高中数学选修2-2综合测试题及答案

-1-选修2-2综合测试题一、选择题1．在数学归纳法证明“1211(1)1nnaaaaanaN，”时，验证当1n时，等式的左边为（）Ａ．1Ｂ．1aＣ．1aＤ．21a答案：Ｃ2．已知三次函数3221()(41)(1527)23fxxmxmmx在()x，∞∞上是增函数，则m的取值范围为（）Ａ．2m或4mＢ．42mＣ．24mＤ．以上皆不正确答案：Ｃ3．设()()sin()cosfxaxbxcxdx，若()cosfxxx，则abcd，，，的值分别为（）Ａ．1，1，0，0Ｂ．1，0，1，0Ｃ．0，1，0，1Ｄ．1，0，0，1答案：Ｄ4．已知抛物线2yaxbxc通过点(11)P，，且在点(21)Q，处的切线平行于直线3yx，则抛物线方程为（）Ａ．23119yxxＢ．23119yxxＣ．23119yxxＤ．23119yxx答案：Ａ5．数列na满足1120212112nnnnnaaaaa，，，，≤≤≤若167a，则2004a的值为（）Ａ．67Ｂ．57Ｃ．37Ｄ．17答案：Ｃ6．已知ab，是不相等的正数，2abx，yab，则x，y的关系是（）Ａ．xyＢ．yxＣ．2xyＤ．不确定答案：Ｂ7．复数2()12mizmiR不可能在（）Ａ．第一象限Ｂ．第二象限Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限答案：Ａ8．定义ABBCCDDA，，，的运算分别对应下图中的（1），（2），（3），（4），那么，图中（Ａ），（Ｂ）可能是下列（）的运算的结果-2-Ａ．BD，ADＢ．BD，ACＣ．BC，ADＤ．CD，AD答案：Ｂ9．用反证法证明命题“abN，，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．”则假设的内容是（）Ａ．a，b都能被5整除Ｂ．a，b都不能被5整除Ｃ．a不能被5整除Ｄ．a，b有1个不能被5整除答案：Ｂ10．下列说法正确的是（）Ａ．函数yx有极大值，但无极小值Ｂ．函数yx有极小值，但无极大值Ｃ．函数yx既有极大值又有极小值Ｄ．函数yx无极值答案：Ｂ11．对于两个复数1322i，1322i，有下列四个结论：①1；②1；③1；④331．其中正确的个数为（）Ａ．1Ｂ．2Ｃ．3Ｄ．4答案：Ｂ12．设()fx在[]ab，上连续，则()fx在[]ab，上的平均值是（）Ａ．()()2fafbＢ．()bafxdxＣ．1()2bafxdxＤ．1()bafxdxba答案：Ｄ二、填空题13．若复数222log(33)log(3)zxxix为实数，则x的值为．答案：414．一同学在电脑中打出如下图形（○表示空心圆，●表示实心圆）○●○○●○○○●○○○○●若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么前2006年圆中有实心圆的个数为．答案：6115．函数32()6(0)fxaxaxba在区间[12]，上的最大值为3，最小值为29，则a，b的值分别为．答案：2，3-3-16．由24yx与直线24yx所围成图形的面积为．答案：9三、解答题17．设nN且sincos1xx，求sincosnnxx的值．（先观察1234n，，，时的值，归纳猜测sincosnnxx的值．）解：当1n时，sincos1xx；当2n时，有22sincos1xx；当3n时，有3322sincos(sincos)(sincossincos)xxxxxxxx，而sincos1xx，12sincos1xx∴，sincos0xx．33sincos1xx∴．当4n时，有4422222sincos(sincos)2sincos1xxxxxx．由以上可以猜测，当nN时，可能有sincos(1)nnnxx成立．18．设关于x的方程2(tan)(2)0xixi，（1）若方程有实数根，求锐角和实数根；（2）证明：对任意ππ()2kkZ，方程无纯虚数根．解：（1）设实数根为a，则2(tan)(2)0aiai，即2(tan2)(1)0aaai．由于a，tanR，那么21tantan20tan111aaaa，，．又π02，得1π4a，．（2）若有纯虚数根()iR，使2()(tan)()(2)0iiii，即2(2)(tan1)0i，由，tanR，那么220tan10，，由于220无实数解．故对任意ππ()2kkZ，方程无纯虚数根．19．设0t，点(0)Pt，是函数3()fxxax与2()gxbxc的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线．（1）用t表示abc，，；（2）若函数()()yfxgx在(13)，上单调递减，求t的取值范围．解：（1）因为函数()fx，()gx的图象都过点(0)t，，所以()0ft，即30tat．因为0t，所以2at．()0gt，即20btc，所以cab．又因为()()fxgx，在点(0)t，处有相同的切线，-4-所以()()ftgt，而2()3fxxa，()2gxbx，所以232tabt．将2at代入上式得bt．因此3cabt．故2at，bt，3ct．（2）3223()()yfxgxxtxtxt，2232(3)()yxtxtxtxt．当(3)()0yxtxt时，函数()()yfxgx单调递减．由0y，若0t，则3txt；若0t，则3ttx．由题意，函数()()yfxgx在(13)，上单调递减，则(13)3tt，，或(13)3tt，，．所以9t≤或3t≥．又当93t时，函数()()yfxgx在(13)，上不是单调递减的．所以t的取值范围为93，，∞∞．20．下列命题是真命题，还是假命题，用分析法证明你的结论．命题：若abc，且0abc，则23baca．解：此命题是真命题．0abc∵，abc，0a∴，0c．要证23baca成立，只需证23baca，即证223baca，也就是证22()3acaca，即证()(2)0acac．0ac∵，2()0acacaba，()(2)0acac∴成立，故原不等式成立．21．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与利率的平方成正比，比例系数为(0)kk，且知当利率为0.012时，存款量为1.44亿；又贷款的利率为4.8%时，银行吸收的存款能全部放贷出去；若设存款的利率为x，(00.048)x，，则当x为多少时，银行可获得最大收益？解：由题意，存款量2()fxkx，又当利率为0.012时，存款量为1.44亿，即0.012x时，1.44y；由21.44(0.012)k·，得10000k，那么2()10000fxx，银行应支付的利息3()()10000gxxfxx·，设银行可获收益为y，则2348010000yxx，由于296030000yxx，则0y，即2960300000xx，得0x或0.032x．-5-因为，(00.032)x，时，0y，此时，函数2348010000yxx递增；(0.0320.048)x，时，0y，此时，函数2348010000yxx递减；故当0.032x时，y有最大值，其值约为0.164亿．22．已知函数2()(0)1xfxxx，数列na满足1()afx，1()nnafa．（1）求234aaa，，；（2）猜想数列na的通项，并予以证明．解：（1）由1()afx，得2121222121()11211xaxxafaaxxx，22322222212()113112xaxxafaaxxx，23432223213()114113xaxxafaaxxx．（2）猜想：2()1nxannxN，证明：（1）当1n时，结论显然成立；（2）假设当nk时，结论成立，即21kxakx；那么，当1nk时，由212221()1(1)11kkxxkxafakxxkx，这就是说，当1nk时，结论成立；由（1），（2）可知，21nxanx对于一切自然数()nnN都成立．