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第十八章平行四边形18.1.1平行四边形的性质18.1平行四边形下面图片中，哪些是平行四边形？你是怎样判断的？回顾旧知新课导入平行四边形的主要特征1．边：a．平行四边形两组对边分别平行．b．平行四边形两组对边分别相等．2．角：平行四边形两组对角分别相等．3．对角线：平行四边形对角线互相平分.怎样证明对边相等或对角线相等或对角线互相平分的四边形是不是平行四边形？18.1.2平行四边形的判定【知识与能力】系统掌握平行四边形的判定定理；灵活运用判定定理进行有关判断和说理叙述．【过程与方法】通过平行四边形判定定理的归纳与说理，培养的归纳推理能力，领会数学的严密性；通过尝试练习和变式尝试，培养分析问题和解决问题的能力．【情感态度与价值观】通过平行四边形判定方法的灵活运用，培养主动探索的精神及创新意识；通过一题多变与一题多解，引发求异创新的欲望．教学目标重点：平行四边形的判定方法及应用．难点：平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用．教学重难点张师傅手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗？并说明理由．●●●●ACBDAB＝CDAD＝BC探究证明：连接AC．∵AB=CD，AD=BC，AC＝AC∴△ACD≌△CAD（SSS）∴∠CAB＝∠DCA∴AB∥CD同理，∠CAD＝∠ACB∴AD∥BC∴四边形ABCD为平行四边形．上述问题可归结为：已知：在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC．求证：四边形ABCD为平行四边形．ACBD将两根木条AC，BD的中点重叠，并用钉子固定，再用一根橡皮筋绕端点A，B，C，D围成一个四边形ABCD．想一想，△AOB≌△COD吗？四边形ABCD的对边之间有什么关系？你得到什么结论？ACBOD探究△AOB≌△COD→∠BAC＝∠ACD→AB∥CD∠CAD＝∠ACB→AD∥BC同理，△BOC≌△AOD→四边形ABCD是平行四边形．结论：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.ACBOD平行四边形判定方法1两组对边分别相等的四边形是平行四边形．平行四边形判定方法2对角线互相平分的四边形是平行四边形．知识要点证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AB＝DC，∠D＝∠B．∵E，F分别是边AB，CD的中点，∴BE＝DF∴△ADF≌△CBE∴AF＝CE又∵AE＝CF∴四边形AECF是平行四边形．AFEDCB【例1】已知:ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点，求证:四边形AECF是平行四边形．DFECBAO如下图，ABCD的对角线AC，BD相交于O，EF过点O与AD，BC分别相交于点E，F．连接EB，EC．求证:四边形AECF是平行四边形．小练习证明：∵四边形ABCD是平行四边形．∴OA＝OC，AD∥BC,∴∠AEF＝∠CFE又∵∠AOE＝∠COF∴△AOE≌△COF∴OE＝OF∴四边形AECF是平行四边形.证明：作对角线BD，交AC于点O．∵四边形ABCD是平行四边形∴BO=DO又∵EO=FO∴四边形BFDE是平行四边形已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，并且OE=OF．求证：四边形BFDE是平行四边形DOABCEF小练习ODABCEF∵四边形ABCD是平行四边形∴AO=CO，BO=DO∵AE=CF∴AO－AE=CO－CF∴EO=FO又BO=DO∴四边形BFDE是平行四边形证明：连接对角线BD，交AC于点O【例2】已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，并且AE=CF．求证：四边形BFDE是平行四边形．还有其他证明方法吗？AE=CF∠EAD=∠FCBAD=BCDABCEF证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC且AD=BC∴∠EAD=∠FCB在△AED和△CFB中∴△AED≌△CFB(SAS)∴DE=BF同理可证：BE=DF四边形BFDE是平行四边形．已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，当点E，F满足什么条件时，四边形BFDE是平行四边形？DABCEFO已知：如图，A′B′∥BA，B′C′∥CB，C′A′∥AC．求证：（1）∠ABC=∠B′，∠CAB=∠A′，∠BCA＝∠C′；（2）△ABC的顶点分别是△B′C′A′各边的中点．小练习ACBA′C′B′证明：（1）∵A′B′∥BA，C′B′∥BC，∴四边形ABCB′是平行四边形．∴∠ABC＝∠B′（平行四边形的对角相等）．同理∠CAB＝∠A′，∠BCA＝∠C′．（2）由（1）证得四边形ABCB′是平行四边形．同理，四边形ABA′C是平行四边形．∴AB＝B′C，AB＝A′C（平行四边形的对边相等）．∴B′C＝A′C．同理B′A＝C′A，A′B＝C′B．∴△ABC的顶点A、B、C分别是△B′C′A′的边B′C′、C′A′、A′B′的中点．小明用手中六个全等的正三角形做拼图游戏时，拼成一个六边形．你能在图中找出所有的平行四边形吗？并说说你的理由．做一做ABCDOFE解：有6个平行四边形，分别是：ABOF，ABCO，BCDO，CDEO，DEFO，EFAO．理由是：因为正△ABO≌正△AOF，所以AB=BO，OF=FA．根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可知四边形ABCD是平行四边形．其它五个同理．探究取两根等长的木条AB、CD，将它们平行放置，再用两根木条BC、AD加固，得到的四边形ABCD是平行四边形吗？在一方格纸上，画一个有一组对边平行且相等的四边形．步骤1：画一线段AD．步骤2：平移线段AD到BC．根据平移的特征，AD、BC有怎样的关系？连结AB、DC，得到四边形ABCD，它是一组对边平行且相等的四边形CBDA探究证明：连接AC∵AD∥BC∴∠DAC=∠ACB又∵AD=BC，AC=AC，∴ΔABC≌ΔCDA∴∠BAC=∠ACD∴AB∥CD∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)ABCD已知：在四边形ABCD中，ADBC．求证：四边形ABCD是平行四边形．平行且相等你还有其他证法吗？探究在ABCD中，E、G是AD的三等分点，F、H是BC的三等分点，则图中的平行四边形有______个.抢答ABCDEFGH6已知：如图，ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，求证：BE=DF．小练习ABCDEF证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，AD=CD．∵E、F分别是AD、BC的中点，∴DE∥BF，且DE=AD，BF=BC．∴DE=BF．∴四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形平行四边形）．∴BE=DF．ABCDEF一组对边平行且相等的四边形是平行四边形平行四边形的判定定理3:符号语言：∵ABCD∴四边形ABCD是平行四边形．ABCD知识要点【例3】已知：如图，ABCD中，E、F分别是AC上两点，且BE⊥AC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形BEDF是平行四边形．ＡＢＣＤEF证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，且AB∥CD．∴∠BAE=∠DCF．∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，∴BE∥DF，且∠BEA=∠DFC=90°．∴△ABE≌△CDF（AAS）．∴BE=DF．∴四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形平行四边形）．探究已知：四边形ABCD，∠A=∠C，∠B=∠D求证：四边形ABCD是平行四边形．ABCD证明：∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)同理可证AB∥CD又∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°∴2∠A+2∠B=360°∵∠A=∠C，∠B=∠D（已知）即∠A+∠B=180°∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．平行四边形的判定定理4:符号语言：∵∠A=∠C，∠B=∠D，∴四边形ABCD是平行四边形．知识要点ABCD已知：如图，AC∥ED，点B在AC上，且AB=ED=BC，找出图中的平行四边形，并说明理由．四边形ABDE和四边形BCDE是平行四边形.理由:一组对边平行且相等的四边形平行四边形．ABCED小练习已知：如图，在ABCD中，AE、CF分别是∠DAB、∠BCD的平分线．求证：四边形AFCE是平行四边形．提示：利用“一组对边平行且相等的四边形平行四边形”．ABCFDE小练习【例4】：如图，点D、E、分别为△ABC边AB、AC的中点，求证：DE∥BC且DE=BC．12ABCDE方法1：如图（1），延长DE到F，使EF=DE，连接CF，由△ADE≌△CFE，可得AD∥FC，且AD=FC，因此有BD∥FC，BD=FC，所以四边形BCFD是平行四边形．所以DF∥BC，DF=BC，因为DE=DF，所以DE∥BC且DE=BC．12ABCDEF12方法2：如图（2），延长DE到F，使EF=DE，连接CF、CD和AF，又AE=EC，所以四边形ADCF是平行四边形．所以AD∥FC，且AD=FC．因为AD=BD，所以BD∥FC，且BD=FC．所以四边形ADCF是平行四边形．所以DF∥BC，且DF=BC，因为DE=DF，所以DE∥BC且DE=BC．1212ABCDEF三角形的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．知识要点答:(1)一个三角形的中位线共有三条；(2)三角形的中位线与中线的区别主要是线段的端点不同．中位线是中点与中点的连线；中线是顶点与对边中点的连线．（1）一个三角形的中位线共有几条？（2）三角形的中位线与中线有什么区别？三角形的中位线与第三边有怎样的关系？答：三角形的中位线与第三边的关系：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半．大显身手例1：已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，并且AE=CF。求证：四边形BFDE是平行四边形DOABCEF证明：作对角线BD，交AC于点O。∵四边形ABCD是平行四边形∴AO=CO，BO=DO∵AE=CF∴AO-AE=CO-CF∴EO=FO又BO=DO∴四边形BFDE是平行四边形三角形中位线的性质三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半．知识要点利用这一定理，你能证明出在前面思考题中分割出来的四个小三角形全等吗？并说明理由.探究ABFCEDABC做一做现有一块等腰直角三角形铁板，要求切割一次焊接成一个含有45°角的平行四边形(不能有余料)，请你设计一种方案，并说明该方案正确的理由．CABFEDDCABEABCFDE如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M、N，如果测得MN=20m，那么A、B两点的距离是____m，理由是_______________________．40中位线等于第三边的一半．抢答如图，△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，（1）若EF=5cm，则AB=____cm；若BC=9cm，则DE=_______cm；（2）中线AF与DE中位线有什么特殊的关系？证明你的猜想．104.5抢答ABDECF三角形的周长为18cm，它的三条中位线围成的三角形的周长是多少?为什么?小练习ABCDEF9cm;三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半．已知：在ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，M，N在CB，AD的延长线上，且BM=DN．求证：EM=FN．EMDNFCAB小练习证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AN∥BC且AN∥BC．∵E，F分别是AD，BC的中点∴DE＝BF,∵BM=DN∴EN＝MF∴四边开有EMFD为平行四边形∴EM=FNEMDNFCAB(1)已知：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．小练习AEBFHDCG证明：连结AC，△DAG中，∵AH=HD，CG=GD，∴HG∥AC，HG=AC（三角形中位线性质）．同理EF∥AC，EF=AC．∴HG∥EF，且HG=EF．∴四边形EFGH是平行四边形．结论：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形．AEBFHDCG平行四边形的判定方法从边来判定两组对边分别平行的四边形是平行四边形两组对