高数下总结

序言：除了级数与三重积分高数下的知识基本都在这里了，而且都是考试必备知识，所以哪个知识点没弄懂一定要针对性地找点题目弄懂！第八章向量代数与空间解析几何1.平面的点法式方程：设平面过P（x0,yo,z0）,法向量,,nABC，则平面方程为：0000AxxByyCzz2.平面法向量一般求法：一般法向量n与俩向量1111,,nxyz，2222,,nxyz，则12111222ijknnnxyzxyz，如果不会用行列式就用高中方法求法向量即由1200nnnn求第九章多元函数微分学1.二元函数：(,)0fxy2.二元函数的极限：00,lim(,)xxyyfxy求法与一元基本一致，下判断其存在性：一般找俩条特殊路线，若二者极限不相等则二重极限不存在，即常取ykx，2ykx等简单路线，若结果与K有关则极限不存在（注意一定要将x给消掉）例.判断下列二重极限是否存在，存在并求其值（1）22200limxyxyxy（2）24200limxyxyxy（3）201lim(1)xxyxyx解：（1）取ykx，则原式=2220lim(1)xkxkx=21kk，与K有关，故极限不存在（2）取2ykx。则原式=4240lim(1)xkxkx=21kk，与K有关，故极限不存在（3）此题无法利用上述方法判断其是否存在，故直接求原式=01lim(1)xxxyxyx=(1)01lim(1)xxyx=1e（用了第二个重要极限）3.二元函数连续性：(,)fxy在000(,)pxy连续等价于0000lim(,)(,)xxyyfxyfxy4.偏导数求法：对x求则把y看成常数，反之亦然例.求2,,zzzxyxy（2zxy为二阶偏导）解.22cosxzeyx2sinxzeyy222()(2cos)2sinxxzzeyxeyxyyy5.全微分几个概念间关系①可微函数一定连续（不连续一定不可微）②可微则偏导一定存在（逆命题不成立）且zzdzdxdyxy(全微分公式)③函数有一阶连续偏导则函数一定可微④偏导不存在一定不可微例.讨论函数22226322,0(,)0,0xyxyfxyxyxy在(0,0)是否可微解.思路：求其在(0,0)点极限是否存在，判断其连续性从而判断其是否可微取2ykx，则226300limxyxyxy=66360limxkxxkx=311k取决于k，故(,)fxy在(0,0)点极限不存在（即使存在若不等于0，该函数在(0,0)点不连续，亦不可微），故(,)fxy在(0,0)点不连续，故函数在(0,0)不可微6.复合函数求导法则：分道相加，连线相乘①中间函数为一元：(),(),(),()uuxvvxzfuxvxuzxv则dzfdufdvdxudxvdx其中fu可用'1f表示（f对一个变量的偏导）同理fv可用'2f表示，这样就避免了u、v在最后结果中出现了2cosxzey例.tanxzx，求dzdx解.(,)vzfuvu，ux，tanvx则2''sec12dzfdufdvffxdxudxvdx②中间函数为二元：(),(,),(,),(,)uuxyvvxyzfuxyvxy，uzvxy则zfufvxuxvxzfufvyuyvy下面举一个特别重要的例子例.f具有二阶连续偏导，22(,)zfxyxy，求2zxy解.(,)zfuv，22uxy，vxy则zfufvxuxvx'2'12fxfy112222()''''2'zzfufvfufvxxfyxyyuyvyuyvy1112221222''2'''''2''xfyfxfyfyfx由于f具有二阶连续偏导，故1221''''ff（12''f表示1'f对第2个变量v的偏导，其他同理）故原式1112222224''2'''''xyfxyffxyf这种题一定要弄懂！！！7.隐函数微分法①一个方程情形：(,)0fxy则''xydyfdxf，(,,)0fxyz则'',''xyzzzfzfxfyf例.20xyzeze求全微分dz解.令2xyzfxeze则''2xzxyzzfyexfe，''2yzxyzzfxeyfe故22xyxyzzzzyexedzdxdydxdyxyee②方程组情形（有3个未知量时求的是导数，有4个未知量时求的是偏导）方法：对方程两边同时对x或y或其他变量求（偏）导即可例（1）22201xyzxyz求dxdz，dydz（2）220uv222200xyuvxyuv求ux，vx解.（1）方程组两边同时对z求导得：102220dxdydzdzdxdyxyzdzdz解得dxzydzyxdyzxdzxy（2）方程两边同时对x求偏导得：22020uvyuvxxuvxvuxx解得22224242uxvyuxuvvxuyvxuv8.方向导数与梯度①方向导数：设二元函数(,)fxy在点000(,)pxy处可微，则(,)fxy在点000(,)pxy处沿任意方向0l的方向导数都存在，且其值：000000'(,)cos'(,)sin,xyffxyfxyxyl其中为l对x轴正向的转角例.求2,cos()yfxyxexy在点（1,0）处沿从点P(2,1)到点Q（3,0）方向l的方向导数解.方向l即为向量1,1PQ所指方向，=74，故22cos,sin22，又2'(,)sin()xyfxyeyxy，2'(,)2sin()yyfxyxexxy所以，'(1,0)1xf，'(1,0)2yf代入公式即得21,02fl②梯度：(,,)ufxyz在000(,,)Pxyz梯度为000grad(),,uuuupxyzxyz，它是一个向量。9.多元函数求极值方法：先求其一阶偏导为0的点（即驻点），再求其二阶偏导'','',''xxxyyyfff将所得驻点代入2''''''xxyyxyfff，若其值大于0则此驻点是极值点，且当''xxf小于0时为极大值，大于0时为极小值例.22(,)44fxyxyxy求其极值解.'4,'42xyfxfy令二者等于0可得驻点为（2，-2）二阶偏导：''2xxf，''0xyf，''2yyf故2''''''xxyyxyfff=40且''xxf=-2小于0所以（2，-2）为其极大值点，代入的得极大值为810.多元函数微分学几何应用曲面在某点切平面求法，举例说明（填空题极易考到）例.曲面23zzexy在点（1,2,0）处的切平面方程是？解.先令(,,)23zfxyzzexy对其分别求x,y,z偏导得'2'2'1xyzzfyfxfe代入（1,2,0）'4'2'0xyzfff故其在（1,2,0）切平面方程为'1'(2)'(0)0xyzfxfyfz（）代入数据即得方程为2x+y-4=0曲面在某一点的法线为：000000000000',,',,',,xyzxxyyzzfxyzfxyzfxyz第九章重积分二重积分求法汇总：直角坐标法X-型区域()()()axbgxyhx：()()(,)(,)bhxagxDfxyddxfxydyY-型区域()()()aybgxxhx：()()(,)(,)bhyagyDfxyddyfxydx例.计算二重积分：（1）yxyDxydde，其中D为1,2,2,1xyyxx所围成的平面区域。（2）yxxyDdd,其中D为抛物线xy2和直线2xy所围成的平面区域。解（1）区域D如右图所示。由区域的形状，选择先积y后积x。即使用X-型区域联立方程22,12,21,11xyxyxxyxxy，解得交点为：)2,2(),2,1(),2,21(),1,1(区域}21,21),{(yxxyxD于是)d(eddeddde212122121xyxyxxyyxyxyxxyxxyDxy(先求后面积分，由于对y积=xxxxyxxxxxyde)12(de)1[(1212221212分故可先把x看做常数，求=24212e2eexx得的结果直接当做前面的被积函数。另外后面积分中的常数可直接拿到前面积分中去）（2）化为先对x后对y的累次积分，即Y型区域。这时D为}21,2),{(2yyxyyxD因此845]d-2)[(21dddd21-42221-2yyyyxxyyyxxyyyDy2=xoyxy=x-2xyo（先求后面的积分，由于求的是x积分，故先把y当做常数求，求得的结果直接当做前面积分的被积函数，再继续求即可得结果）极坐标法在极坐标中区域D可表示为1212()()rrr（为区域上点和原点连线与X轴正向夹角，r为区域上点与原点的距离)则2211()()(,)(cos,sin)rrDfxyddfrrrdr例.(1)yxxyDddarctan，其中D为圆周422yx和122yx及直线xyy,0所围成的在第一象限的区域。解.采用极坐标系：积分区域D如右图所示。D={(}40,21),rr于是rrrrdyxxyDdcossinarctanddarctan2140=rrdd2140=4021221dr=40)14(21d=643164322(2)yxyxDdd22，其中D为圆周xyx222所围成的在区域。解.采用极坐标系：积分区域D如右图所示，圆周xyx222的极坐标方程为cos2r，则积分区域为D={(}22,cos20),rr于是2cos02222ddddrrryxyxDxo=222cos03)d31(r=223dcos831=203dcos316)(sin)sin1(316202d=932第十一章曲线积分1.第一类曲线积分计算公式：若曲线L方程为(),()(),xttyt则22(,)((),())'()'()Lfxydsfttttdt若给的曲线L方程为ygx，则可看做,()(),xxaxbygx代入上述公式可得2(,)(,())1'()bLafxydsfxgxgxdx例.（1）计算积分22Lxyds，L为圆周：22xyax（0a）解.圆的参数方程为L：222cossinaaaxtyt，02t；22()()dsxydt2adt22222244(1cos)sin|cos|2aatxytta22Lxyds20|cos|22taadt20|cos|audu2202cosaudu22a此题直接用直角坐标计算的比较麻烦。（2）计算积分Lyds