复变函数4 - 1 复数项级数和序列以及泰勒级数

复数项级数和序列复数序列复数列即有序的复数集{zn}={z1，z2，…，zn，…}称{zn}收敛于z0，若记作lim|znz0|0nlimznz0n复数列的极限归结为实数列的极限limznz0lim|znz0|0nnlim|xnx0|0lim|yny0|0limxnx0limyny0nnnn性质1线性性质，C，limznz0，limwnw0nnlimzn+wnz0+w0n性质2Cauchy收敛准则znz0任意0，存在N，使得当m，nN时，|zmzn|性质1线性性质，C，limznz0，limwnw0limzn+wnz0+w0nnn复数项级数对于复数列{z1，z2，…，zn，…}，称znz1z2znn1为复数项级数。部分和记为nSnzkz1z2znk1收敛性：若limSnS，则称级数zn收敛，记作S若{Sn}发散，则称级数zn发散。n1若|zn|收敛，称级数zn绝对收敛。n1n1nznn1n1对应的实数项级数部分和xnx1x2n1ynn1y1y2xnynnXnxkx1x2xnk1nYnykk1y1y2yn定理：复数项级数zn收敛于Sn1实数项级数xn，yn分别收敛于X和Y。n1n1此时，S=X+iY定理：复数项级数zn收敛于Sn1实数项级数xn，yn分别收敛于X和Y。n1n1此时，S=X+iY证明：由于Sn=Xn+iYn，可知SnSXnX，YnY。定理：复数项级数zn绝对收敛实数项级数xn，yn都绝对收敛。n1n1n1定理：复数项级数zn绝对收敛实数项级数xn，yn都绝对收敛。n1n1证明：“”假设|zn|收敛，由于n1|xn|≤|zn|，|yn|≤|zn|，可知|xn|，|yn|收敛。n1n1n1定理：复数项级数zn绝对收敛实数项级数xn，yn都绝对收敛。n1n1证明：“”假设|xn|，|yn|收敛，则(|xn||yn|)收敛，由于|zn|≤|xn|+|yn|，可知|zn|收敛。n1n1n1n1n1定理：复数项级数zn绝对收敛实数项级数xn，yn都绝对收敛。n1n1n1推论：复数项级数zn绝对收敛n1级数znn1收敛。性质：1、zn收敛zk0{zk}有界；2、zn收敛0，存在N，使n1得nN时，|zn1zn23、n1znp|n1n1n1(znwn)znwn例1：判断如下数列的收敛性，若收敛，求极限。（1）zn()，（2）zncosin。2ni分析与解：（1）由于|i/2|1，猜测{zn}的极限为0可知例1：判断如下数列的收敛性，若收敛，求极限。（1）zn()，（2）zncosin。2|z||(i)n|1022nnlimzn0nni例1：判断如下数列的收敛性，若收敛，求极限。（1）zn()，（2）zncosin。2ni分析与解：（2）由余弦函数的定义(n0)可知数列zncosin发散。zcosin1(enen)2n例2：讨论数列{zn}的收敛性，其中n，为复数。zn分析与解：类似于实数列情形，应该以1为临界点分为三种情况：（1）||1，（2）||=1，（3）||1例2：讨论数列{zn}的收敛性，其中n，为复数。zn（1）||1，此时可知例2：讨论数列{zn}的收敛性，其中n，为复数。zn|z|||n0nlimzn0n（2）||=1，|zn|||1，可知数列{zn}在单位圆上运动。例2：讨论数列{zn}的收敛性，其中n，为复数。znn（2）||=1，|zn|||1，可知数列{zn}在单位圆上运动。设=ei，则zn=ein。当=2k，即=1时，显然有limzn1。例2：讨论数列{zn}的收敛性，其中n，为复数。znnn（2）||=1，|zn|||1，可知数列{zn}在单位圆上运动。设=ei，则zn=ein。当=2k，即=1时，显然有limzn1。当≠2k，|由Cauchy收敛准则知极限不存在。例2：讨论数列{zn}的收敛性，其中n，为复数。znnnini(n1)||1znzn1||ee|（3）||1，此时有可知极限不存在。例2：讨论数列{zn}的收敛性，其中n，为复数。zn|z|||nn注：（3）用到了如下性质limznz0lim|zn||z0|nn这是因为0||zn||z0|||znz0|0例2：讨论数列{zn}的收敛性，其中n，为复数。zn例3：设||1，证明级数1++…+n+…收敛于11证明：先求部分和由例2，limSn，即例3：设||1，证明级数1++…+n+…1收敛于1n11Sn11n11nn01n1例3：设||1，证明级数1++…+n+…收敛于11类似地，可证明当||1时，级数发散。12nn0例4：判别如下级数的收敛性和绝对收敛性：2nn1cosin知级数发散。性：2nn1解：cosin11(enen)例4：判别如下级数的收敛性和绝对收敛cosin2n2n2111(e)n2(2e)n22(n)幂级数幂级数的形式n0作变量替换w=z-z0，只需讨论幂级数c(zz)ncc(zz)c(zz)2n001020czncczcz2n012n0Abel定理：若幂级数cnz在点z0≠0收敛，则它在区域D：{z||z||z0|}绝对收敛，即级数在区域D收敛；n0nn1cznnAbel定理：若幂级数cnz在点z0≠0收敛，则它在区域D：{z||z||z0|}绝对收敛，即级数在区域D收敛；若幂级数cnz在点z0≠0发散，则n0它在区域K：{z||z||z0|}发散。n0nnn1cznn0n0n0n0n0n0n0z0n0n0(向级数czn靠拢)1cznn(1，利用)1nczncznnzznzczn收敛，可知czn有界n0n0n0MnMn011由于级数0n0n0n0n0n0n0z0n0n0(向级数czn靠拢)1cznn(1，利用)1nczncznnzznz由Abel定理，只有三种情况☺幂级数czn在整个复平面收敛n0☺幂级数只在z=0处收敛☺在圆|z|=R外发散，在圆内收敛，在圆周上单独讨论。此时，称|z|=R为收敛圆。n则收敛半径为R=1/。定理（比值法）：若lim|cn1|0，nnc则收敛半径为R=1/。定理（根值法）：若limn|cn|0，n则收敛半径为R=1/。定理（比值法）：若lim|cn1|0，nnc则收敛半径为R=1/。定理（根值法）：若limn|cn|0，n则收敛半径为R=1/。☺=0，则R=；=，则R=0。定理（比值法）：若lim|cn1|0，nnc例5：求如下级数的收敛域(n!)22n1n1n(3)n(iz)nn11z(1)zn，(2)()n，2nn例5：求如下级数的收敛域(n!)2n1(1)znnn解：（1）用比值法[(n1)!]2n1n(n1)(n1)(n!)2limlimnlim(n1)n(n1)nnnnnncc例5：求如下级数的收敛域(n!)2n1(1)znnn解：由于可知因此，R=0，收敛域为{0}。n1n(n1)nelimnlimcn1nnc例5：求如下级数的收敛域解：（2）用比值法可知收敛半径R=2。2n1n1(z)n(2)22nn2n1n2n1(n1)221limlimnncc例5：求如下级数的收敛域解：当|z|=2时，收敛。因此收敛域为{z||z|2}。2n1n1(z)n(2)222n1n1n1(z)n1n2可知收敛半径R=1。例5：求如下级数的收敛域(3)n(iz)nn1解：（3）用比值法，limcn1limn11nnncn例5：求如下级数的收敛域(3)n(iz)nn1解：当|z|=1时，可知级数n(iz)n发散，因此收敛域为n1{z||z|1}。limn(iz)nlimnnn幂级数的线性运算（收敛半径取小的）n0n0n0(ab)znnnaznbznnn幂级数的线性运算（收敛半径取小的）n0n0n0(ab)znnnaznbznnn幂函数的求导与积分，设f(z)f在|z|R解析，f(k)(z)f在|z|R可积，n0aznn(azn)(k)n0nn0f(z)dzazndznCC习题：P87-88T2（1，2）T4（1，3）T7（1，3，6）Taylor级数对于实函数f，可以在区间（x0-，x0+）展成Taylor级数其中f(x)an(xx0)n0n(n)f(x0)n!na对于复变函数，也有类似的结果。定理（Taylor）：设函数f在区域K：|z-z0|R解析，则在K内可展成幂级数其中f(z)an(zz0)n0nf(n)(z)0n!2iC(z)n101f()nad证明思路：第一步：证明幂级数域K内收敛在区第二步：将f形式展开成幂级数n0第三步：证明展开式的唯一性an(zz0)n0nf(z)cn(zz0)n第一步：证明幂级数K内收敛a(zz)n在区域n0这等价于：对任意rR，该幂级数在C：|z-z0|=r内部收敛n0这等价于：对任意rR，该幂级数在C：|z-z0|=r内部收敛用根式判别法：其中，第一步：证明幂级数K内收敛a(zz)n在区域n0n0(n)f(z0)M(r)1rn!nnnanrM(r)maxf(z)zC02C(z)n102f(z0re)d202f(z0re)0M(r)maxf(z)1f()dzrei112M(r)1nzCnirneinirnnrnadr由以下事实可知：该级数的收敛半径r级数比较判别法，即大系数级数收敛小系数级数收敛(zz0)的收敛半径为rn0M(r)rnn第一步：证明幂级数K内收敛a(zz)n在区域n0这等价于：对任意rR，该幂级数在C：|z-z0|=r内部收敛n0这等价于：对任意rR，该幂级数在C：|z-z0|=r内部收敛☺令rR，即可知级数在区域K内收敛第一步：证明幂级数K内收敛a(zz)n在区域n0n0这等价于：对任意rR，该幂级数在C：|z-z0|=r内部收敛☺令rR，即可知级数在区域K内收敛☺这里用小圆逼近的原因是对于f在大圆周上的性质（是否有定义？解析？）并不清楚，只知道在大圆内解析。第一步：证明幂级数K内收敛a(zz)n在区域n0n0第二步：将f形式展开f(z)cn(zz0)n0☺为利用Cauchy积分公式(需要一个圆周)，同第一步，先取小圆C：|z-z0|=r，再令rR，逼近区域K的边界n第二步：将f形式展开f(z)cn(zz0)n0☺为利用Cauchy积分公式(需要一个圆周)，同第一步，先取小圆C：|z-z0|=r，再令rR