复变函数与积分变换-李红-华中科技大学

第三章复变函数的积分（与实函数中二型线积分类比）§3.1复积分的概念线积分复积分,,,ccFxyMxyiNxyjdrdxidyjFdrMdxNdy,,,ccfzuxyivxyzxiydzdxidyfzdzuivdxidyccudxvdyivdxudy,Fxtytrtdt,fxtytztdtxxttyyt一个复积分的实质是两个实二型线积分,Axy,Bxydxdycdrdz复积分存在的一个充分条件：连续，的曲线上在逐段光滑设函数Cyxivyxuzf),(),()(.fzdzc则必存在连续，连续),(),()(yxvyxuzf存在与CCudyvdxvdyudx()Cfzdz存在.复积分的性质：上连续在逐段光滑的有向曲线、设Czgzf)()(1线性性：CCCdzzgbdzzfadzzbgzaf)()()()()(为常数、baCC2设为的逆向曲线，则CCdzzfdzzf)()(12123,CCCfzdzfzdzfzdzCCC4()()()CCCfzdzfzdzfzdsML()(),fzCfzMLC(若在上有界：为的长度.)例题1.Czdz计算(1):Cii的直线段；（2）C：左半平面以原点为中心逆时针方向的单位半圆周。解（1）:11zitt线段的参数方程为,dzidtzitt10111011[()22Czdztidtitdttdtii（2）参数方程为3,22ize,1iidziedze3322222iiCzdziedeiii可见积分与路径有关。例题2),Z()(I0nzzdzCn计算积分0:0rzzC解：0:(02),iCzzreidzired20)(Iniiredire21101inniedr0,1,2,1.nin例如1zzdz,2i例题3,811Cdzzz证明:12.Cz证明：CCdzzzdzzz1111Cdzz21122CzdzCdz28.1zzdz1zdz2例如1zzdz练习1zzdz20diei020dei0例题42,Czdz计算iC如图所示：解：1:,0,:11Czxyx112212;3Czdzxdx2:,:0iCze1C2C112220iiCzdzeied330012.33iiiede可见，积分与路径无关仅与起点和终点有关。2222222CCCzdzxydxxydyixydxxydyMNMN()yxyxMNuvyxyxMNvu20Czdz§3.2柯西积分定理定理1（Cauchy）如果函数f(z)在单连通域D内处处解析,则它在D内任何一条封闭曲线C的积分为零:()d0.Cfzz注1：定理中的曲线C可以不是简单曲线.此定理成立的条件之一是曲线C要属于区域D。注2：如果曲线C是D的边界,函数f(z)在D内与C上解析,即在闭区域D+C上解析,甚至f(z)在D内解析,在闭区域D+C上连续,则f(z)在边界上的积分仍然有()d0.Cfzz推论：如果函数f(z)在单连通域D内处处解析,C属于D，fzdzc则与路径无关仅与起点和终点有关。于是0zCCzfzdzfdfdFzFzfz0zzFzfd是解析函数。解析函数的导数仍为解析函数特别地1010.zzfdFzFz例如：23331133zdzz21,13注：以上讨论中D为单连通域。内解析，在区域azDazzf01)(0211idzazaz这里D为复连通域。可将柯西积分定理推广到多连通域的情况定理2假设C及C1为任意两条简单闭曲线,C1在C内部,设函数f(z)在C及C1所围的二连域D内解析,在边界上连续，则1.CCfzdzfzdzC1CDAB证明：取1CABCBA1CABCBA10CC11CCC这说明解析函数沿简单闭曲线积分不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值。------闭路变形原理推论（复合闭路定理）：为简单闭曲线设nCCC,,,21(互不包含且互不相交)，的简单闭曲线，为包含nCCCC,,,21nCCCCD21为由边界曲线所围成的多连通区域，内解析，在Dzf)(则上连续在,DD0)(dzzf1()().inCCifzdzfzdz或CiCD例题121,Cdzz求C如图所示：i3ii解：存在f(z)的解析单连通域D包含曲线C，故积分与路径无关，仅与起点和终点有关。从而0,0,20,30,3111iiCiidzdzzz11433iii例题221,Cdzzz求C为包含0与1的任何正向简单闭曲线。解：21111zzzzC1C2C0121(1)1CCCdzdzdzzzzz（由闭路变形原理）211CCdzdzzz220ii(2)(由复合闭路定理)122221CCCdzdzdzzzzzzz112211CCCCdzdzdzdzzzzz0220ii0§3.3柯西积分公式0,zD设若f(z)在D内解析，则000()()ddCzzfzfzzzzzzz闭路变形原理DC0z00fzfz00001()d2π().zzfzzifzzz分析：.定理(柯西积分公式)如果f(z)在区域D内处处解析,C为D内的任何一条正向简单闭曲线,它的内部完全含于D,z0为C内的任一点,则001()()d.2πCfzfzzizz12Cforfzdiz---解析函数可用复积分表示。[证]由于f(z)在z0连续,任给e0,存在(e)0,当|zz0|时,|f(z)f(z0)|e.设以z0为中心,R为半径的圆周K:|zz0|=R全部在C的内部,且R.DCKzz0R00()()ddCKfzfzzzzzzz0000()()()ddKKfzfzfzzzzzzz000()()2π()dKfzfzifzzzz00()()dKfzfzzzzd2π.KsRee00|()()|d||Kfzfzszz002Cfzdzifzzz根据闭路变形原理,该积分的值与R无关,所以只有在对所有的R积分为值为零才有可能。推论1如果C是圆周z=z0+Rei,则柯西积分公式成为2π000(e)1()ed2πeiiifzRfziRiR2π001(e)d2πifzR0Reifz------一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.推论2设f(z)在二连域D内解析，在边界上连续，则100012CCfzfzfzdzdzizzzz0.zDD0zC1C例题1CzrrzCdzzzze)2,1(:)2)(1(计算积分解：,10rCzdzzzze)2)(1(izzeizz0)2)(1(2,21r21CC21)2(Czdzzzzei1)2(2zzzzeiiiei32,2r321CCC1C2C3C01232)1(32Czdzzzzeiei2)1(232zzzzeiieiieiei3322§3.4解析函数的高阶导数一个解析函数不仅有一阶导数,而且有各高阶导数,它的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示.这一点和实变函数完全不同.一个实变函数在某一区间上可导,它的导数在这区间上是否连续也不一定,更不要说它有高阶导数存在了.定理解析函数f(z)的导数仍为解析函数,它的n阶导数为:()010!()()d(1,2,)2π()nnCnfzfzznizz其中C为在函数f(z)的解析区域D内围绕z0的任何一条正向简单曲线,而且它的内部全含于D.[证]设z0为D内任意一点,先证n=1的情形,即因此就是要证000Δ0(Δ)()()lim,Δzfzzfzfzz按定义Δ0.z在时也趋向于零0201()()d2π()Cfzfzzizz0020(Δ)()1()d2π()ΔCfzzfzfzzizzz按柯西积分公式有001()()d.2πCfzfzzizz001()(Δ)d2πΔCfzfzzzizzz0000(Δ)()1()dΔ2π()(Δ)Cfzzfzfzzzizzzzz因此0020(Δ)()1()d2π()ΔCfzzfzfzzizzz20001()1()dd2π()2π()(Δ)CCfzfzzzizzizzzzz2001Δ()d2π()(Δ)CzfzzIizzzzz现要证当z0时I0,而2001Δ()d||2π()(Δ)CzfzzIzzzzz2001|Δ||()|d2|||Δ|Czfzszzzzzf(z)在C上连续,则有界,设界为M,则在C上有|f(z)|M.d为z0到C上各点的最短距离,则取|z|适当地小使其满足|z|d/2,因此0011||,,||zzdzzdL是C的长度00|Δ||||Δ|,2dzzzzzz012,|Δ|zzzd23001|Δ||()|d|||Δ|2π|||Δ|πCzfzsMLIzzzzzzd这就证得了当z0时,I0.Dz0dC这就证得了00Δ0(Δ)()limΔzfzzfzz再利用同样的方法去求极限:0201()()d2π()Cfzfzzizz0302!()()d2π()Cfzfzzizz便可得依此类推,用数学归纳法可以证明:()010!()()d2π()nnCnfzfzzizz高阶导数公式的作用,不在于通过积分来求导,而在于通过求导来求积分.()010()2()()!nnCfzidzfzzzn()1!()(())2()nnCnffzdiz例1求下列积分的值,其中C为正向圆周:|z|=r1.CzCzzzzzd)1(e)2;d)1(cos)1225[解]1)函数在C内的z=1处不解析,但cosz在C内却是处处解析的.5)1(coszz.12)(cos)!15(2d)1(cos51)4(5|izizzzzC222)(1)zCedzz12CCC2C1C12CC212222)()()()(CzCzdzizizedzizizeizzizzizeizei22)()(2)41sin(2i0()RRfzCzzRC在内解析，在上连续，则))(max(!)(0)(zfMRnMzfRCnnCau