第二章-导数与微分教案

第二章导数与微分知识点：法则微分的基本公式与运算义微分的概念及其几何意微分高阶导数取对数法求导隐函数的导数复合函数的导数导数的四则运算法则导数的基本公式导数的运算函数可导与连续的关系导数的几何意义导数的定义导数的概念教学目的要求：（1）理解导数的概念；熟记导数符号；理解导数的几何意义；了解函数可导与连续的关系。（2）熟记导数的基本公式；掌握导数的四则运算求导法则；掌握复合函数的求导法则；掌握隐函数与对数法的求导方法；了解高阶导数的概念；掌握高阶导数的求导方法。（3）理解微分的概念及其几何意义；熟记微分的基本公式与运算法则。教学重点：1．导数的概念2．导数的几何意义3．导数的基本公式4．四则运算求导法则5．复合函数求导法则6．隐函数的求导法则7．一阶微分的形式不变性教学难点：1．导数的概念2．复合函数的求导法则3．隐函数的求导法则4．微分的形式不变性第一节导数的概念Oxyxc)(xfyQy0xPxx0TR【教学内容】两个引例；导数的定义；导数的几何意义；函数可导与连续的关系。【教学目的】使学生理解导数的定义，掌握导数的几何意义，会求曲线的切线方程与法线方程，了解函数可导与连续的关系。【教学重点】1．导数的定义；2．用导数的定义求函数在某点的导数；3．导数的几何意义。【教学难点】1．导数的定义；2．函数可导与连续的关系。【教学时数】2学时【教学进程】一、两个引例引例1自由落体运动的瞬时速度。提问：1．自由落体运动的位移公式；2．自由落体运动的瞬时速度公式；3．自由落体运动的瞬时速度公式的推导过程（适当讨论）。由学生回答可知自由落体运动的位移公式为2gt21)t(ss，由于物体的位移s是随时间t连续变化的，因此在很短的时间间隔t内（从0t到tt0）内，速度变化不大，可以用平均速度t)t(s)tt(stsv00作为0t时的瞬时速度)t(v0的近似值，即)t(v0t)t(s)tt(stsv00=tgt21)tt(g212020=20tg21gt显然，t越小，v与)(0tv越接近，当t无限变小时，平均速度就无限接近0t时的瞬时速度．由此，令0t，如果平均速度ts的极限存在，就把它定义为物体在时刻0t的瞬时速度)(0tv，即)t(v0=)tg21gt(lim200t=0gt总结规律：对于一般的变速直线运动的瞬时速度可由以下式子求得：ttsttststvtt)()(limlim)(00000引例2平面曲线的切线斜率提问：1．什么叫做圆的切线？2．一般的平面曲线的切线怎么定义？（适当讨论）定义设点P是曲线C上的一个定点，在曲线C上另取一点Q，作割线PQ，当动点Q沿曲线C向点P移动时，割线PQ绕点P旋转，设其极限位置为PT，则直线PT称为曲线C在点P的切线．如右图所示．设曲线C的方程是)x(fy，记点P的横坐标为0x，点Q的横坐标为xx0（x可正可负），PR平行x轴，设PQ的倾角为，则PQ的斜率为PRRQtan显然x)x(f)xx(fPRRQtan00当点Q沿曲线C无限趋近于点P时（这时)0x，也趋近于PT的倾角，这时切线PT的斜率x)x(f)xx(flimxylimtan000x0x综上两个引例的结论可知，虽然这两个问题所涉及到的背景知识不同，但是它们可以用相同的方法求得所需结果，由此引出导数的定义。二、导数的定义1．导数的定义。定义设函数)x(fy在点0x的某邻域内有定义，当自变量x在点0x处有增量x（点xx0仍在该邻域内）时，相应地函数有增量)x(f)xx(fy00如果极限xylim0x存在，则称函数)x(fy在点0x处可导，并称此极限值为函数)x(fy在点0x处的导数．记作)x(f0，也可记作0xxy，0xxdxdy或0xxdx)x(df．即)x(f0=xylim0x=x)x(f)xx(flim000x这时就称函数)x(fy在点0x的导数存在，或称函数)x(fy在点0x可导；如果极限不存在，则称函数)x(fy在点0x不可导。2．由导数的定义求函数的导数。设函数)x(fy，求该函数在0x处的导数的步骤：在0x处给定)0x(x求增量)x(f)xx(fy00算比值x)x(f)xx(fxy00取极限xylimy0xxx0例1已知函数2xy，求)1(f。解在1x0处给定)0x(x（1）求增量222)x(x21)x1()1(f)x1(fy（2）算比值x2x)x(x2xy2（3）取极限xylimy0x2)x2(lim0x因此，)1(f=23．几点说明。1）函数)x(fy在点0x处的导数也称为函数)x(fy在点0x处对自变量的变化率。2）当极限x)x(f)xx(flim000x与x)x(f)xx(flim000x存在时，分别称它们为0x的左导数与右导数，记为)x(f0与)x(f0。且)x(f0存在当且仅当)x(f0与)x(f0都存在且相等。（利用极限存在的充要条件理解）3）函数)x(fy在点0x处的导数)x(f0，就是导函数)x(f在点0xx处的函数值，即)x(f0=0xx)x(f。（通过例1中改变0x值的改变进行说明）4）如果函数)x(f在a(，)b内每一点x处可导，则称函数)x(f在区间a(，)b内可导．显然导数值)x(f也是x的函数，我们称它为函数)x(fy的导函数，今后在不会发生混淆的情况下，也简称导数．记作)x(f，y，dxdy或dx)x(df，即)x(f=x)x(f)xx(flim0x讨论：函数2xy的导数是什么？（结论：x2)x(2）思考：函数)Nn(xyn的导数是什么？（结论：1nnnx)x(）拓展：函数)R(xy的导数是什么？（结论：1x)x(）如x21x21)x()x(12121，221x1x1)x(x1等。5）如果函数)x(f在a(，)b内可导，且在a点右导数存在，在b点右导数存在，则称函数)x(f在闭区间a[，]b上可导。三、导数的几何意义由引例2的分析可知导数的几何意义为：函数)x(fy在点0xx的导数)x(f0表示曲线)x(fy在点0x(，))x(f0的切线的斜率。因此有当函数)x(fy在点0xx处可导时，曲线)x(fy在点0x(，))x(f0的切线方程为)xx)(x(fyy000曲线)x(fy在点0x(，))x(f0的法线方程为时当，时当，0)x(fxx0)x(f)xx()x(f1yy000000如果)x(fy在点0x连续且导数为无穷大，则曲线在点0x(，))x(f0的切线方程为0xx；法线方程为0yy例2求曲线xy在点(1，1)处的切线和法线方程。解因为x21)x(y，所以21y1x．于是曲线xy在点(1，1)处的切线方程为)1x(211y即01y2x曲线xy在点(1，1)处的法线方程为)1x(21y即03yx2四、可导与连续的关系定理如果函数)x(fy在点0x处可导，则)x(f在点0x处必连续．注：如果函数)x(fy在点0x处连续，)x(f在点0x处未必可导。*例3证明函数y|x|在0x点连续，但不可导。证明在0x处，y|x0|-|0||x|，因此0x0xlimylim|x|=0所以函数y|x|在0x点连续。又xxlimxylim0x0x而1xxlimxxlimxylim00x00x00x1xxlimxxlimxylim00x00x00x因此xylim0x不存在，所以函数y|x|在0x点不可导。注：出现尖点不可导。本堂课小结：主要内容：两个引例；导数的定义；导数的几何意义；函数可导与连续的关系。重点：1．导数的定义；2．用导数的定义求函数在某点的导数；3．导数的几何意义。难点：1．导数的定义；2．函数可导与连续的关系。xyoxy第二节导数的基本公式与运算法则【教学内容】导数的基本公式；四则运算求导法则；求导法则应用举例。【教学目的】使学生熟记与理解导数的基本公式与四则运算求导法则并能熟练应用。【教学重点】1．导数的基本公式；2．四则运算求导法则。【教学难点】公式的应用。【教学时数】2学时【教学进程】一、导数的基本公式提问：1．导数可以由哪一个极限式子表示？2．根据导数的定义求函数的导数有哪几步？3．导函数与函数在某点导数之间有什么关系？例1求函数0(logaxya且)1a的导数。解xxxxxxxxxyyaxaaxxloglimlog)(loglimlim000xaxaxxxxxxx100)1(loglimlog1limxxxxaxx10)1(limlogaxexaln1log1由此得到axxaln1)(log特别xx1)(ln1．罗列导数基本公式。0C（C为任意常数）；1)(xx（为实数）；)1,0(ln)(aaaaaxx，特别：xxee)(；)1,0(ln1)(logaaaxxa，特别：xx1)(ln；xxcos)(sin；xxsin)(cos；xxx22seccos1)(tanxxx22cscsin1)(cot＊xxxtansec)(sec＊xxxcotcsc)(csc211)(arcsinxx；211)(arccosxx；211)(arctanxx；211)cot(xxarc。注：要求学生默记约5分钟。2．分析部分基本公式特征。课堂练习：在下列空格处填上适当的函数使等式成立：1）=；（答案：0）2）)(x=；（答案：x21）3）)2(=；（答案：0）4）)(lnx=；（答案：x1）5）)2(ln=；（答案：0）6）)1(2x=；（答案：32x）7）))21((x=。（答案：2ln)21(x）二、导数的四则运算法则定理设函数)(xuu与)(xvv在点x处可导，则它们的和（差）函数)()(xvxu在x处也可导，且])()([xvxu)()(xvxu．也就是说：两个可导函数代数和的导数等于各个函数导数的代数和。推广有限个可导函数代数和的导数等于和个函数导数的代数和，即])()()([21xuxuxun)()()(21xuxuxun例2已知xxxfsin)(2，求)(xf。解)(xf)sin(2xx)(sin)(2xxxxcos2例3已知xexfxarctan)(，求)(xf及)0(f。解)(xf)arctan(xex)(arctan)(xex211xex)0(f01101120e定理设函数)(xuu与)(xvv在点x处可导，则它们的积函数)()(xvxu在x处也可导，且)()()()(])()([xvxuxvxuxvxu。此结论也可以推广到有限个函数的积的情形．如推广到三个函数乘积的情况为)()()()()()()()()(])()()([xwxvxuxwxvxuxwxvxuxwxvxu推论)())((xuCxCu（C为常数）．例4已知xxyln2，