26行列式按一行(列)展开 - 河西学院

一、余子式、代数余子式二、行列式按行(列)展开法则三、小结§2.6行列式按一行（列）展开,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa例如3223332211aaaaa3321312312aaaaa3122322113aaaaa333123211333312321123332232211aaaaaaaaaaaaaaa上一节我们利用行列式的性质把一个行列式化为上三角或下三角行列式，然后根据定义算出行列式的值，或者把一个行列式化成其中含有尽量多个零的行列式，然后算出行列式的值。本节我们沿着另一条思路来计算行列式的值，即通过把高阶行列式转化为低阶行列式来计算行列式的值。如果我们能把n阶行列式转化为n-1阶行列式，把n-1阶行列式转化为n-2阶，…，而行列式的阶数越小越容易计算，我们就可以化繁为简，化难为易，从而尽快算出行列式的值。为了这个目的，我们需引进如下概念：一、余子式、代数余子式定义1在n级行列式中将元素所在的ijadet()ija第i行与第j列划去，剩下个元素按原位置2(1)n次序构成一个级的行列式，1n111111111111111111111111jjniijijiniijijinnnjnjnnaaaaaaaaaaaaaaaa称之为元素的余子式,记作．ijMija(1)ijijijAM令称之为元素的代数余子式．ijaijA注：①行列式中每一个元素分别对应着一个余子式和代数余子式．无关，只与该元素的在行列式中的位置有关．②元素的余子式和代数余子式与的大小ijaija例如44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD44424134323114121123aaaaaaaaaM2332231MA.23M,44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD,44434134333124232112aaaaaaaaaM1221121MA.12M,33323123222113121144aaaaaaaaaM.144444444MMA.个代数余子式对应着一个余子式和一行列式的每个元素分别引理一个阶行列式，如果其中第行所有元素除外都为零，那末这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即．ijijAaDniijaija44434241332423222114131211000aaaaaaaaaaaaaD.14442412422211412113333aaaaaaaaaa例如二、行列式按行(列)展开法则先考虑比较特殊的情况，即一个n阶行列式中某一行（列）除一个元素外，其余元素都为零的情况，这时有以下引理.证当位于第一行第一列时,ijannnnnaaaaaaaD21222211100即有.1111MaD又1111111MA,11M从而.1111AaD在证一般情形,此时nnnjnijnjaaaaaaaD1111100,1,2,1行对调第行第行行依次与第的第把iiiD得nnnjnnijiiijiaaaaaaaD1,1,11,11001ijaija,1,2,1对调列第列第列列依次与第的第再把jjjD得nnjnnjnijijiijjiaaaaaaaD1,,11,1,1110011ijannjnnjnijijiijjiaaaaaaa1,,11,1,12001nnjnnjnijijiijjiaaaaaaa1,,11,1,1001ijaijannnjnijnjaaaaaaaD1111100中的余子式.ijM在余子式仍然是中的在行列式元素ijnnjnnjnijijiijijaaaaaaaaa1,,11,1,100ijaija故得nnjnnjnijijiijjiaaaaaaaD1,,11,1,1001.1ijijjiMa于是有nnjnnjnijijiijaaaaaaa1,,11,1,100,ijijMaijaija定理1行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即ininiiiiAaAaAaD2211ni,,2,1证nnnniniinaaaaaaaaaD212111211000000nnnninaaaaaaa2111121100nnnninaaaaaaa2121121100nnnninnaaaaaaa211121100ininiiiiAaAaAa2211ni,,2,1例13351110243152113D03550100131111115312cc34cc0551111115)1(330550261155526)1(315028.4012rr证用数学归纳法21211xxD12xx,)(12jijixx）式成立．时（当12n例2证明范德蒙德(Vandermonde)行列式1112112222121).(111jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxxD)1(，阶范德蒙德行列式成立）对于假设（11n)()()(0)()()(0011111213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxDnnnnnnnnn就有提出，因子列展开，并把每列的公按第)(11xxi)()())((211312jjininnxxxxxxxxD).(1jjinixx223223211312111)())((nnnnnnxxxxxxxxxxxxn-1阶范德蒙德行列式推论行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即.ji,AaAaAajninjiji02211,11111111nnnjnjininjnjnjjaaaaaaaaAaAa证行展开，有按第把行列式jaDij)det(,11111111nnniniininjninjiaaaaaaaaAaAa可得换成把),,,1(nkaaikjk行第j行第i,时当ji).(,02211jiAaAaAajninjiji同理).(,02211jiAaAaAanjnijiji相同关于代数余子式的重要性质;,0,,1jijiDDAaijnkkjki当当;,0,,1jijiDDAaijnkjkik当当.,0,1jijiij当，当其中例３计算行列式277010353D解27013D.27按第一行展开，得27005771030532004140013202527102135D例４计算行列式解0532004140013202527102135D660270132106627210.1080124220532414132525320414013202135215213rr122rr例5.设求35211105,13132413D11121314AAAA11213141.MMMM和解：11121314AAAA11111105131324134.11213141MMMM11213141AAAA15211105131314130.练习：1.计算行列式001000.000100naaDaa123123123123,aaafbbbfDcccfdddf11213141.AAAA2.设求答案：21.2.0nnaa1.行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具.;,0,,.21jijiDDAaijnkkjki当当;,0,,1jijiDDAaijnkjkik当当.,0,1jijiij当，当其中三、小结思考题阶行列式设nnnDn00103010021321求第一行各元素的代数余子式之和.11211nAAA思考题解答解第一行各元素的代数余子式之和可以表示成nAAA11211n001030100211111.11!2njjn作业P97:15;18.