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6.2分式线性函数及其映射性质这里是复常数，（3.1）如果则有反函数3.分式线性函数是单叶解析函数，把平面双射成平面。如果是函数（3.1）的奇点则Z平面w平面函数(3.1)是单叶解析函数，双射成Z平面w平面把约定时时扩充Z平面扩充w平面则（3.1）把扩充平面双射成扩充平面。当时当时可见，分式线性函数是由以下三种简单函数复合而得。例4.分式线性函数的映射性质约定：把复平面上的直线看作半径是无穷大的圆，或通过无穷远点的圆。定理4.1在扩充复平面上，分式线性函数把圆映射为圆。（保圆性）证设直线的方程为或对于或所以把直线映射成直线。所以把直线映射成直线。是w平面上的直线对于或或所以把直线映射成直线。设圆的方程为对于是w平面上的圆是w平面上的直线对于是w平面上的圆所以和把圆映射成圆。以下只须证明也把圆映射成圆。圆和直线的方程可以统一表示为：是实常数把代入，得圆的复数表示：其中是复常数。设，则代入上式，得是w平面上的圆或直线(d=0)。定理证完例在扩充复平面上把实轴映射成实轴。在有限复平面上除去原点的实轴。把除去原点的实轴映射成例设把不通过点的圆和直线映射为圆，把通过点的圆和直线映射为直线。设分式线性函数把扩充z平面上的圆C映射成扩充w平面上的圆ΓCΓ则或例问把圆的内部区域和外部分别映射成什么区域？切线实轴实轴，由知圆直线由保角性知道：圆直线圆内的点1映射成直线右边的点1，所以圆内的区域映射成直线右边的区域。定理4.2对于扩充z平面上任意三个不同的点以及扩充W平面上任意三个不同点存在唯一的分式线性函数,把分别映射成该分式线性函数可由以下比式解出：证利用（4.4）计算（4.4）左边，并消去可证。系4.1在分式线性函数所确定的映射下,交比不变.（4.4）的左边和右边分别称为以及的交比。例求分式线性函数，使代入公式得到：如果则可设，利用求出定理4.3扩充z平面上任何一个圆，可用一个分式线性函数映射成扩充w平面上任何一个圆。直线上的点可以有一个是如果称及是关于圆的对称点。圆C上的点和本身关于圆C对称。及圆心是关于圆C的对称点。定理4.4如果分式线性函数把扩充z平面上的圆C映射成扩充W平面上的圆Γ,则它把关于圆C的对称点及映射成关于圆Γ的对称点及.（保对称点性）Γ例设是w平面上的圆，则当时因为表示扩充z平面上的圆。因为0和是圆的对称点，且所以Z平面W平面，所以和是圆的对称点。当时是直线：5.两个典型的分式线性函数（1）上半平面保形映射成圆盘的分式线性函数。在上半平面任取一点使，可保证上半平面映射成圆内区域。该函数应该把实轴映射成圆该函数把实轴映射成圆取实数时因此，所求函数是一个具体的函数可取为则（保对称点性），可设（2）把圆盘保形映射成圆盘的分式线性函数。取时使因此，所求函数是总结分式线性函数的性质：保角性，保圆性，保对称点性，三个点（圆）分别映射成三个点（圆）的存在性。例如取则