0且a≠1)f(x)=lnxf′(x)=_____0αxα-1cosx-sinxaxlnaex1xlna1x本课时栏目开关填一填研一研练一练1.2.1~1.2.2(一)研一研·问题探究、课堂更高效探究点一几个常用函数的导数问题1怎样利用定义求函数y=f(x)的导数?答(1)计算ΔyΔx,并化简;(2)观察当Δx趋近于0时,ΔyΔx趋近于哪个定值;(3)ΔyΔx趋近于的定值就是函数y=f(x)的导数.本课时栏目开关填一填研一研练一练1.2.1~1.2.2(一)研一研·问题探究、课堂更高效问题2利用定义求下列常用函数的导数:①y=c②y=x③y=x2④y=1x⑤y=x答①y′=0②y′=1③y′=2x④y′=-1x2⑤y′=12x本课时栏目开关填一填研一研练一练1.2.1~1.2.2(一)研一研·问题探究、课堂更高效问题3导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率.物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.(1)函数y=f(x)=c(常数)的导数的物理意义是什么?(2)函数y=f(x)=x的导数的物理意义呢?答(1)若y=c表示路程关于时间的函数,则y′=0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0,即一直处于静止状态.(2)若y=x表示路程关于时间的函数,则y′=1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动.本课时栏目开关填一填研一研练一练1.2.1~1.2.2(一)研一研·问题探究、课堂更高效问题4在同一平面直角坐标系中,画出函数y=2x,y=3x,y=4x的图象,并根据导数定义,求它们的导数.(1)从图象上看,它们的导数分别表示什么?(2)这三个函数中,哪一个增加得最快?哪一个增加得最慢?(3)函数y=kx(k≠0)增(减)的快慢与什么有关?答函数y=2x,y=3x,y=4x的图象如图所示,导数分别为y′=2,y′=3,y′=4.本课时栏目开关填一填研一研练一练1.2.1~1.2.2(一)研一研·问题探究、课堂更高效(1)从图象上看,函数y=2x,y=3x,y=4x的导数分别表示这三条直线的斜率.(2)在这三个函数中,y=4x增加得最快,y=2x增加得最慢.(3)函数y=kx(k0)增加的快慢与k有关系,即与函数的导数有关系,k越大,函数增加得越快,k越小,函数增加得越慢.函数y=kx(k0)减少的快慢与|k|有关系,即与函数导数的绝对值有关系,|k|越大,函数减少得越快,|k|越小,函数减少得越慢.本课时栏目开关填一填研一研练一练1.2.1~1.2.2(一)研一研·问题探究、课堂更高效问题5画出函数y=1x的图象.根据图象,描述它的变化情况,并求出曲线在点(1,1)处的切线方程.答函数y=1x的图象如图所示,结合函数图象及其导数y′=-1x2发现,当x0时,随着x的增加,函数y=1x减少得越来越快;当x0时,随着x的增加,函数减少得越来越慢.点(1,1)处切线的斜率就是导数y′|x=1=-112=-1,故斜率为-1,过点(1,1)的切线方程为y=-x+2.本课时栏目开关填一填研一研练一练1.2.1~1.2.2(一)研一研·问题探究、课堂更高效问题6利用导数的定义可以求函数的导函数,但运算比较繁杂,有些函数式子在中学阶段无法变形,怎样解决这个问题?答可以使用给出的导数公式进行求导,简化运算过程,降低运算难度.本课时栏目开关填一填研一研练一练1.2.1~1.2.2(一)研一研·问题探究、课堂更高效探究点二基本初等函数的导数公式问题你能发现8个基本初等函数的导数公式之间的联系吗?答公式6是公式5的特例,公式8是公式7的特例.本课时栏目开关填一填研一研练一练1.2.1~1.2.2(一)研一研·问题探究、课堂更高效例1求下列函数的导数:(1)y=sinπ3;(2)y=5x;(3)y=1x3;(4)y=4x3;(5)y=log3x.解(1)y′=0;(2)y′=(5x)′=5xln5;(3)y′=1x3′=(x-3)′=-3x-4;(4)y′=(4x3)′=()′==344x;4143x43x(5)y′=(log3x)′=1xln3.本课时栏目开关填一填研一研练一练1.2.1~1.2.2(一)研一研·问题探究、课堂更高效小结对于教材中出现的8个基本初等函数的导数公式,要想在解题过程中应用自如,必须做到以下两点:一是正确理解,如sinπ3=32是常数,而常数的导数一定为零,就不会出现sinπ3′=cosπ3这样的错误结果.二是准确记忆,灵活变形.如根式、分式可转化为指数式,利用公式2求导.本课时栏目开关填一填研一研练一练1.2.1~1.2.2(一)研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练1求下列函数的导数:(1)y=x8;(2)y=(12)x;(3)y=xx;(4)y=.x31log解(1)y′=8x7;(2)y′=(12)xln12=-(12)xln2;(3)∵y=xx=,∴y′=;23x2123x(4)y′=1xln13=-1xln3.本课时栏目开关填一填研一研练一练1.2.1~1.2.2(一)研一研·问题探究、课堂更高效例2判断下列计算是否正确.求y=cosx在x=π3处的导数,过程如下:y′|x=π3=cosπ3′=-sinπ3=-32.解错误.应为y′=-sinx,∴y′|x=π3=-sinπ3=-32.本课时栏目开关填一填研一研练一练1.2.1~1.2.2(一)研一研·问题探究、课堂更高效小结函数f(x)在点x0处的导数等于f′(x)在点x=x0处的函数值.在求函数在某点处的导数时可以先利用导数公式求出导函数,再将x0代入导函数求解,不能先代入后求导.本课时栏目开关填一填研一研练一练1.2.1~1.2.2(一)研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练2求函数f(x)=13x在x=1处的导数.解f′(x)=(13x)′=()′=,31x13131x==-133x4,3431x∴f′(1)=-1331=-13,∴函数f(x)在x=1处的导数为-13.本课时栏目开关填一填研一研练一练1.2.1~1.2.2(一)研一研·问题探究、课堂更高效探究点三导数公式的综合应用例3已知直线x-2y-4=0与抛物线y2=x相交于A、B两点,O是坐标原点,试在抛物线的弧上求一点P,使△ABP的面积最大.解设P(x0,y0),过点P与AB平行的直线为l,如图.由于直线x-2y-4=0与抛物线y2=x相交于A、B两点,所以|AB|为定值,要使△ABP的面积最大,只要P到AB的距离最大,而P点是抛物线的弧上的一点,本课时栏目开关填一填研一研练一练1.2.1~1.2.2(一)研一研·问题探究、课堂更高效因此点P是抛物线上平行于直线AB的切线的切点,由图知点P在x轴上方,y=x,y′=12x,由题意知kAB=12.∴kl=12x0=12,即x0=1,∴y0=1.∴P(1,1).本课时栏目开关填一填研一研练一练1.2.1~1.2.2(一)研一研·问题探究、课堂更高效小结利用基本初等函数的求导公式,结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题.解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况,再利用导数的几何意义准确计算.本课时栏目开关填一填研一研练一练1.2.1~1.2.2(一)研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练3点P是曲线y=ex上任意一点,求点P到直线y=x的最小距离.解根据题意设平行于直线y=x的直线与曲线y=ex相切于点(x0,y0),该切点即为与y=x距离最近的点,如图.则在点(x0,y0)处的切线斜率为1,即y′|x=x0=1.∵y′=(ex)′=ex,∴ex0=1,得x0=0,代入y=ex,得y0=1,即P(0,1).利用点到直线的距离公式得距离为22.本课时栏目开关填一填研一研练一练1.2.1~1.2.2(一)练一练·当堂检测、目标达成落实处1.给出下列结论:①若y=1x3,则y′=-3x4;②若y=3x,则y′=133x;③若y=1x2,则y′=-2x-3;④若f(x)=3x,则f′(1)=3.其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.4本课时栏目开关填一填研一研练一练1.2.1~1.2.2(一)练一练·当堂检测、目标达成落实处解析①y=1x3=x-3,则y′=-3x-4=-3x4;②y=3x=,则y′=13·≠133x;31x32x③y=1x2=x-2,则y′=-2x-3;④由f(x)=3x,知f′(x)=3,∴f′(1)=3.∴①③④正确.答案C本课时栏目开关填一填研一研练一练1.2.1~1.2.2(一)练一练·当堂检测、目标达成落实处2.函数f(x)=x,则f′(3)等于()A.36B.0C.12xD.32解析∵f′(x)=(x)′=12x,∴f′(3)=123=36.A本课时栏目开关填一填研一研练一练1.2.1~1.2.2(一)练一练·当堂检测、目标达成落实处3.设正弦曲线y=sinx上一点P,以点P为切点的切线为直线l,则直线l的倾斜角的范围是()A.[0,π4]∪[3π4,π)B.[0,π)C.[π4,3π4]D.[0,π4]∪[π2,3π4]解析∵(sinx)′=cosx,∵kl=cosx,A∴-1≤kl≤1,∴αl∈[0,π4]∪[3π4,π).本课时栏目开关填一填研一研练一练1.2.1~1.2.2(一)练一练·当堂检测、目标达成落实处4.曲线y=ex在点(2,e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________.解析∵y′=(ex)′=ex,∴k=e2,∴曲线在点(2,e2)处的切线方程为y-e2=e2(x-2),即y=e2x-e2.当x=0时,y=-e2,当y=0时,x=1.∴S△=12×1×|-e2|=12e2.12e2本课时栏目开关填一填研一研练一练1.2.1~1.2.2(一)练一练·当堂检测、目标达成落实处1.利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数,其关键是牢记和运用好导数公式.解题时,能认真观察函数的结构特征,积极地进行联想化归.2.有些函数可先化简再应用公式求导.如求y=1-2sin2x2的导数.因为y=1-2sin2x2=cosx,所以y′=(cosx)′=-sinx.3.对于正、余弦函数的导数,一是注意函数的变化,二是注意符号的变化.本课时栏目开关填一填研一研练一练