复变函数 洛朗展式

哈尔滨工程大学复变函数第四章级数§4.3洛朗级数学习要点熟练掌握函数的Laurent级数展开式掌握Laurent级数展开定理哈尔滨工程大学复变函数本节将讨论在以z0为中心的圆环域内解析的函数的级数表示法。它是后面将要研究的解析函数在孤立奇点邻域内的性质以及定义留数数和计算留数的基础。哈尔滨工程大学复变函数一、引入回顾：0000()()||fzzfzzzzRzz在解析在的某一个圆域内展开成的幂级数。思考：0102()||()fzzRzzRfz若在点不解析，但在内解析，那么，能否用级数表示呢？哈尔滨工程大学复变函数21()0,1(1):01fzzzzzz在都不解析，但在圆环域内处处解析。201nnzz221,0,111()()(1)1zzfzzzzz当时例：22111,nzzzzz||1z哈尔滨工程大学复变函数100100100()()()()()nnnnnnnczzczzczzcczzczz形如　　　　　　的级数称为洛朗级数0(0,1,2,)nzcn其中及都是复常数负幂项部分正幂项(包括常数项)部分二、洛朗(Laurent)级数（含有负幂项的级数）定义哈尔滨工程大学复变函数收敛域：01Laurent()nnnczz对于级数的负幂项部分01zz令011()nnnnnnczzc1nnncRR设收敛半径为，收敛域：0101()nnnczzRzz收敛域为；01011RzzRzzR哈尔滨工程大学复变函数00022()Lure|a|ntnnnczzzzRR正幂项收对于级数的，设其收敛半为敛域径，；121020()nnnRRRzzRczz当且仅当时，两个级数有公共收敛区域，称收敛。z0R1R2z0R2R112RR无公共收敛域12RR有公共收敛域哈尔滨工程大学复变函数注：120(1)()nnnRRczz当时，称处处发散。(2)在圆环域的边界zz0=R1,zz0=R2上,0()nnnczz可能有些点收敛，有些点发散.，0102(3)().nnnczzRzzR级数在内的和函数是解析的，而且可以逐项求积和逐项求导哈尔滨工程大学复变函数1020():,()()(*)nnnfzDRzzRfzczz设在内解析则1001():(0,1,2,)2().nncfzcdznizzcDz其中是内绕的任何一条简单闭曲线102102(*)():():fzDRzzRLaurentfzDRzzRLaurent称为在内的展开式,展式右边的幂级数称为在内的级数。三、洛朗级数展开定理定理证明哈尔滨工程大学复变函数一个在某一圆环域内解析的函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的，这个级数就是f(z)的洛朗级数。1020():()()(6)nnnfzDRzzRfzazz可表示为设在内解析，Dz0R1R2c0cDzc设为内任何一条绕的简单闭曲线，展开式的唯一性分析：哈尔滨工程大学复变函数c沿的正向取积分：Dz0R1R2c1100()1()()2nppnccnpfdadzzia,.Laurent由此可知在圆环域内解析的函数展开成级数就是级数0()()nnnfaz101()2()ppcfadiz解得：哈尔滨工程大学复变函数()0(1)0,(),()!nnnncfzcfzcn当时系数形式上与高阶导数公式相同但因为在内不是处处解析的.注：(2)遇到f(z)在奇点z0的邻域内解析，需要把f(z)展成级数，那么就展开成Laurent级数。哈尔滨工程大学复变函数0z将下列函数在＋展开成洛朗级数。四、函数的Laurent级数展开式由唯一性，将函数展开成Laurent级数，主要用间接法。例113sin1);2);3)zzzeezz解答哈尔滨工程大学复变函数xyo1221)(ziixyo12ziii2)(xyo1210)zi（01()(1)(2)()01;()12;()20fzzziziiziiizzLaurent将在以下圆环域内展开成点的级数。例2解答哈尔滨工程大学复变函数1()1,2(1)(2)fzzzzzLaurent将在以点的去心邻域内展开成级数。211(1)(1)1zzz1)10|1|1zz在的(最大)去心邻域例3解01()(1)1nnfzzzxo12哈尔滨工程大学复变函数1111()1221(2)fzzzzz021(1)(2)211(2)(2)2nnnzzzzz2)20|2|1zz在的（最大）去心邻域哈尔滨工程大学复变函数•Laurent级数先求f(z)的奇点，然后以z0为中心奇点为分隔点，找出z0到无穷远点的所有使f(z)解析的环域，在环域上展成级数。小结1.Laurent级数与Taylor级数的不同点：•Taylor级数先展开求收敛半径R,找出唯一的收敛圆域，展开成级数。2.同一个函数有不同的洛朗展式，这是因为在不同的区域上的展式，这与唯一性并不矛盾。哈尔滨工程大学复变函数10200401.():(),1()d()2()nnnCfzHRzzRczzCHzfzzizz设在圆环域内的洛朗展开式为为内绕的任一条正向简单闭曲线，那么(3)4031))()3!))0AcCfzBcD练习：B哈尔滨工程大学复变函数练习：12.()1().fzzizzi将函数在区域内展开为洛朗级数233.()32().zfzzz求函数在下列要求下的级数泰勒或者洛朗级数展开112)12,3)11zzz)，解答20()nnnizi哈尔滨工程大学复变函数1()zfze1()1sinfzz----z=0及z=1/n(n=1,2,…)都是它的奇点1()1fzz0000(),0,().fzzzzzzfz若在处不解析但在的某个去心邻域内解析则称为的孤立奇点五、孤立奇点例如----z=0为孤立奇点----z=1为孤立奇点哈尔滨工程大学复变函数xyo1lim0,0,()nznfz但因为所以在不论多么小的去心邻域内总有的奇点存在，101sinzz故不是的孤立奇点。这说明奇点未必是孤立的。哈尔滨工程大学复变函数以下将f(z)在孤立奇点的邻域内展成洛朗级数，根据展开式的不同情况，将孤立点进行分类。1、孤立奇点的分类与性质z0是f(z)的一个孤立奇点，在z0的去心邻域内，若f(z)的洛朗级数000(1)()();nnnfzczzzz没有负可幂次项，称去奇点为哈尔滨工程大学复变函数000()lim()1zzzfzfzc为的可去奇点定理：0sinlim1zzz，242sin1(1)3!5!(21)!nnzzzzzn例0z是函数的可去奇点，0()0|-|fzzzR在内解析0000(),()0||zfzRfzzz为的可去奇点存在某一正数使得推在论：内有界哈尔滨工程大学复变函数00(2)()()(0,1);nnmnmfzczzcmzzm只有有限多幂次项，称为个负阶极点10111!2!!znnnezzzzznzn0z是函数的一阶极点例333201111(1)nnnzzzzzzz0z是函数的三阶极点哈尔滨工程大学复变函数0()(1)zfzmm若为的性质：阶极点0lim()zzfz0001()()()()()0.mfzgzgzzzzzgz这里在内是解析函数且00lim((),mmmzzzzfzcc)是不为零的复数3111(),()1zzefzefzzzzz如哈尔滨工程大学复变函数0()(1)zfzmm若为的推论：阶极点01.()zmfz是的阶零点00()()()(),()PzzfzQzzPzQzmn设为函数的孤立奇点，且点分别是的和阶零定理：点，则，0,()nmzfznm当时点为函数的阶极点;0,()nmzfzmn当时点为函数的阶零点;0,()nmzfz当时点为函数的可去奇点.哈尔滨工程大学复变函数03:()zfz定理若为的本性奇点lim()nfz不存在，也不为10lim0zzez如上例：不存在，是函数的本性奇点.1121112!!znezzzn例如0z是函数的本性奇点00(3)()()nnnfzczzzz无穷多个负有幂次项，称为本性奇点。哈尔滨工程大学复变函数2()(1)(1)zzfzze求的奇点，如果是极点指出它的阶。1()0zmemZfzzz对讨论函数在处的性质.()(0)1nzzfzne求的极点。例11?,sin.z函数有哪些奇点如果是极点指出它的阶数例2例3例4解答哈尔滨工程大学复变函数练习：考察下列函数的孤立奇点，奇点类型，如果是极点，指出它的阶数。)1(1)()1(2zezzfzzzf)1ln()()2(11)()5(23zzzzfzzzfsin1)()6(2211)()3(zzzf3sin)()4(zzzf22432(7)()(1)(1)zzfzzz哈尔滨工程大学复变函数()||()fzRzfz设函数在区域内解析，那么无穷远点称为的孤立奇点.在这个区域内，f(z)有洛朗级数展式：(),nnnfzz令，按照R0或R=0，我们得到在1zw10||0||wwR或内解析的函数2.解析函数在无穷远点的性质1()()wfw哈尔滨工程大学复变函数0()() ()()zfmwzmw如果是的可去奇点、阶极点或本性奇点，那么分别说是的可去奇点、阶极点或本性奇点1)1,2,3,0,();nnzfz如果当时那么是的可去奇点2)()0,();nnzfz如果只有有限个至少一个整数，使得那么是的极点3)00,();nnzfz如果有无穷多个整数，使得那么是的本性奇点哈尔滨工程大学复变函数定理9.1设函数f(z)在区域内解析，那么是f(z)的可去奇点、极点或本性奇点的必要与充分条件是：||Rzz存在着极限、无穷极限或不存在有限或无穷的极限。lim()zfzlim()zfz系9.1设函数f(z)在区域内解析，那么是f(z)的可去奇点的必要与充分条件是存在着某一个正数，使得f(z)在内有界。||Rzz0()R00||zz哈尔滨工程大学复变函数整函数：如果f(z)在有限复平面C上解析，那么它就称为一个整函数。2)当f(z)是n(0)次多项式时，无穷远点是它的n阶极点；六、整函数与亚纯函数的概念显然无穷远点是整函数的孤立奇点。1)当f(z)恒等于一个常数时，无穷远点是它的可去奇点；3)在其它情况下，无穷远点是f(z)的本性奇点，这时称f(z)为一个超越整函数。哈尔滨工程大学复变函数代数基本定理：,sin,coszezz例如都是超越整函数，无穷远点是它们的本性奇点(1)n任何次代数方程至少有一个根哈尔滨工程大学复变函数证明：设110()...(0)nnnnnPzzz我们要证明整函数P(z)至少有一个零点。反证之，假定P(z)没有零点，那么也是一个整函数，1()Pz10|()||(...)|nnnnPzzzz10||||||(||...)|(0)||||nnnnzzzz又因为哈尔滨工