求矩阵的特征值与特征向量

第5章求矩阵的特征值与特征向量5.1幂法5.2逆幂法5.3求实对称阵特征值的对分法概述矩阵的特征值与特征向量特征值：特征向量特征多项式：0)det()(AIPAAxxi)det()(AIPA5.1幂法5.1.1幂法的基本思想1.根据（特征值r、特征向量x、方阵A）满足关系式：Ax=rx，故任取非零初始向量x(0)，作迭代序列：2.再根据k增大时x(k)各分量的变化规律，求出矩阵A的按模最大特征值与特征向量。,1,0)()1(kAxxkk5.1幂法[例1]对A作迭代计算(P80页)1221A考察迭代序列x(k)的相邻向量的相应分量比值，可见：随k的增大而趋向于一个固定值。(该值)==(矩阵A的按模最大特征值)5.1.2幂法的计算公式幂法的要求：矩阵A有完备的特征向量系，即A有n个线性无关的特征向量。幂法的功能：计算按模最大特征值和特征向量n21特征值：特征向量：nuuu215.1.2幂法的计算公式幂法计算公式的推导：取初始非零向量x(0)，且：nnuuux2211)0(,1,0)()1(kAxxkk迭代公式：)222111)0()1(nnnuuuAxx则有：)222111)1()(nknnkkkkuuuAxxnknnkkkuuux12122111)(5.1.2幂法的计算公式分三种情况讨论：(1)为实根，且211)(1)()1(1,kkikixuxx(2)为实根，且及32211)(1)1(121)()2(1kkkikixxuxx5.1.2幂法的计算公式(3)复根3221,,ivuivu①用最小二乘法求解方程组：0)()1()2(kkkqxpxx②再解一元二次方程：02qpxx5.1.2小结幂法的一般计算步骤：给出初值x(0)，按迭代公式计算：x(k+1)=Ax(k)根据迭代序列各分量的变化情况求根：若各分量单调变化（相邻两个向量的各分量之比趋向于常数c），则按情况一处理。若奇序列、偶序列的各个分量比趋于常数，则按情况二处理。若序列的各分量表现为其它情况，则结束。5.1.3幂法的实际计算公式)()1()()()()0(max)1,,1,1(kkkkkkiikTAyxxxmxyxxmx迭代条件：1)1()(kkyy计算结果：km1)(1kyu5.1.4幂法的计算步骤、实例幂法的收敛速度取决于比值:称其为收敛因子，比值越小，收敛越快。计算实例：P85页例2125.2逆幂法作用：求矩阵A(A-1)的按模最小(大)特征值和特征向量基本思想：1.设A为非奇异方阵，特征值和特征向量为：2.则A-1的特征值和特征向量为：3.可见，A-1的按模最大特征值的倒数即为矩阵A的按模最小特征值。n21nuuu,,,21n11121nuuu,,,215.2.1逆幂法的计算公式方法：作迭代或反迭代实际计算公式：(1)先对A作LU分解；（LU分解的要点:??）(2)再解方程组：,1,0,)(1)1(kxAxkk,1,0,)()1(kxAxkk)()1(kkyLUx5.2.1逆幂法的计算公式)()1()()()()()()()()()0()0(max)0,,0,1()1,,1,1(kkkkkkkkkkkiikTTzUxyLzxxmxyxxmxx或5.2.1逆幂法的计算公式计算结果：km1min迭代条件:1)1()(kkxx)(minkxu5.2.2-3逆幂法的计算步骤/实例P87页例1求：在值附近的A的特征值和特征向量？5.2.4用逆幂法求附近的特征值~问题：已知方阵A、给定值~~分析：不妨设附近的特征值为，则必有~i);,,2,1(~~ijnjji从而，原问题变成求“按模最小特征值”。解法：(1)构造矩阵IAB~(2)用逆幂法求B的按模最小特征值5.2.5用逆幂法求附近的特征值的计算实例~P88页例2本例的启示：本例所用的思想可以称为“原点平移法”。矩阵A与矩阵(A-r0I)的特征值有以下关系：若ri是矩阵A的特征值，则(ri-r0)就是(A-r0I)的特征值，而且相应的特征向量不变。适当选取r0，使|r1-r0||ri-r0|，这样用幂法计算矩阵(A-r0I)的特征值收敛速度更快。5.3求实对称阵特征值的对分法5.3.1求实对称三对角阵特征值的对分法1.实对称三对角阵的Sturm序列设实对称三对角阵C，Sturm序列就是的i阶主子式序列，即C的特征多项式序列。IC)()()()()()()()()(1)(2211021122110iiiiipbpcppbpcpcpp5.3求实对称阵特征值的对分法Sturm序列的一些性质：(1)仅有实根(2)相邻项无公共零点(3)pi(x)=0，则pi-1(x)pi+1(x)0(4)pi(x)全是单根，且具有隔离作用(5)pi-1,pi左邻域同号，pi,pi+1右邻域同号5.3求实对称阵特征值的对分法2.Sturm序列在某点的连号数(1)计算在点处Sturm序列的全部值；~(2)相邻两项若同号，则有1个连号数；否则，无连号数。注：pi(x)=0=+0（即0的符号为正）(3)按顺序数完连号数，则得到Sturm序列的总连号数，记为:)~(5.3求实对称阵特征值的对分法3.Gerschgorin定理(圆盘定理)(1)Gerschgorin盘(圆盘)对n阶方阵A，称Di为方阵A的第i个圆盘，其中:njijiiiiiijarrazzD1,,(2)Gerschgorin定理(圆盘定理)对n阶方阵A，A的全部特征值均在区域D内,其中:nDDDD215.3求实对称阵特征值的对分法(3)推论1：方阵A的最小和最大特征值满足iiiiiiiiiiiiraramaxmaxminmin(4)推论2：对实对称三对角阵C，其特征值必属于区间[m,M]，其中：1111maxminjjjnjjjjnjbbcMbbcm5.3求实对称阵特征值的对分法4.求实对称三对角阵C特征值的对分法(1)求三对角阵C在区间[a,b]上特征值的个数[定理2]方阵C在区间[a,+∞]内特征值的个数等于其Sturm序列在点a处的总连号数。*方阵C在区间[a,b]内特征值的个数=(点a处的总连号数)–(点b处的总连号数)P91页例15.3求实对称阵特征值的对分法(2)求三对角阵C的全部特征值（对分法）①求三对角阵C的Sturm序列;②根据Gerschgorin定理确定矩阵C全部特征值的上界M和下界m;③对区间[m,M]对分，取中点a=(m+M)/2，计算点a处的连号数，同时区间被对分;④对所得的各子区间继续对分和计算中点处的连号数，直到每个小区间至多有一个特征值;⑤继续对有根区间对分，可求出满足精度的特征值。P92页例25.3.2实对称阵的三对角化1.Householder阵的定义}0{\,2*nTTRvvvvvIH其中2.H阵的几何意义Hx是x关于超平面H的像(H反射/镜面反射)xvxvxvxvvvvvxvHxvRxTTTTTTTTn22,5.3.2实对称阵的三对角化3.实对称阵A的三对角化(作递推计算)(1)令A1=A，取向量b1=(A1的第1列)(2)构造向量u1，使nriribbbribunrrii,,201)sgn(,,2,12211注：sgn(br+1)={1,-1}，且与br+1反号r=1:作第1次递推计算5.3.2实对称阵的三对角化(5)求得A2=H1A1H1(3)计算v1:111ubv221v(4)计算H1:2211112vvvIHT令r=2，继续作递推计算，直到r=n-2所得Ar+1即为所求的三对角化方阵。例96页例3作业：P97页2，3，4题