高等数学函数与连续习题详解

1高等数学函数与连续习题详解1.已知，则.解：本题实质上是复合函数问题。.因此，本题求解的关键在于，设法将函数表达式的等号右端拼凑成以为自变量的形式。详细解题过程如下：依题设条件，显然，因此可得2.已知，则其定义域为。解：由于，得到。又由于反正弦函数的定义域为，解之得到，此即为的定义域。3.已知，则解：本题的解题思路与第1题类似，关键是要将函数表达式的等号右端拼凑成以为自变量的形式。详解过程如下：24.已知满足，则解：本题求解推荐“换元法”，具体过程如下：令，则，所以，依题意可得5.设，则.解：本题为分段函数的复合函数。解决此类问题的关键是，内层函数的值域应落在外层函数的定义域内。详解过程如下：1)当时，，2)当时，，3)当时，，以上三种情况可以归纳为两类：第一，当，并且时，;第二，当，或者时，.36.设函数，则为.a)有界函数，b)无界函数，c)周期函数，d)偶函数.解：本题正确答案为选项d，理由如下：所以，为偶函数。7.设则.a)b)1c)d)解：本题的正确答案为选项b，即.理由如下：1)当时，;2)当时，.8.设函数在内连续，则解：本题的正确答案为.具体解题过程如下：为分段函数，各分段在其定义区间连续。在分段点处，由于，.所以，根据函数在处连续的定义，可知4.9.设函数，则间断点的数量为.a)1个可去间断点，1个跳跃间断点；b)1个可去间断点，1个无穷间断点；c)2个跳跃间断点；d)2个无穷间断点.解：本题的正确答案为选项a.理由如下：根据题目所给条件，在两点无定义，在其定义区间内连续。显然，为两处间断点。1)在点处，是可去间断点.2)在点处，是跳跃间断点.510.设函数满足，则在处.a)导数存在且，b)取得极大值，c)取得极小值，d)导数不存在.解：本题的正确答案为选项b.理由如下：1)由题设条件，可得因此可知，选项a，d错误.2)由于，，根据函数极限的局部保号性，可知在的某一去心邻域内，恒有，即，因此可以得出结论：在处取得极大值.所以，本题的正确答案为选项b.11.设函数，其有界区间为.a)b)c)d)解：本题的正确答案为选项a.理由如下：函数的间断点为，在a,b,c,d四个区间内连续。1)在区间a的端点处，所以，根据连续函数的性质可知，函数在区间a内有界.2)在区间b的端点处，6所以，函数在区间b内无界.3)在区间c的端点处，所以，函数在区间c内无界.4)在区间d的端点处，，所以在区间d内无界.12.设函数在内连续，则应满足.解：本题的正确答案为，具体解题过程如下：依据题设条件，在分段点处根据连续函数的性质，，所以应满足.13.设数列的一般项为则当时，是.7a)无穷大b)无穷小c)有界变量d)无界变量解：本题的正确答案为选项d.理由如下：1)当n为奇数时，；2)当n为偶数时，.所以，当时，是无界变量。14.讨论函数的连续性，并指出间断点的类型。解：为初等函数，在其定义区间连续，点为间断点（无定义）。1)当时，，所以是可去间断点。2)当时，所以是跳跃间断点。15.当时，是比高价的无穷小，而是比高价的无穷小，则正整数.a)1b)2c)3d)4解：本题的正确答案为，即选项b.详解过程如下：8当时，所以，根据题设条件，可知.16.已知时，与是等价无穷小，求a和k的值。解：本题求解推荐中值定理。具体方法如下：设，由于附近利用中值定理，则可得到其中：介于与之间，并且.又由于当时，与是等价无穷小，此处显然，因此可得17.设在上连续，且，试证明：对于任意，存在，使得.证明：本题看上去似乎很难理出头绪，可以考虑先将变9形，得到.由此证明如下：因为在上连续，，所以在上连续。根据连续函数的性质，在区间上存在最小值，最大值，使得所以，根据连续函数的介值定理，在区间至少存在一个点，使得成立，即等式成立.【证毕】18.设函数，则关于的间断点，下面的结论正确的是.a)不存在间断点b)存在间断点c)存在间断点d)存在间断点解：本题的正确答案为选项b，即存在间断点.详解过程如下：为间断点;为连续点;所以，函数存在间断点.19.设函数，则其可去间断点的个数为.a)0b)110c)2d)3解：本题的正确答案为选项d，即函数存在3个可去间断点。详解过程如下：根据题设条件，存在三个间断点，它们分别是.1)当时2)当时3)当时所以，存在三个间断点，且均为可去间断点。20.设函数是三阶可导，周期为3的奇函数，并且，试比较、、的大小。解：求解本题需了解下列知识：（一）函数求导后，奇偶性互换；（二）周期函数求导后仍是周期函数，且周期不变；（三）若是奇函数，则.所以，根据题设条件，可知11是周期为3的奇函数；是周期为3的偶函数；是周期为3的奇函数。1)2)3)比较以上三个函数值，其大小关系为.