复变函数4.4解析函数零点的孤立性与唯一性定理

§4.4解析函数零点的孤立性与唯一性定理4.4.1级析函数零点的孤立性4.4.2唯一性定理4.4.3最大与最小模原理定义4.7设f(z)在解析区域D内一点a的值为零,即：f(a)=0，则称a为解析函数f(z)的一个零点.如果在|z-a|R内,解析函数f(z)不恒为零,我们将它在点a展成幂级数,此时,幂级数的系数不必全为零.故必有一正数m(m≥1),使得(1)()()'()()0,()0,mmfafafafa但合乎上述条件的m称为零点a的阶(级),a称为f(z)的m（级）零点.特别是当m=1时,a也称为f(z)的简单零点.4.4.1解析函数的零点及其孤立性定理4.17不恒为零的解析函数f(z)以a为m级零点的充要条件为:()()()mfzzaz()z其中.0)(a(4.14)在点a的邻域|z-a|R内解析,且证明：设f(z)以a为m级零点,则：0()()!nmnfafzzan(1)()()()()0,()0,mmfafafafa但()(),!nmnmfafzzan()()!nmnmfafzzan()()!nmnnmmfazazan()mzaz()()()!nnmnmfazzan0()()()()!nmnnfazzanm在a点解析，且0()()!mfaam设()()mfzzaa(z)在a点解析0()()()!nnnazzan:0()()()!()!nmnmnmnnnnnmaafzzazannm()()!nmnmfafzzan()0a(1)()()'()()0,()0mmfafafafa但例4.15：考察函数f(z)=z-sinz在原点z=o的性质例4.16：求函数sinz-1的全部零点，并指出它们的阶（级）定理4.18如在|z-a|R内解析的函数f(z)不恒为零,a为其零点,则必有a的一个邻域,使得f(z)在其中无无异于a的零点.(简单来说就是,不恒为零的解析函数的零点必是孤立的.)),()()(zazzfm其中在点a的邻域|z-a|R内解析,且,0)(a)(z(2)零点的孤立性证设a为f(z)的m级零点,于是,由定理(4.17)从而在点a连续.于是由例1.28知存在一邻域|z-a|r使得于其中恒不为零.故f(z)在其中无异于a的其它零点.)(z)(z(2)在K内有f(z)的一列零点{zn}(zn≠0)收敛于a,证因为f(z)在点a连续,且f(zn)=0,让n趋于无穷取极限,即得f(a)=0.故a是一个非孤立的零点.由定理4.18必f(z)在K内恒为零.推论4.19设(1)f(z)在邻域K:|z-a|R内解析;即存在{zn}K,(zn≠0)f(zn)=0,zn→a()0zfZK注：实可微函数的零点不一定是孤立的！例21sin0()00xxfxxx(1)函数f1(z),f2(z)在区域D内解析由假设知①f(z)∈A(D),②在D内有一系列零点{zn}(zn≠0)收敛于a∈D.①如果D本身就是以a为心的圆,或D就是整个z平面,则由推论4.19,即知.设:(2)D内有一个收敛于a∈D的点列{zn}(zn≠a),在其上f1(z)=f2(z),f1(z)f2(z)z∈D定理4.20证令f(z)=f1(z)-f2(z)只须证明f(z)在D内恒为零.12fzfz②一般情况下,可用下述所谓圆链法来证明.()0fzK1a0=a1K1Lan=D图4.2设b是D内任意固定的点(图4.2).a在D内可作一折线L连接a及b,以d表示L与边界间的最短距离(见第三章定理3.3注,d0).在L上依次取一串点a=a0,a1,…,an-1,an=b,at-1at使相邻两点间的距离小于定数R(0Rd).显然,由推论4.19,在圆K0:|z-a0|R内K0在圆K1:|z-a1|R,再用推论4.19,即知在K1内()0fz这样继续下去,直到最后一个含有点b为止,在该圆Kn-1内()0fz特别说来,f(b)=0.因为b是D内任意的点,故证明了D内()0fzan-1Kn-1ban-1a1a2推论4.21设在区域D内解析的函数f1(z)及f2(z)在D内的某一子区域(或一小段弧)相等,则它们在D内恒等.推论4.22一切在实轴上成立的恒等式,在z平面上也成立,只要这个恒等式的两边在z平面上都是解析的.22122sincos,sinsincos,zzzzz例4.18应用唯一性定理，在|z|1内展开Ln(1+z)的主值枝成z的幂级数4.4.3最大(小)模原理定理4.23(最大模原理)设f(z)在区域D内解析,则|f(z)|在D内任何点都不能达到最大值,除非在D内f(z)恒等于常数.证如果用M表|f(z)|在D内的最小上界,则必0M+∞.假定在D内有一点z0,函数f(z)的模在z0达到它的最大值,即|f(z0)|=M.(1)应用平均值定理(定理3.12)于以z0为中心,并且连同它的周界一起都全含于区域D内的一个圆|z-z0|R,就得到.)Re(21)(2000dzfzfi.|)Re(|21|)(|2000dzfzfi(4.15)由于,|)Re(|0Mzfi而,|)(|0Mzf(02),.|)Re(|0Mzfi以下用反证法说明这一点:如果对于某一个值=0有：Mzfi|)Re(|00那么根据|f(z)|的连续函数的保号性：Mzfi|)Re(|000..[0,2]st:0,z0Mzfi|)Re(|0,|)Re(|21|)(|2000MzfzfMi在这个区间之外,总是在这样的情况下,由(4.15)得因此,我们已经证明了:在以点z0为中心的每一个充分小的圆上|f(z)|=M.,自相矛盾z0z0z0z0z0|f(z)|=M.在z0点的足够小的邻域K内(K及其周界全含于D内)有让R连切趋近于零(2)由第二章习题(一)6(3),必f(z)在K内为常数.推论4.24设(1)f(z)在有界区域D内解析,在闭域上连续;DDD)(|)(|DzMzf(2)则除f(z)为常数的情景外,|f(z)|M,(z∈D).(3)由唯一性定理,必f(z)在D内为一常数.*例4.19①f(z)A(K),A={z||z|≤1}则f(z)在圆|z|1内，至少有一个零点②a0,s.t.当|z|=R时，|f(z)|a,但f(0)a有可能是考题！！！