课题：2.2.2 向量减法运算及其几何意义

课题：2.2.2向量减法运算及其几何意义【教学目标】1、知识与技能能熟练地掌握用三角形法则和平行四边形法则作出两向量的差向量.2、过程与方法通过探究活动,使学生掌握向量减法概念,理解两个向量的减法就是转化为加法来进行,掌握相反向量.3、情感、态度与价值观启发学生能够发现问题和提出问题,善于独立思考,学会分析问题和创造地解决问题.培养学生正确运用向量的意识和能力。【教学重点】向量的减法运算及其几何意义.【教学难点】对向量减法定义的理解.【课型】新授课【教学工具】直尺【教学过程】一、导入新课上节课,我们定义了向量的加法概念,并给出了求作和向量的两种方法.由向量的加法运算自然联想到向量的减法运算:减去一个数等于加上这个数的相反数.向量的减法是否也有类似的法则呢?引导学生进一步探究,由此展开新课.二、新知探究提出问题1①向量是否有减法？②向量进行减法运算,必须先引进一个什么样的新概念？③如何理解向量的减法？④向量的加法运算有平行四边形法则和三角形法则,那么,向量的减法是否也有类似的法则？师生活动师:数的减法运算是数的加法运算的逆运算,数的减法定义即减去一个数等于加上这个数的相反数,因此定义数的减法运算,必须先引进一个相反数的概念.类似地,向量的减法运算也可定义为向量加法运算的逆运算.可类比数的减法运算,我们定义向量的减法运算,也应引进一个新的概念,这个概念又该如何定义?引导学生思考,相反向量有哪些性质?生:①向量也有减法运算.②定义向量减法运算之前,应先引进相反向量.与数x的相反数是-x类似,我们规定,与a长度相等,方向相反的量,叫做a的相反向量,记作-a.③向量减法的定义.我们定义a-b=a+(-b),即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.规定:零向量的相反向量是零向量.④向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则,这也正是向量的运算的几何意义所在,是数形结合思想的重要体现.师生共同得出;任一向量与其相反向量的和是零向量,即a+(-a)=(-a)+a=0.所以,如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.(1)平行四边形法则如图,设向量AB=b,AC=a,则AD=-b,由向量减法的定义,知AE=a+(-b)=a-b.又b+BC=a,所以BC=a-b.由此,我们得到a-b的作图方法.(2)三角形法则如图,已知a、b,在平面内任取一点O,作OA=a,OB=b,则BA=a-b,即a-b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量,这是向量减法的几何意义.提出问题2①上图中,如果从a的终点到b的终点作向量,那么所得向量是什么?②改变上图中向量a、b的方向使a∥b,怎样作出a-b呢?生:①AB=b-a.②上黑板板演.三、应用示例例1、如图3(1),已知向量a、b、c、d,求作向量a-b,c-d.图3设计意图:让学生亲自动手操作,引导学生注意规范操作,为以后解题打下良好基础;变式训练(2006上海高考)在ABCD中,下列结论中错误的是()A.AB=DCB.AD+AB=ACC.AB-AD=BDD.AD+BC=0分析:A显然正确,由平行四边形法则可知B正确,C中,AB-AD=BD错误,D中,AD+BC=AD+DA=0正确.答案:C例2、如图,ABCD中,AB=a,AD=b,你能用a、b表示向量AC、DB吗?设计意图:掌握用两个向量表示几何图形中的其他向量的方法,这是用向量证明几何问题的基础.变式训练中学第一课堂P40拓展发散1课堂练习课本P87练习1~3四、课堂小结1.先由学生回顾本节学习的数学知识:相反向量,向量减法的定义,向量减法的几何意义,向量差的作图.2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法,类比,数形结合,几何作图,分类讨论.五、作业布置课本习题2.2A组5、（4）~（7）6、7、8.备选例题：例3、判断题:(1)若非零向量a与b的方向相同或相反,则a+b的方向必与a、b之一的方向相同.(2)△ABC中,必有AB+BC+CA=0.(3)若AB+BC+CA=0,则A、B、C三点是一个三角形的三顶点.(4)|a+b|≥|a-b|.设计意图:根据向量的加、减法及其几何意义解决相关问题.解:(1)a与b方向相同,则a+b的方向与a和b方向都相同;若a与b方向相反,则有可能a与b互为相反向量,此时a+b=0的方向不确定,说与a、b之一方向相同不妥.(2)由向量加法法则AB+BC=AC,AC与CA是互为相反向量,所以有上述结论.(3)因为当A、B、C三点共线时也有AB+BC+AC=0,而此时构不成三角形.(4)当a与b不共线时,|a+b|与|a-b|分别表示以a和b为邻边的平行四边形的两条对角线的长,其大小不定.当a、b为非零向量共线时,同向则有|a+b||a-b|,异向则有|a+b||a-b|;当a、b中有零向量时,|a+b|=|a-b|.综上所述,只有(2)正确.例4、若|AB|=8,|AC|=5,则|BC|的取值范围是()A.[3,8]B.(3,8)C.[3,13]D.(3,13)设计意图：重要性质||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|的运用.解析:BC=AC-AB.(1)当AB、AC同向时,|BC|=8-5=3;(2)当AB、AC反向时,|BC|=8+5=13;(3)当AB、AC不共线时,3|BC|13.综上,可知3≤|BC|≤13.答案:C备选练习：1.(2005高考模拟)已知一点O到ABCD的3个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c,则向量OD等于()A.a+b+cB.a-b+cC.a+b-cD.a-b-c解析:如图,点O到平行四边形的三个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c,结合图形有OD=OA+AD=OA+BC=OA+OC-OB=a-b+c.答案:B2.若AC=a+b,DB=a-b.①当a、b满足什么条件时,a+b与a-b垂直？②当a、b满足什么条件时,|a+b|=|a-b|？③当a、b满足什么条件时,a+b平分a与b所夹的角？④a+b与a-b可能是相等向量吗？解析:如图6,用向量构建平行四边形,其中向量AC、DB恰为平行四边形的对角线.由平行四边形法则,得AC=a+b,DB=AB-AD=a-b.由此问题就可转换为:①当边AB、AD满足什么条件时,对角线互相垂直？(|a|=|b|)②当边AB、AD满足什么条件时,对角线相等？(a、b互相垂直)③当边AB、AD满足什么条件时,对角线平分内角？(a、b相等)④a+b与a-b可能是相等向量吗？(不可能,因为对角线方向不同说明:灵活的构想,独特巧妙,数形结合思想得到充分体现.由此我们可以想到在解决向量问题时,可以利用向量的几何意义构造几何图形,转化为平面几何问题,这就是数形结合解题的威力与魅力,教师引导学生注意领悟.反思：