题型五 二次函数与几何图形综合题

目录题型五二次函数与几何图形综合题...............................................................2类型一与特殊三角形形状有关..........................................................................................................2类型二与特殊四边形形状有关..........................................................................................................8类型三与三角形相似有关................................................................................................................18类型四与图形面积函数关系式、最值有关....................................................................................23类型五与线段、周长最值有关........................................................................................................29题型五二次函数与几何图形综合题类型一与特殊三角形形状有关针对演练1.(’16原创)如图，已知抛物线y=-x2+bx+c的对称轴为x=1,与y轴的交点第1题图C为（0,3），与x轴交于点A、B，顶点为D.（1）求抛物线的解析式；（2）求A、B、D的坐标，并确定四边形ABDC的面积；（3）点P是x轴上的动点，连接CP，若△CBP是等腰三角形，求点P的坐标.2.（’15长沙模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象过点M（-2,3），顶点为N（-1,433），与x轴交于点A、B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C.（1）求抛物线解析式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）若点Q是抛物线对称轴上一点，当△QBC是直角三角形时，求点Q的坐标.3.（’16原创）如图，抛物线y=-12x2+mx+n与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，其对称轴与x轴的交点为D，已知A（-1,0），C（0,2）.（1）求抛物线的解析式；（2）判断△ACD的形状，并说明理由；（3）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形，若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由.4.如图，已知二次函数L1:y=x2-4x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C.（1）写出A、B两点的坐标；（2）二次函数L2:y=kx2-4kx+3k(k≠0),顶点为P.①直接写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；②是否存在实数k，使△ABP为等边三角形？如果存在，请求出k的值；如不存在，请说明理由；③若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否会发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由.答案1.解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c的对称轴为112bx，解得b=2，∵抛物线过点C（0,3），∴c=3，∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3；（2）由抛物线y=-x2+2x+3，令y=0得，-x2+2x+3=0，解得x1=-1,x2=3，∴点A（-1,0），点B（3,0），当x=1时，y=-12+2+3=4,∴点D的坐标为（1,4）.如解图，过D作DM⊥AB于M，则OM=1，DM=4，∴S四边形ABDC=S△AOC+S四边形OMDC+S△BMD=12AO·OC+12（OC+MD）·OM+12BM·DM=12×1×3+12×（3+4）×1+12×4×2=9.（3）设点P的坐标为（t,0），则PC2=t2+32，PB2=(3-t)2，∴BC2=32+32=18，若△PBC是等腰三角形，则有①PC2=PB2，即t2+9=(3-t)2，解得t=0，此时点P的坐标为（0,0）；②PC2=BC2，则t2+9=18，解得t=3（舍）或t=-3，此时点P的坐标为（-3,0）；③PB2=BC2则(3-t)2=18，解得t=3+32或t=3-32，此时点P的坐标为（3+32,0）或（3-32,0）.2.解：（1）由抛物线的顶点为N（-1,433），故设抛物线的顶点式为y=a(x+1)2+433，将点M（-2,3）代入解析式得，a×(-2+1)2+433=3，解得a=33,∴抛物线的解析式为y=-33(x+1)2+433.即y=33x2233x+3.（2）对于抛物线y=33x2-233x+3，令y=0,得33x2-233x+3=0，解得x1=1,x2=-3，∴点A（1,0），点B（-3,0），令抛物线x=0,得y=3，∴点C的坐标为（0,3）.∴AB2=42=16,AC2=12+(3)2=4,BC2=32+(3)2=12,∴AB2=AC2+BC2,∴△ABC是直角三角形.(3)由抛物线顶点N（-1,433）知抛物线的对称轴为x=-1，设点Q的坐标为（-1,t），则BQ2=(-3+1)2+t2=4+t2,CQ2=(-1)2+(t-3)2=t2-23t+4，BC2=12.要使△BQC是直角三角形，(ⅰ)当∠BQC＝90°，则BQ2+QC2=BC2,即4+t2+t2-23t+4=12，解得t1=32+112,t2=32-23，此时点Q的坐标为（-1，32+112）或（-1，32-112）；（ⅱ）当∠QBC＝90°，则BQ2+BC2=QC2，即4+t2+12=t2-23t+4，解得t=-23，此时点Q的坐标为（-1，-23）；（ⅲ）当∠BCQ=90°时，则QC2+BC2=BQ2，即t2-23t+4+12=4+t2，解得t=23，此时点Q的坐标为（-1,23）.综上，当△QBC是直角三角形时，点Q坐标为（-1，3112），（-1，±23）3.解：（1）∵点A（-1,0），C（0,2）在抛物线上，∴1022mnn，解得322mn∴抛物线解析式为y=-12x2+32x+2；（2）△ACD是等腰三角形.理由：∵抛物线y=-12x2+32x+2的对称轴为直线x=32，∴点D（32,0），∵A（-1,0），C（0,2），∴AC=5，AD=1+32=52,CD=22352()22，∴AD=CD≠AC，∴△ACD是等腰三角形；（3）令抛物线y=-12x2+32x+2=0，得x1=-1,x2=4,∴点B的坐标为（4,0），则BC=25，取BC的中点为S，则点S的坐标为（2,1）；设点P（32,t），则PS=12BC=5，即(2-32)2+(t-1)2=5，解得t1=1+192,t2=1-192，∴存在这样的点P，其坐标为（32,1+192）或（32，1-192）.4.解：（1）当y=0时，x2-4x+3=0，∴x1=1，x2=3，即：A(1，0),B(3，0);（2）①二次函数L2与L1有关图象的两条相同的性质：（Ⅰ）对称轴都为直线x=2或顶点的横坐标都为2；（Ⅱ）都经过A(1，0),B(3，0)两点；②存在实数k，使△ABP为等边三角形.∵y=kx2-4kx+3k=k（x-2）2-k,∴顶点P（2，-k）.∵A(1，0)，B(3，0)，∴AB=2，要使△ABP为等边三角形，必满足|-k|=3，∴k=±3；③线段EF的长度不会发生变化.∵直线y=8k与抛物线L2交于点E、F两点，∴kx2-4kx+3k=8k,∵k≠0,∴x2-4x+3=8,∴x1=-1，x2=5，∴EF=x2-x1=6，∴线段EF的长度不会发生变化且EF＝6.类型二与特殊四边形形状有关针对演练1.抛物线y=x2+bx+c经过A（0，2），B（3，2）两点，点D在x轴的正半轴.（1）求抛物线与x轴的交点坐标；（2）若点C为抛物线与x轴的交点，是否存在点D，使A、B、C、D四点围成的四边形是平行四边形？若存在，求点D的坐标；若不存在，说明理由.2.如图，已知平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，抛物线y=-x2+bx+c（c＞0）的顶点D在第二象限，与y轴的交点为C，过点C作CA∥x轴交抛物线于点A，在AC延长线上取点B，使AC=2BC，连接OA，OB，BD和AD.（1）若点A的坐标为（-4,4），求抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，求直线BD的解析式；（3）是否存在b、c使得四边形AOBD是矩形，若存在，直接写出b与c的关系式；若不存在，说明理由.3.如图，已知直线y=43x+8与x轴交于点A，与y轴交于点B，C是线段AB的中点，抛物线y=ax2+bx+c(a0)过O、A两点，且其顶点的纵坐标为43.(1)分别写出A、B、C三点的坐标；(2)求抛物线的函数解析式；(3)在抛物线上是否存在点P，使得以O、P、B、C为顶点的四边形是菱形？若存在，求所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.4.（’15毕节16分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，顶点M关于x轴的对称点是M′.第4题图（1）求抛物线的解析式;（2）若直线AM′与此抛物线的另一个交点为C，求△CAB的面积;（3）是否存在过A、B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点为Q，使得四边形APBQ为正方形？若存在，求出此抛物线的解析式;若不存在，请说明理由.5.(’15黄冈14分)如图，在矩形OABC中，OA＝5，AB＝4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在OA边上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系.（1）求OE的长；（2）求经过O，D，C三点的抛物线的解析式；（3）一动点P从点C出发，沿CB以每秒2个单位长的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿EC以每秒1个单位长的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动.设运动时间为t秒，当t为何值时，DP=DQ；（4）若点N在（2）中的抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使得以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由.答案1.解:（1）把A(0,2),B(3,2)代入y=x2+bx+c,得2932cbc，解得32bc，∴抛物线的解析式为：y=x2-3x+2,当y=0时，x2-3x+2=0，解得x1=1，x2=2，∴抛物线与x轴的交点坐标为(1,0)、(2,0).（2）存在.理由：∵A(0，2)，B(3，2)，∴AB∥x轴，且AB=3,要使A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，则只要CD=AB=3.①当C点坐标为（1，0）时，D坐标为（4，0）；②当C点坐标为（2，0）时，D坐标为（5，0）.∴存在点D，使以A，B，C，D四点为顶点的四边形是平行四边形，D点的坐标为（4，0）或（5，0）.2.解：（1）∵CA∥x轴，点A的坐标为（-4,4），∴点C的坐标为（0,4），将点A与点C代入y=-x2+bx+c得16444bcc，解得44bc，∴抛物线的解析式为y=-x2-4x+4；（2）∵AC=2BC，∴BC=2，∴点B的坐标为（2,4），由抛物线y=-x2-4x+4得顶点D的坐标为（-2,8），设直线BD的解析式为y=kx+m，则2824kmkm，解得16km，∴直线BD的解析式为y=-x+6.（3）存在，b与c的关系式为b=-2c.【解法提示】∵点C的坐标为（0，c），抛物线的对称轴为x=2b＜0，即b＜0，AC∥x轴，∴点A的坐标为（b,c），∵AC=2BC，∴点B的坐标为（-2b,c），则AB的中