(导学教程)2012届高三数学二轮专题复习课件：第二部分第四讲 创新题型的解法

（导学教程）2012届高三二轮专题复习课件：第二部分第四讲创新题型的解法第四讲创新题型的解法设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意x∈[a，b]，都有|f(x)－g(x)|≤1成立，则称f(x)和g(x)在[a，b]上是“密切函数”，区间[a，b]称为“密切区间”．若f(x)＝x2－3x＋4与g(x)＝2x－3在[a，b]上是“密切函数”，则其“密切区间”可以是A．[1,4]B．[2,4]C．[3,4]D．[2,3]【解析】因为|f(x)－g(x)|＝|x2－5x＋7|＝x2－5x＋7.由x2－5x＋7≤1，得x2－5x＋6≤0，解得2≤x≤3.【答案】D“新定义”型问题新定义问题的难点是对新定义的理解和运用，在解决问题时要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义问题的关键所在．1．在集合{a，b，c，d}上定义两种运算⊕和⊗如下：那么d⊗(a⊕c)等于A．aB．bC．cD．d解析根据给出的⊕运算规则a⊕c＝c，即d⊗(a⊕c)＝d⊗c，再根据给出的⊗运算规则，d⊗c＝a，故选A.答案A“是否存在”型问题如图所示，椭圆长轴端点为A、B，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且AF→·FB→＝1，|OF→|＝1.(1)求椭圆的标准方程；(2)记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于P、Q两点，问：是否存在直线l，使点F恰为△PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【解析】(1)如图所示建系，设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，则c＝1，又∵AF→·FB→＝1，即(a＋c)·(a－c)＝a2－c2＝1，∴a2＝2.故椭圆方程为x22＋y2＝1.(2)存在直线l交椭圆于P、Q两点，且F恰为△PQM的垂心．假设存在直线l交椭圆于P、Q两点，且F恰为△PQM的垂心，则设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，∵M(0,1)，F(1,0)，故kPQ＝1，于是，设直线l为y＝x＋m，则y＝x＋m，x2＋2y2＝2，得3x2＋4mx＋2m2－2＝0，由于直线PQ与椭圆交于不同两点，故Δ＝16m2－12·(2m2－2)＞0，得－3＜m＜3.∵MP→·FQ→＝x1(x2－1)＋y2(y1－1)＝0，又yi＝xi＋m(i＝1,2)，得x1(x2－1)＋(x2＋m)(x1＋m－1)＝0，即2x1x2＋(x1＋x2)(m－1)＋m2－m＝0，即2·2m2－23－4m3(m－1)＋m2－m＝0.解得m＝－43或m＝1，由于M、P、Q三点必须构成三角形，故直线y＝x＋m不能过点M，即m≠1，故舍去m＝1.则当m＝－43时，符合条件．这类问题的基本形式是判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、函数等)是否存在或某一结论是否成立，解决这类问题的基本策略是通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论的证明．2．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是AB，BC中点．(1)求证：平面B1MN⊥平面BB1D1D；(2)在棱DD1上是否存在点P，使BD1∥平面PMN，若有，确定点P的位置；若没有，说明理由．解析(1)证明如图所示，连接AC，则AC⊥BD.又M，N分别是AB，BC中点，∴MN∥AC.∴MN⊥BD.∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，∴BB1⊥平面ABCD.∵MN⊂平面ABCD，∴BB1⊥MN.又∵BD∩BB1＝B，∴MN⊥平面BB1D1D.又∵MN⊂平面MNB1，∴平面B1MN⊥平面BB1D1D.(2)存在这样的点P，并且DP∶DP1＝3∶1，即点P是靠近点D1的线段D1D的第一个四等分点．设MN与BD的交点是Q，连接PQ，则平面BB1D1D∩平面PMN＝PQ.当BD1∥平面PMN时，根据线面平行的性质定理，BD1∥PQ，∴DQ∶QB＝DP∶PD1＝3∶1.应用型题目张林在李明的农场附近建了一个小型工厂，由于工厂生产须占用农场的部分资源，因此李明每年向张林索赔以弥补经济损失并获得一定净收入．工厂在不赔付农场的情况下，工厂的年利润x(元)与年产量t(吨)满足函数关系x＝2000t.若工厂每年产一吨产品必须赔付农场s元(以下称s为赔付价格)．(1)将工厂的年利润w(元)表示为年产量t(吨)的函数，并求出工厂获得最大利润的年产量；(2)若农场每年受工厂生产影响的经济损失金额y＝0.002t2(元)，在工厂按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，农场要在索赔中获得最大净收入，应向张林的工厂要求赔付价格s是多少？【解题切点】第(1)问根据利润的计算方法求出其表达式，然后根据解析式的特征采用配方法求解最值即可；第(2)问先表示出农场的净收入，将其表示为关于s的函数，根据函数解析式的特征，利用导数求解最值．【解析】(1)工厂的实际年利润为：ω＝2000t－st(t≥0)．w＝2000t－st＝－st－1000s2＋10002s，当t＝1000s2时，w取得最大值．所以工厂取得最大年利润的年产量t＝1000s2(吨)．(2)设农场净收入为v元，则v＝st－0.002t2.将t＝1000s2代入上式，得v＝10002s－2×10003s4.又v′＝－10002s2＋8×10003s5＝100028000－s3s5.令v′＝0，得s＝20.当s＜20时，v′＞0；当s＞20时，v′＜0，所以s＝20时，v取得最大值．因此李明向张林要求赔付价格s＝20(元/吨)时，获最大净收入．解决数学应用题的关键是建立应用问题的数学模型，这是应用问题的实质所在．此类问题以考查最值问题的求解为主，初等函数、平面向量、数列、不等式、立体几何、解析几何、概率统计、导数等都可以成为命制数学应用问题的知识背景．3．受金融危机的影响，三峡某旅游公司的经济效益出现了一定程度的滑坡．现需要对某一景点进行改造升级，提高旅游增加值．经过市场调查，旅游增加值y万元与投入x万元之间满足：y＝5150x－ax2－lnx10，x2x－12∈[t，＋∞)，其中t为大于12的常数．当x＝10时，y＝9.2.(1)求y＝f(x)的解析式和投入x的取值范围；(2)求旅游增加值y取得最大值时对应的x值．解析(1)∵当x＝10时，y＝9.2，即5150×10－a×102－ln1＝9.2，解得a＝1100.∴f(x)＝5150x－x2100－lnx10.∵x2x－12≥t且t＞12，∴6＜x≤12t2t－1，即投入x的取值范围是6，12t2t－1.(2)对f(x)求导，得f′(x)＝5150－x50－1x＝－x2－51x＋5050x＝－x－1x－5050x.令f′(x)＝0，得x＝50或x＝1(舍去)．当x∈(6,50)时，f′(x)＞0，且f(x)在(6,50]上连续，因此，f(x)在(6,50]上是增函数；当x∈(50，＋∞)时，f′(x)＜0，且f(x)在[50，＋∞)上连续，因此，f(x)在[50，＋∞)上是减函数．∴x＝50为极大值点．当12t2t－1≥50，即t∈12，2544时，投入50万元改造时取得最大增加值；当6＜12t2t－1＜50，即t∈2544，＋∞时，投入12t2t－1万元改造时取得最大增加值．